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2014 年杭州市各类高中招生文化考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正
确答案.
1.3a·(-2a)2=( )
A.-12a3 B.-6a2 C.12a3 D.6a2
2.已知某几何体的三视图(单位:cm),则该几何体的侧面积等于( )
A.12π cm2 B.15π cm2 C.24π cm2 D.30π cm2
3.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC=( )
A.3sin 40° B.3sin 50° C.3tan 40° D.3tan 50°
4.已知边长为a的正方形的面积为8,则下列说法中,错误的是( )
A.a是无理数 B.a是方程x2-8=0的解
{a-3>0
C.a是8的算术平方根 D.a满足不等式组
a-4<0
5.下列命题中,正确的是( )
A.梯形的对角线相等 B.菱形的对角线不相等
C.矩形的对角线不能互相垂直 D.平行四边形的对角线可以互相垂直
1 1
6.函数的自变量x满足 ≤x≤2时,函数值y满足 ≤y≤1,则这个函数可以是( )
2 4
1 2 1 8
A.y= B.y= C.y= D.y=
2x x 8x x
7.若( 4
+
1 )·ω=1,则ω=( )
a2-4 2-a
A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2) C.a-2(a≠2) D.-a-2(a≠-2)
8.已知2001年至2012年杭州市小学学校数量(单位:所)和在校学生人数(单位:人)的两幅统计
图.由图得出如下四个结论:图1
图2
①学校数量2007~2012年比2001~2006年更稳定;
②在校学生人数有两次连续下降,两次连续增长的变化过程;
在校学生人数
③2009年的 大于1 000;
学校数量
④2009~2012年,各相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011~2012年.
其中,正确的结论是( )
A.①②③④ B.①②③ C.①② D.③④
9.让图中两个转盘分别自由转动一次,当转盘停止转动时,两个指针分别落在某两个数所表示
的区域,则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )
3 3 5 13
A. B. C. D.
16 8 8 16
10.已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称,
点E与点F关于BD对称,AC与BD相交于点G,则( )
A.1+tan∠ADB=√2 B.2BC=5CF
C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB=√6
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.2012年末统计,杭州市常住人口是880.2万人,用科学记数法表示为 人.
12.已知直线a∥b,若∠1=40°50',则∠2= .
1
{ x- y=4,
13.设实数x,y满足方程组 3 则x+y= .
1
x+ y=2,
3
14.已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图,则这六个整点时气温的中位数是
℃.
15.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物
线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为 .
16.点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直
线AD与BE相交于点H.若BH=√3AC,则∠ABC所对的弧长等于 (长度单位).
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能
写出的解答写出一部分也可以.
17.(本小题满分6分)
一个布袋中装有只有颜色不同的a(a>12)个球,分别是2个白球,4个黑球,6个红球和b个黄球,
从中任意摸出一个球.把摸出白球,黑球,红球的概率绘制成统计图(未绘制完整).请补全该统
b
计图并求出 的值.
a18.(本小题满分8分)
在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC.并直
接写出图中其他相等的线段.
19.(本小题满分8分)
设y=kx,是否存在实数k,使得代数式(x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)能化简为x4?若能,请求出所有
满足条件的k的值;若不能,请说明理由.20.(本小题满分10分)
把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段长为4个单位长度,另两条线段长
都是单位长度的整数倍.
(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用
给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.
21.(本小题满分10分)
在直角坐标系中,设x轴为直线l,函数y=-√3x,y=√3x的图象分别是直线l,l,圆P(以点P为圆
1 2
心,1为半径)与直线l,l ,l 中的两条相切.例如(√3,1)是其中一个圆P的圆心坐标.
1 2
(1)写出其余满足条件的圆P的圆心坐标;
(2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连结各圆心,求所得几何图形的周长.
22.(本小题满分12分)
菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4√3,BD=4.动点P在线段BD上从点B向点D
运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.
设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S,未被盖住部分的面积为S,BP=x.
