2016 年苏州市初中毕业暨升学考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:130分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
2
1. 的倒数是( )
3
3 3 2 2
A. B.- C. D.-
2 2 3 3
2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm,将0.000 7用科学记数法可表示为( )
A.0.7×10-3 B.7×10-3 C.7×10-4 D.7×10-5
3.下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2-2a2=1
C.a2·a4=a8 D.(-a2b)3÷(a3b)2=-b
4.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12,10,6,8,则第
5组的频率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点.过点A作直线l的垂线交直线b于点
C.若∠1=58°,则∠2的度数为( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
k
6.已知点A(2,y )、B(4,y )都在反比例函数y= (k<0)的图象上,则y 、y 的大小关系为( )
1 2 x 1 2
A.y >y B.y <y C.y =y D.无法确定
1 2 1 2 1 2
7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1
月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费.某中学研究性学习小组的同学们在
社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如下表所示:
用水量
15 20 25 30 35
(吨)
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是( )
A.25,27.5 B.25,25 C.30,27.5 D.30,25
8.如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼
梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为( )A.2√3 m B.2√6 m C.(2√3-2)m D.(2√6-2)m
9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E
在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为( )
( 4) ( 5)
A.(3,1) B. 3, C. 3, D.(3,2)
3 3
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2√2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、
BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( )
9 5
A.2 B. C. D.3
4 2
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案直接填在相应位置上)
11.分解因式:x2-1= .
x-2
12.当x= 时,分式 的值为0.
2x+5
13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100 m比赛,对这两名运动
员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为 10.05(s),甲的方差为
0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员.(填“甲”
或“乙”)
14.某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次
“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”“科普”“艺术”和“其他”四个类别,规
定每人必须并且只能选择其中一类.现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表
进行统计,并把统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术
类读物所在扇形的圆心角是 度.{ x+2>1,
15.不等式组 的最大整数解是 .
2x-1≤8-x
16.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=
∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为 .
17.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿
DE所在直线折叠得到△B'DE(点B'在四边形ADEC内),连接AB',则AB'的长为 .
18.如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2√3),C是AB的中点,过点
C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂
足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 .
三、解答题(本大题共10小题,共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明)
19.(本题满分5分)计算:(√5)2+|-3|-(π+√3)0.
3x-1
20.(本题满分5分)解不等式2x-1> ,并把它的解集在数轴上表示出来.
221.(本题满分6分)先化简,再求值:x2-2x+1÷( 2 ),其中x= .
1- √3
x2+x x+1
22.(本题满分6分)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车
费为8元/辆.现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车
各有多少辆?
23.(本题满分8分)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字-1、0、2,它们
除了数字不同外,其他都完全相同.
(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ;
(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标,再将
此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内
点M的纵坐标.请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正
方形网格内(包括边界)的概率.
24.(本题满分8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的
垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
m
25.(本题满分8分)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的
x
图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C.点P(3n-4,1)是该反比例函数图象上的一点,且
∠PBC=∠ABC.求反比例函数和一次函数的表达式.
26.(本题满分10分)如图,AB是☉O的直径,D、E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延
长至点C,使得CD=BD,连接AC交☉O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
2
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cos B= ,E是 ⏜ 的中点,求EG·ED的值.
AB
327.(本题满分10分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.点P从点B出发,沿对角线BD
向点D匀速运动,速度为4 cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形
PQMN,使得点N落在射线PD上.点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3 cm/s,以
O 为圆心,0.8 cm 为半径作☉O.点 P 与点 O 同时出发,设它们的运动时间为 t(单位:s)
( 8).
0<t<
5
(1)如图1,连接DQ,当DQ平分∠BDC时,t的值为 ;
(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;
(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:
①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3,在运动过程中,当QM与☉O相切时,求t的值;并判断此时PM与☉O是否也相切?
说明理由.
28.(本题满分10分)如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-
2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐
标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M'.
