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参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）
1．B
2．D
3．C
4．B
5．B
6．C
7．D
8．A
二、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
9．
2x+5
．
10．
x≥2
．
11．
a （
a+b
）
．
12． ．
13．
1
．
14．
60
m．
15．
70
°．
16．﹣
3
．
17．
﹣
．
18．
2 4n
5
﹣
．
三、解答题（共10 小题，满分96 分）
19．解：（1）原式=3+1
1=3
﹣
；
（2）去分母得：3x+3=2x
2
﹣，
解得：x=
5
﹣，
经检验x=
5
﹣是分式方程的解．
20．解：（a+2b）2+（b+a）（b
a
﹣）
=a2+4ab+4b2+b2
a
﹣2
=4ab+5b2，
当a=
1
﹣，b=2 时，原式=4×（﹣1）×2+5×22=12．
21．解：（1）问卷调查的总人数是：
=100（名），
a=
=0.3，b=100×0.06=6（名），
故答案为：0.3，6；
（2）类别为B 的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4=144°；
（3）根据题意得：1000×0.24=240（名）．
答：该校学生中类别为C 的人数约为240 名．
22．解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1 的概率为；
故答案为：；
（2）列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9 种，其中两数之积为偶数的情况有5 种，之积为奇数的情况有4 种，
P
∴（小明获胜）= ，P（小华获胜）= ，
∵＞，
∴该游戏不公平．
23．解：设AG=x，[
在Rt
AFG
△
中，
tan AFG=
∠
∵
，
FG=
∴
，
在Rt
ACG
△
中，
tan ACG=
∵
∠
，
CG=
∴
=
x，
∴
x﹣
=224，
解得：x≈193.8．
则AB=193.8+1.5=195.3（米）．
答：电视塔的高度AB 约为195.3 米．
24．解：（1）∵OA=OC，
A= ACO
∴∠
∠
，
COD= A+ ACO=2 A
∴∠
∠
∠
∠，
D=2 CAD
∵∠
∠
，
D= COD
∴∠
∠
，
PD
∵
切⊙O 于C，
OCD=90°
∴∠
，
D= COD=45°
∴∠
∠
；
（2）∵∠D= COD
∠
，CD=2，
OC=OB=CD=2
∴
，
在Rt
OCD
△
中，由勾股定理得： 22+22=（2+BD）2，
解得：BD=2
2
﹣．
25．（1）证明：在菱形ABCD 中，AD BC
∥
，OA=OC，OB=OD，
AEO= CFO
∴∠
∠
，
在△AEO 和△CFO 中，
，
AEO
CFO
∴△
△
≌
（AAS），
OE=OF
∴
，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE 是平行四边形；
（2）解：设OM=x，
EF
AB
∵
⊥
，tan MBO=
∠
，
BM=2x
∴
，
又∵AC BD
⊥
，
AOM
OBM
∴△
△
∽
，
∴
=
，
AM=
∴
= x，
AD BC
∵
∥
，
AEM
BFM
∴△
△
∽
，
EM
∴
：MF=AM：BM= x：2x=1：4．
点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似．
26．解：（1）由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560 千米；
故答案为：560；
（2）由题意可得出：慢车往返分别用了4 小时，慢车行驶4 小时的距离，快车3 小时即可行驶完，
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∵由题意可得出：快车行驶全程用了7 小时，
∴快车速度为：
=80（km/h），
∴慢车速度为：80× =60（km/h），
（3）由题意可得出：当行驶7 小时后，慢车距离甲地60km，
D
∴（8，60），
∵慢车往返各需4 小时，
E
∴（9，0），
设DE 的解析式为：y=kx+b，
∴
，
解得：
．
∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式为：y=
60x+540
﹣
（8≤x≤9）．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，根据题意得出D，E 点坐
标是解题关键．
27．解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图②
PD
AB
∵
⊥
，PE AC
⊥
，CF AB
⊥
，
且S
ABC
△
=S
ABP
△
+S
ACP
△
，
∴AB•CF= AB•PD+ AC•PE．
AB=AC
∵
，
CF=PD+PE
∴
．
（方法2）过点P 作PG CF
⊥
，垂足为G，如图②．
PD
AB
∵
⊥
，CF AB
⊥
，PG FC
⊥
，
CFD= FDG= FGP=90°
∴∠
∠
∠
．
∴四边形PDFG 是矩形．
DP=FG
∴
，∠DPG=90°．
CGP=90°
∴∠
．
PE
AC
∵
⊥
，
CEP=90°
∴∠
．
PGC= CEP
∴∠
∠
．
BDP= DPG=90°
∵∠
∠
．
PG AB
∴
∥
．
GPC= B
∴∠
∠．
AB=AC
∵
，
B= ACB
∴∠
∠
．[来源:学_科_网]
GPC= ECP
∴∠
∠
．
在△PGC 和△CEP 中，
PGC
CEP
∴△
△
≌
．
CG=PE
∴
．