1 2
(1)用含x的代数式分别表示S,S ;
1 2
(2)若S=S ,求x的值.
1 223.(本小题满分12分)
复习课中,教师给出关于x的函数y=2kx2-(4k+1)x-k+1(k是实数).
教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.
学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选择如下四
条:
①存在函数,其图象经过(1,0)点;
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;
③当x>1时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数.
教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.答案全解全析：
一、仔细选一选
1.C ∵3a·(-2a)2=3a·4a2=12a3,故选C.
2.B 由三视图可知这个几何体是圆锥,高是4,底面半径是3,所以母线长是 =5,∴侧面
√42+32
积=3×5×π=15π cm2,故选B.
AC
3.D ∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠B=50°,tan B= ,∴AC=BCtan B=3tan 50°,故选D.
BC
{a-3>0,
4.D ∵a2=8,且a>0,∴a=2√2<3,而 的解集是30时,y随x的
2 2x 2x 4 2x
增大而减小,符合题意,故选A.
评析 此题考查反比例函数的性质,有一定的难度.
4 1 4-(a+2) a-2 1
7.D ∵ + = =- =- ,
a2-4 2-a a2-4 (a+2)(a-2) a+2
1
∴- ·ω=1,∴ω=-a-2(a≠-2),故选D.
a+2
在校学生人数 445 132
8.B 由题图1可知①正确,由题图2可知②正确,2009年的 = ≈1
学校数量 417
067>1 000,③正确,2011~2012年在校学生人数的增长不如前几年快,④错误,故选B.
9.C 共 有 16 种 等 可 能 情 况 , 这 两 个 数 的 和 是 2 的 倍 数 或 是 3 的 倍 数 的有:1+1=2,1+2=3,1+3=4,2+1=3,2+2=4,2+4=6,3+1=4,3+3=6,4+2=6,4+4=8,共10种,
10 5
其概率为 = ,故选C.
16 8
10.A 由点E与点B关于AC对称可设AB=AE=x,
因为AB⊥AD,所以BE=√2x,
由点E与点F关于BD对称,可得∠EBD=∠FBD,又∠EDB=∠FBD,所以∠EBD=∠EDB,所以
AB x
DE=BE=√2x,所以AD=x+√2x,tan∠ADB= = =√2-1,所以1+tan∠ADB=√2,故选A.
AD x+√2x
二、认真填一填
11.答案 8.802×106
解析 880.2万=880.2×10 000=8.802×106.
12.答案 139°10'
解析 ∠2=180°-40°50'=139°10'.
13.答案 8
解析 解方程组得x=9,y=-1,所以x+y=8.
14.答案 15.6
1
解析 数据为偶数个,则中位数应该是按大小顺序排列后中间两个数据的平均数.∵
2
(15.3+15.9)=15.6,∴所求中位数是15.6 ℃.
评析 此题看似简单,但是很容易出错,很多同学会忘记把数据重新排列,得出错误的结果.
1 1 1 3
15.答案 y= x2- x+2或y=- x2+ x+2
8 4 8 4
解析 把A(0,2),B(4,3)两点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0),解得c=2,16a+4b=1,由点C到抛物线
b b
对称轴的距离等于 1,可知抛物线的对称轴是直线 x=1 或 x=3,即- =1 或- =3,由
2a 2a
1 1
{16a+4b=1, { a= , {16a+4b=1, {a=- ,
得 8 由 得 8 故所求解析式为y=1x2-1x+2或
b b
- =1 1 - =3 3 8 4
2a b=- , 2a b= ,
4 4
1 3
y=- x2+ x+2.
8 4
πr 5πr
16.答案 或
3 3
解析 由题意可画出两种图形,易证△BHD∽△ACD,
BD BH
所以 = =√3,所以∠ABD=30°,则图1中∠ABC=150°,图2中∠ABC=30°,所对的弧的度
AD AC
nπr 1 5
数分别是300°,60°.由弧长公式l= 求得所求弧长等于 πr或 πr.