①写出点M'的坐标;②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l',当直线l'与直线AM'重合时停止旋转.在旋转
过程中,直线l'与线段BM'交于点C.设点B、M'到直线l'的距离分别为d 、d ,当d +d 最大时,
1 2 1 2
求直线l'旋转的角度(即∠BAC的度数).
答案全解全析：
一、选择题
1.A 由乘积为1的两个数互为倒数知选A.
2.C 把0.000 7写成a×10n(1≤|a|<10,n为整数)的形式,其中a=7,n=-4,所以0.000 7用科学
记数法可表示为7×10-4,故选C.
3.D 因为a与2b不能合并,3a2-2a2=a2,a2·a4=a6,所以选项A,B,C均错.因为(-a2b)3÷(a3b)2=-
a6b3÷a6b2=-b,所以选项D正确,故选D.
4
4.A 第5组的频数为40-(12+10+6+8)=4,所以频率为 =0.1,故选A.
40
5.C 因为AC⊥AB,所以∠BAC=90°,在Rt△ABC中,∠ACB=90°-∠1=32°,又因为a∥b,所以
∠2=∠ACB=32°,故选C.
6.B 因为k<0,所以双曲线位于第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,又0<2<4,
所以y <y ,故选B.
1 2
7.D 此组数据中出现次数最多的数据是30,从小到大排列中间两个数都是25,所以众数是
30,中位数是25,故选D.√3
8.B 因为AD⊥CD,所以∠D=90°,在Rt△ABD中,AD=AB·sin 60°=4× =2√3(m),在
2
2√3
AD
Rt△ACD中,AC= = √2 =2√6(m),故选B.
sin45°
2
9.B 由题意知A(3,0),D(3 ),C(0,4),设点D关于AB的对称点为F,则F(9 ),连接CF,此
,0 ,0
2 2
时CF与AB的交点即为所求的点E,因为四边形OABC为矩形,所以AE∥OC.
FA EA FA·CO 4
所以△FAE∽△FOC,所以 = ,则EA= = .
FO CO FO 3
所以E( 4),故选B.
3,
3
10.C 如图,连接AC、BD,
∵E、F分别为AD、CD的中点,
1 1 1
∴S = S ,S = S ,S = S ,
△BAE △BAD △BCF △BCD △DEF △DAC
2 2 4
1 1
∴S +S = (S +S )= S =3,
△BAE △BCF △BAD △BCD 四边形ABCD
2 2
又∵∠ABC=90°,AB=BC=2√2,
∴S =4,S =S -S =2.
△ABC △DAC 四边形ABCD △ABC
1
∴S = ,
△DEF
2
5
∴S =S -S -S -S = ,故选C.
△BEF 四边形ABCD △BAE △BCF △DEF
2
评析 本题考查了三角形的中线、中位线的性质,三角形面积的计算方法等知识,属中档题.
二、填空题
11.答案 (x+1)(x-1)
解析 原式=(x+1)(x-1).
12.答案 2
{
x=2,
解析 分式 x-2 的值为0,则{ x-2=0, 即
5
2x+5 2x+5≠0, x≠- .
2
所以当x=2时,原分式的值为0.
13.答案 乙
解析 方差是衡量数据波动大小的量,方差越小越稳定,因为0.008<0.024,所以乙的成绩比较
稳定.14.答案 72
解析 根据题意得,样本的人数为90÷30%=300(人),
所以艺术类读物所占的百分比为 60÷300×100%=20%,其所在扇形的圆心角为
360°×20%=72°.
15.答案 3
解析 解不等式 x+2>1,得 x>-1;解不等式 2x-1≤8-x,得 x≤3,所以不等式组的解集
为-1<x≤3,故最大整数解为3.
3√3-π
16.答案
2
解析 连接CO,∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,
∵∠COD=2∠A,∠A=∠D,∴∠D+∠COD=3∠A=90°,
∴∠A=∠D=30°,∴∠COB=60°,∴CO=√3.
1 60π×(√3)2 3√3-π
∴S =S -S = CO·CD- = .