CF=CG+FG
∴
=PE+PD．
【变式探究】
证明：（方法1）连接AP，如图③．
PD
AB
∵
⊥
，PE AC
⊥
，CF AB
⊥
，
且S
ABC
△
=S
ABP
△
S
﹣
ACP
△
，
∴AB•CF= AB•PD﹣AC•PE．
A
∵
B=AC，
CF=PD
PE
∴
﹣
．
（方法2）过点C 作CG DP
⊥
，垂足为G，如图③．
PD
AB
∵
⊥
，CF AB
⊥
，CG DP
⊥
，
∴
CFD= FDG= DGC=90°
∠
∠
∠
．
∴四边形CFDG 是矩形．
CF=GD
∴
，∠DGC=90°．
CGP=90°
∴∠
．
PE
AC
∵
⊥
，
CEP=90°
∴∠
．
CGP= CEP
∴∠
∠
．
CG
DP
∵
⊥
，AB PD
⊥
，
CGP= BDP=90°
∴∠
∠
．
CG AB
∴
∥
．
GCP= B
∴∠
∠．
AB=AC
∵
，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
B= ACB
∴∠
∠
．
ACB= PCE
∵∠
∠
，
GCP= ECP
∴∠
∠
．
在△CGP 和△CEP 中，
CGP
CEP
∴△
△
≌
．
PG=PE
∴
．
CF=DG=DP
PG
∴
﹣
=DP
PE
﹣
．
【结论运用】过点E 作EQ BC
⊥
，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD 是矩形，
AD=BC
∴
，∠C= ADC=90°
∠
．
AD=8
∵
，CF=3，
BF=BC
CF=AD
CF=5
∴
﹣
﹣
．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF= DEF
∠
．
DF=5
∴
．
C=90°
∵∠
，
DC=
∴
=
=4．
EQ
∵
⊥BC，∠C= ADC=90°
∠
，
EQC=90°= C= ADC
∴∠
∠
∠
．
∴四边形EQCD 是矩形．
EQ=DC=4
∴
．
AD BC
∵
∥
，
DEF= EFB
∴∠
∠
．
BEF= DEF
∵∠
∠
，
BEF= EFB
∴∠
∠
．
BE=BF
∴
．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．
PG+PH=4
∴
．
PG+PH
∴
的值为4．
【迁移拓展】延长AD、BC 交于点F，作BH AF
⊥
，垂足为H，如图⑤．
AD•CE=DE•BC
∵
，
∴
=
．
ED
AD
∵
⊥
，EC CB
⊥
，
ADE= BCE=90°
∴∠
∠
．
ADE
BCE
∴△
△
∽
．
A= CBE
∴∠
∠
．
FA=FB
∴
．[来源:Zxxk.Com]
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．
设DH=xdm，
则AH=AD+DH=（3+x）dm．
BH
AF
∵
⊥
，
BHA=90°
∴∠
．
BH
∴
2=BD2
DH
﹣
2=AB2
AH
﹣
2．
AB=2
∵
，AD=3，BD=
，
∴（
）2
x
﹣2=（2
）2﹣（3+x）2．
解得：x=1．
BH
∴
2=BD2
DH
﹣
2
=37
1=36
﹣
．
BH=6
∴
．
ED+EC=6
∴
．
ADE= BCE=90°
∵∠
∠
，
且M、N 分别为AE、BE 的中点，
DM=EM=
∴
AE，CN=EN= BE．
DEM
∴△
与△CEN 的周长之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC
=DE+AB+EC
=DE+EC+AB
=6+2
．
DEM
∴△
与△CEN 的周长之和为（6+2
）dm．
28
解：
（1）
[来源:学科网ZXXK]
如图1，过点C 作CD y
⊥轴于D，此时△CDA
AOB
≌△
，
CDA
AOB
∵△
≌△
，
AD=BO=2
∴
，CD=AO=1，
OD=OA+AD=3
∴
，
C
∴（﹣1，﹣3）．
将B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入抛物线y= x2+bx+c，
解得 b= ，c=
3
﹣，
∴抛物线的解析式为y= x2+ x
3
﹣．
（2）
设lBC：y=kx+b，
B
∵（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），】
∴
，
解得
，
l
∴BC：y=
3x
6
﹣
﹣，
设M（xM，﹣3xM
6
﹣），N（xN，xN
2+ xN
3
﹣），
x
∵M=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN 长度=
3x
6
﹣
﹣﹣（x2+ x
3
﹣）=﹣（x+ ）2+ ，（﹣2≤x≤
1
﹣），
∴当x=﹣时，线段MN 长度为最大值．
（3）
答：P 在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P 在抛物线上时，BP+CP=
AP；P 在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q 点为圆心，
为半径作⊙Q，
OB=2
∵
，OA=1，
AC=AB=
∴
=
，
BC=
∴
=
，
BQ=CQ=
∴
，
BAC=90°
∵∠
，
∴点B、A、C 都在⊙Q 上．
P
①在抛物线外，
如图3，在抛物线外的弧BC 上任找一点P，连接PB，PB，PA，
BC
∵
为直径，[来源:学科网]
BP
∴
2+CP2=BC2，BC≥PA，
BP
∴
2+CP2≥PA2．
P
②在抛物线上，此时，P 只能为B 点或者C 点，
AC=AB=
∵
，
AP=
∴
，
BP+CP=BC=
∵
，
BP+CP=
∴
AP．
P
③在抛物线内，同理①，
BC
∵
为直径，
BP
∴
2+CP2=BC2，BC≥PA，
BP
∴
2+CP2≥PA2．