180 3 3评析 此题是圆与相似三角形、三角函数的综合题目,很容易丢掉一种情况,是难度比较大的
综合题.
三、全面答一答
4 2 6
17.解析 因为 =0.2,所以 =0.1, =0.3.
a a a
绘制统计图如图.
b
=1-0.1-0.2-0.3=0.4.
a
18.解析 在△AFB和△AEC中,
AF=AE,∠A为公共角,AB=AC,
所以△AFB≌△AEC,
所以∠ABF=∠ACE.
因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB,
所以∠PBC=∠PCB,
所以PB=PC.
其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.
19.解析 能.
(x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)
=(4x2-y2)(x2-y2+3x2)
=(4x2-y2)2
=(4x2-k2x2)2
=(4-k2)2·x4.
要满足题意,只需要(4-k2)2=1,
即4-k2=1或4-k2=-1,
解得k=±√3或k=±√5.20.解析 (1)12-4=8,长为8的线段可以分成如下两段:
线段1 1 2 3 4 5 6 7
线段2 7 6 5 4 3 2 1
不全等的三角形有两种,其三边分别为:
①3,4,5;②4,4,4.
当三边为3,4,5时,作图如图1.
图1
图2
当三边为4,4,4时,作图如图2.
(2)因为32+42=52,
所以三角形OPA 是直角三角形,
1 1 1
所以外接圆直径等于斜边长5,
所以外接圆的周长等于5π.
因为三角形OPA 是等边三角形,
2 2 2
2 8√3
所以外接圆的直径等于2× ×4cos 30°= ,
3 3
8√3
所以外接圆的周长等于 π.
3
21.解析 (1)圆心坐标分别为:
圆P与直线l,l 相切,P在y轴正半轴上时,
1 2
圆心P(0,2);
1
圆P与直线l,l相切,P在第一象限时,
1
圆心P(√3 );
2 ,1
3
圆P与直线l,l相切,P在第一象限时,
2
圆心P(√3,1)(已知);
3
圆P与直线l,l 相切,P在x轴正半轴上时,
1 2
圆心P(2√3 ).
4 ,0
3
根据图形的对称性,得其余圆心坐标分别为:(0,-2),(√3 ),( √3 ),( √3 ),
,-1 - ,-1 - ,1
3 3 3
( ,-1),(- ,-1),(- ,1),( 2√3 ).
√3 √3 √3 - ,0
3
(2)标出所有圆心如图,依次连结各圆心得一个十二边形.
2√3 2√3 2√3
因为PP= ,P P= ,P P= ,
1 2 2 3 3 4
3 3 3
所以根据对称性知,该多边形的周长为:
(2√3 2√3 2√3)×4=8 .
+ + √3
3 3 3
22.解析 (1)在Rt△ABO中,
AO
由tan∠ABO= =√3,得∠ABO=60°,
BO
x √3x
因为BP=x,所以BF= ,FP= .
2 2
1
菱形ABCD的面积等于 AC·BD=8√3.
2
①当00时,抛物线开口向上,且对称轴是直线x=1+ .
4k
1 1 1
因为1+ >1,所以当11+ 时,y随x的增大而增大.
4k 4k 4k
所以结论③错误.
④正确.
2
当k≠0时,函数有最大或最小值,此时y=2k[ x- ( 1+ 1 )] -( 3k+ 1 ).
4k 8k
若k>0,则抛物线开口向上,当x=1+ 1 时,y
最小值
=-(
3k+
1 ).
4k 8k
因为-(
3k+
1 )<0,所以y
最小值
<0.
8k若k<0,则抛物线开口向下,当x=1+ 1 时,y
最大值
=-(
3k+
1 ).
4k 8k
因为-(
3k+
1 )>0,所以y
最大值
>0.
8k
解决问题时所用的数学方法:举反例,综合法,配方法,数形结合,转化的方法,分类讨论等.
评析 主要考查了函数的性质与过定点问题,属于较难题.
