2014 年苏州市初中毕业暨升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(-3)×3的结果是( )
A.-9B.0 C.9 D.-6
2.已知∠α和∠β是对顶角.若∠α=30°,则∠β的度数为( )
A.30° B.60° C.70° D.150°
3.有一组数据:1,3,3,4,5,这组数据的众数为( )
A.1 B.3 C.4 D.5
4.若式子√x-4在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤-4 B.x≥-4 C.x≤4 D.x≥4
5.如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形.任意转动这个转盘1次,当转盘停止
转动时,指针指向阴影区域的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
6.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
7.下列关于x的方程有实数根的是( )
A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0
C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0
8.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为( )
A.-3B.-1C.2 D.5
9.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km.某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行
一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离
(即AB的长)为( )A.4 km B.2√3 km C.2√2 km D.(√3+1)km
10.如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2,√5),底边OB在x轴上.将△AOB绕点B按
顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B,点A的对应点A'在x轴上,则点O'的坐标为( )
(20 10) (16 4√5) (20 4√5) (16 )
A. , B. , C. , D. ,4√3
3 3 3 3 3 3 3
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案直接填在相应位置上.
3
11. 的倒数是 .
2
12.已知地球的表面积约为 510 000 000 km2.数510 000 000用科学记数法可以表示为
.
13.已知正方形ABCD的对角线AC=√2,则正方形ABCD的周长为 .
14.某学校计划开设A,B,C,D四门校本课程供全体学生选修,规定每人必须并且只能选修其中
一门.为了了解各门课程的选修人数,现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调
查结果绘制成如图所示的条形统计图.已知该校全体学生人数为1 200名,由此可以估计选修
C课程的学生有 人.
1
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC= ∠BAC,则tan∠BPC= .
2
16.某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部
分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天,
则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道x m,乙工程队平
均每天疏通河道y m,则(x+y)的值为 .
AB 3
17.如图,在矩形 ABCD 中, = .以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交边 AD 于点 E,若
BC 5
4
AE·ED= ,则矩形ABCD的面积为 .
318.如图,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作
PB⊥l,垂足为B,连结PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是 .
三、解答题:本大题共11小题,共76分.把解答过程写在相应位置上,解答时应写出必要的计算
过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19.(本题满分5分)
计算:22+|-1|-√4.
20.(本题满分5分)
{ x-1>2,
解不等式组:
2+x≥2(x-1).21.(本题满分5分)
先化简,再求值: x ÷( 1 ),其中x= -1.
1+ √2
x2-1 x-1
22.(本题满分6分)
x 2
解分式方程: + =3.
x-1 1-x
23.(本题满分6分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连结CD,将线段CD绕点C
按顺时针方向旋转90°后得CE,连结EF.
(1)求证:△BCD≌△FCE;
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.
24.(本题满分7分)1
如图,已知函数y=- x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,
2
1
点M的横坐标为2.在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=-
2
x+b和y=x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
25.(本题满分7分)
如图,用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能
涂一种颜色.请用列举法(画树状图或列表)求A,C两个区域所涂颜色不相同的概率.
26.(本题满分8分)
k
如图,已知函数y= (x>0)的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点
x
C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在
线段CD上,连结OC,OD.
(1)求△OCD的面积;
1
(2)当BE= AC时,求CE的长.
227.(本题满分8分)
如图,已知☉O上依次有A,B,C,D四个点, ⏜ = ⏜ ,连结AB,AD,BD,弦AB不经过圆心O.延长
AD BC
AB到E,使BE=AB.连结EC,F是EC的中点,连结BF.
(1)若☉O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧 ⏜ 的长;
BD
1
(2)求证:BF= BD;
2
(3)设G是BD的中点.探索:在☉O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与
AE的位置关系.28.(本题满分9分)
如图,已知l⊥l,☉O与l,l 都相切,☉O的半径为2 cm.矩形ABCD的边AD,AB分别与l,l 重
1 2 1 2 1 2
合,AB=4 cm,AD=4 cm.若☉O与矩形ABCD沿l 同时向右移动,☉O的移动速度为3 cm/s,
√3 1
矩形ABCD的移动速度为4 cm/s,设移动时间为t(s).
(1)如图①,连结OA,AC,则∠OAC的度数为 °;
(2)如图②,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O 的位置,矩形ABCD到达AB C D 的位置,
1 1 1 1 1
此时点O,A ,C 恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO 的长);
1 1 1 1
(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm).当
d<2时,求t的取值范围.(解答时可以利用备用图画出相关示意图)
备用图29.(本题满分10分)
如图,二次函数 y=a(x2-2mx-3m2)(其中 a,m 是常数,且 a>0,m>0)的图象与 x 轴分别交于点
A,B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连结
AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的代数式表示a;
AD
(2)求证: 为定值;
AE
(3)设该二次函数图象的顶点为 F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点 G,连结GF,以线段
GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G
即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据有理数乘法法则,先确定符号为“-”,再把绝对值相乘,所以结果为-9,故选A.
2.A 因为“对顶角相等”,所以∠β=∠α=30°,故选A.
3.B 众数为一组数据中出现次数最多的数,故选B.
4.D 要使√x-4在实数范围内有意义,则被开方数x-4≥0,所以x≥4,故选D.
5.D ∵一个转盘被分成6个相同的扇形,阴影区域有4个扇形,∴指针指向阴影区域的概率为
4 2
= .
6 3
6.B 因为 AB=AD,所以∠B=∠ADB=80°,因为 DC=AD,所以∠C=∠CAD,又因为∠ADB 是
△ACD的外角,所以∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C,所以∠C=40°,故选B.
7.C 选项A、B中,根的判别式Δ都小于零,故不符合题意;选项D可化为(x-1)2=-1,易知方程
无实数根;选项C的根为x=1,x=-2,故选C.
1 2
8.B 把点(1,1)代入函数解析式,得a+b-1=1,则1-a-b=-1,故选B.
9.C 过 A 作 OB 边的垂线 AD,垂足为 D,易知∠BOA=30°,∠BAD=45°,在 Rt△OAD
AD 2
中,AD=OAsin∠DOA=4sin 30°=2 km,在Rt△ABD中,AB= = =2√2 km,
cos∠BAD cos45°
故选C.
10.C 过A作OB边的垂线AC,垂足为C,过O'作BA'边的垂线O'D,垂足为D,因为顶点 A
的坐标为(2,√5),所以C点坐标为(2,0),所以OC=2,AC=√5,在Rt△OAC中,根据勾股定理得
OA=3,所以AB=3.因为△AOB为等腰三角形,所以C为OB的中点,所以B点坐标为(4,0),故
BO'=BO=4.在Rt△O'BD和Rt△O'A'D中,O'B2-BD2=O'A'2-A'D2.设BD=x,则有42-x2=32-(3-x)2,
解得x=8,所以BD=8,所以O'D=4√5,又OD=4+8=20,故O'点的坐标为(20 4√5),故选
,
3 3 3 3 3 3 3
C.二、填空题
2
11.答案
3
3 2
解析 的倒数是 .
2 3
12.答案 5.1×108
解析 根据科学记数法的表示方法可知,510 000 000=5.1×108.
13.答案 4
解析 设正方形的边长为x.因为正方形的对角线长为√2,根据勾股定理,可列方程x2+x2=(√2
)2,解得x=1(负值舍去),所以正方形的周长为4.
14.答案 240
10
解析 样本中选修C课程的学生占全部被调查学生的 ×100%=20%,所以估计
20+12+10+8
全校选修C课程的学生有1 200×20%=240人.
4
15.答案
3
解析 过A作等腰△ABC底边BC上的高AD,垂足为D,则AD 平分∠BAC,且D为BC的中
1
点,所以BD=4,根据勾股定理可求出AD=3,又因为∠BPC= ∠BAC,所以∠BPC=∠BAD,所以
2
BD 4
tan∠BPC=tan∠BAD= = .
AD 3
16.答案 20
{4x+9 y=120,①
解析 解法一:由题意可列方程组
8x+3 y=120,②
①+②,可得12x+12y=240,所以x+y=20.
{4x+9 y=120, {x=12,
解法二:由题意可列方程组 解得 所以x+y=20.
8x+3 y=120, y=8,
评析 两种解法中,解法一较为简单,解法二较容易想到.
17.答案 5
解析 连结BE,设AB=3k(k≠0),则BC=5k.在Rt△ABE 中,根据勾股定理可求出 AE=4k,故
4 1 1
ED=k,由题意可得4k·k= ,可得k2= ,所以矩形ABCD的面积为AB·BC=3k·5k=15k2=15×
3 3 3
=5.
18.答案 2
解析 解法一:连结 AO 并延长交☉O 于点 C,连结 PC,因为☉O 与 l 相切于点 A,所以
∠PAB+∠PAC=90°.因为 AC 为☉O 的直径,所以∠APC=90°,所以∠PAC+∠C=90°,所以
PB AP y x x2
∠PAB=∠C,又因为∠APC=∠ABP=90°,所以△PAB∽△ACP,所以 = ,即 = ,即y= ,所
PA AC x 8 8
x2 1
以x-y=x- =- (x-4)2+2,所以当x=4时,x-y取最大值2.
8 8
解法二:连结AO并延长交☉O于点C,连结PC,设∠PAB=α.因为☉O与l相切于点A,所以∠PAB+∠PAC=90°,因为AC为☉O的直径,所以∠APC=90°,所以
∠PAC+∠C=90°,所以∠PAB=∠C=α.
PB y
在Rt△APB中,sin∠PAB= = ,所以y=x·sin α.
PA x
PA x
在Rt△APC中,sin C= = ,所以x=8·sin α,
CA 8
所以y=x·sin α=8sin2α,
所以x-y=8sin α-8sin2α=-8( 1) 2 +2,
sinα-
2
1
所以当sin α= 时,x-y取最大值2.
2
评析 本题考查圆的性质,切线的性质,二次函数的最值等,综合性强,属难题.
三、解答题
19.解析 原式=4+1-2=3.
20.解析 解x-1>2,得x>3,
解2+x≥2(x-1),得x≤4,
所以不等式组的解集是3<x≤4.
x x-1+1
21.解析 原式= ÷
(x+1)(x-1) x-1
x x-1 1
= × = .
(x+1)(x-1) x x+1
1 1 √2
当x=√2-1时,原式= = = .
√2-1+1 √2 2
22.解析 去分母,得x-2=3(x-1).
1
解得x= .
2
1 1
检验:当x= 时,x-1和1-x的值都不等于0,所以x= 是原方程的解.
2 2
评析 本题考查分式方程的解法.
23.解析 (1)证明:∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE.
在△BCD和△FCE中,
{
CB=CF,
∠BCD=∠FCE,
CD=CE.
∴△BCD≌△FCE.
(2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E.
∵EF∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°.∴∠BDC=90°.
评析 本题考查全等三角形的判定及性质,平行的性质,属容易题.
24.解析 (1)∵点M在函数y=x的图象上,且横坐标为2,
∴点M的纵坐标为2,∴点M的坐标为(2,2).
1
∵点M(2,2)在一次函数y=- x+b的图象上,
2
1
∴- ×2+b=2.
2
∴b=3.
1
∴一次函数的表达式为y=- x+3.
2
令y=0,得x=6.
∴点A的坐标为(6,0).
(2)由题意得C( 1 ),D(a,a).
a,- a+3
2
∵OB=CD,∴a-( 1 )=3.
- a+3
2
∴a=4.
25.解析 用树状图表示如下:
A区域 B区域 C区域 所得结果
∴共有8种等可能结果,
4 1
∴P(A,C两个区域所涂颜色不相同)= = .
8 2
k
26.解析 (1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(1,2),
x
∴k=2.
∵AC∥y轴,AC=1,点C位于点A的下方,
∴点C的坐标为(1,1).
∵CD∥x轴,点D在函数图象上,
∴点D的坐标为(2,1).
1 1
∴S = ×1×1= .
△OCD
2 2
1 1
(2)∵BE= AC,∴BE= .
2 2
3
∵BE⊥CD,∴点B的纵坐标为 .
24
∴点B的横坐标为 .
3
4 1
∴CE= -1= .
3 3
27.解析 (1)连结OB,OD.
∵∠DAB=120°,∴ ⏜ 所对圆心角的度数为240°.
DCB
∴∠BOD=120°.
∵☉O的半径为3,
120
⏜
∴劣弧 的长为 ×π×3=2π.
BD
180
(2)证明:连结AC.
∵AB=BE,∴点B为AE的中点.
∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线.
1
∴BF= AC.
2
∵ ⏜ = ⏜ ,∴ ⏜ + ⏜ = ⏜ + ⏜ ,∴ ⏜ = ⏜ .
AD BC AD AB BC AB DAB CBA
∴BD=AC.
1
∴BF= BD.
2
(3)过点B作AE的垂线,与☉O的交点即为所求的点P.
连结PG,PF.
∵BF为△EAC的中位线,
∴BF∥AC.∴∠FBE=∠CAE.
∵ ⏜ = ⏜ ,
AD BC
∴∠CAB=∠DBA.∴∠FBE=∠DBA.
∵BP⊥AE,
∴∠GBP=∠FBP.
∵G为BD的中点,
1
∴BG= BD.∴BG=BF.
2
∵BP=BP,
∴△PBG≌△PBF.
∴PG=PF.
此时PB与AE相互垂直.
28.解析 (1)105.
(2)如图,当 O,A ,C 恰好在同一直线上时,设☉O 与 l 的切点为 E,连结 OE,可得
1 1 1 1 1 1
OE=2,OE⊥l.
1 1 1
在Rt△ADC 中,∵AD=4,C D=4√3,
1 1 1 1 1 1 1∴tan∠C AD=√3,∴∠C AD=60°.
1 1 1 1 1 1
∴∠OAE=∠C AD=60°,
1 1 1 1 1
2 2√3
∴AE= = .
1 tan60° 3
∵A E=AA -OO -2=t-2,
1 1 1
2√3 2√3
∴t-2= ,∴t= +2.
3 3
∴OO =3t=2√3+6.
1
(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t.
1
如图,此时☉O移动到☉O 的位置,矩形ABCD移动到AB C D 的位置.
2 2 2 2 2
设☉O 与直线l,C A 分别相切于点F,G,连结OF,O G,OA.
2 1 2 2 2 2 2 2
∴OF⊥l,O G⊥AC .
2 1 2 2 2
由(2)可得∠C AD=60°,∴∠GA F=120°.
2 2 2 2
∴∠OAF=60°.
2 2
2√3
在Rt△AOF中,O F=2,∴A F= .
2 2 2 2
3
2√3
∵OO=3t,AF=AA+A F=4t + ,
2 1 2 2 1
3
2√3 2√3
∴4t+ -3t =2,∴t=2- .
1 1 1
3 3
②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t.
2
记第一次相切时为位置一,点O,A ,C 共线时为位置二,第二次相切时为位置三.
1 1 1
由题意知,从位置一到位置二所用时间与从位置二到位置三所用时间相等.
∴2√3+2-( 2√3)=t-(2√3 ),∴t =2+2 .
2- 2 +2 2 √3
3 3 3
2√3
综上所述,当d<2时,t的取值范围是2- <t<2+2√3.
3
评析 本题是一道典型的运动型问题,化动为静,合理运用切线的性质是解决本题的关键,主
要考查学生分析问题的能力.
1
29.解析 (1)将C(0,-3)代入函数表达式得a(0-0-3m2)=-3.∴a= .
m2
(2)证明:如图,过点D,E分别作x轴的垂线,垂足为M,N.
由a(x2-2mx-3m2)=0解得x=-m,x =3m.
1 2
∴A(-m,0),B(3m,0).∵CD∥AB,∴点D的坐标为(2m,-3).
∵AB平分∠DAE,
∴∠DAM=∠EAN.
∵∠DMA=∠ENA=90°,
∴△ADM∽△AEN.
AD AM DM
∴ = = .
AE AN EN
设点E的坐标为( x, 1 (x2-2mx-3m2) ),
m2
3
3m
∴ 1 = .
(x2-2mx-3m2) x-(-m)
m2
∴x=4m.
AD AM 3m 3
∴ = = = (定值).
AE AN 5m 5
(3)连结FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.
由题意得,二次函数图象的顶点F的坐标为(m,-4).
过点F作FH⊥x轴于点H.
OC HF
∵tan∠CGO= ,tan∠FGH= .
OG HG
OC HF
∴ = ,∴OG=3m.
OG HG
此时,GF= = =4 ,
√GH2+H F2 √16m2+16 √m2+1
AD= = =3 ,
√AM2+M D2 √9m2+9 √m2+1
GF 4
∴ = .
AD 3
AD 3
由(2)得 = ,
AE 5
∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.
∴以线段GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,此时G点的横坐标为-3m.