阴影 △COD 扇形COB
2 360 2
17.答案 2√7
解析 由折叠知△B'DE≌△BDE,
∵∠B=60°,BD=BE=4,∴△DBE为等边三角形,AD=6,DB=BE=EB'=B'D,
∴四边形BDB'E为菱形,∴B'D∥BE.
∴∠B'DA=∠B=60°.
作B'G⊥AD于点G,
在Rt△B'GD中,易得B'G=2√3,DG=2,
∴AG=AD-DG=4,
∴在Rt△AB'G中,AB'= = =2 .
√AG2+B'G2 √16+12 √7
评析 本题考查折叠的性质,等边三角形和菱形的性质,用勾股定理求边长等知识,属中档题.
18.答案 (1,√3)
解析 延长BP交CE于点F,当BF⊥EC时,∠BFC=90°,
由题意知CD∥AO,∵C是AB的中点,∴D是BO的中点,
1
∴CD= AO=4,易知四边形DOEP为矩形,
2
1
∴PE=DO=BD= BO=√3,
2
设DP=x,则CP=4-x,
∵∠BPD=∠FPC,
∴∠DBP=∠PCE,
∴△BDP∽△CPE,
BD DP
∴ = ,
CP PE
√3 x
∴ = ,
4-x √3
即(√3)2=x(4-x),
∴x =1,x =3,
1 2
∴当直线BP与直线EC第一次垂直时,x=1,即点P的坐标为(1,√3).
评析 本题是平面直角坐标系中的动点问题,解答本题的关键是判定两个三角形相似,属较难题.
三、解答题
19.解析 原式=5+3-1=7.
20.解析 由题意得4x-2>3x-1,解得x>1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
(x-1)2 x-1
21.解析 原式= ÷
x(x+1) x+1
(x-1)2 x+1
= ·
x(x+1) x-1
x-1
= .
x
√3-1 3-√3
当x=√3时,原式= = .
√3 3
22.解析 设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆.
{ x+ y=50, {x=20,
根据题意,得 解得
12x+8 y=480. y=30.
答:中型汽车有20辆,小型汽车有30辆.
1
23.解析 (1) .
3
(2)用表格列出点M所有可能的坐标:
横坐标
-1 0 2
纵坐标
-1 (-1,-1) (0,-1) (2,-1)
0 (-1,0) (0,0) (2,0)
2 (-1,2) (0,2) (2,2)
2
P(点M落在正方形网格内)= .
3
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴AE∥CD,∠AOB=90°,
又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB.
∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,∴AD=CD= =5.
√AO2+DO2
又∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
评析 本题考查菱形的性质,平行四边形的性质和判定,属容易题.m
25.解析 ∵点B(2,n)、P(3n-4,1)在反比例函数y= (x>0)的图象上,
x
{ 2n=m, {m=8,
∴ ∴
3n-4=m, n=4.
8
∴反比例函数的表达式为y= (x>0).
x
解法一:过点P作PD⊥BC于点D,并延长交AB于点P',
已知∠PBC=∠ABC,
易得△BDP≌△BDP'.
由(1)得B(2,4),P(8,1),
∴P'D=PD=8-2=6.
∵BC⊥x轴,∴点P'的坐标为(-4,1).
∵点B(2,4)、P'(-4,1)在一次函数y=kx+b的图象上,
{ 1
∴{ 4=2k+b, ∴ k= ,
2
1=-4k+b,
b=3.
1
∴一次函数的表达式为y= x+3.
2
解法二:过点P作PD⊥BC于点D.
已知∠PBC=∠ABC,
易得△BDP∽△BCA,BD=3,DP=6,BC=4,∴AC=8.
∴点A的坐标为(-6,0),
∵点B(2,4)、A(-6,0)在一次函数y=kx+b的图象上,
{ 1
∴{ 4=2k+b, ∴ k= ,
2
0=-6k+b,
b=3.
1
∴一次函数的表达式为y= x+3.
2
评析 本题考查用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式.运用三角形全等或相似确
定函数图象上点的坐标是解答本题的关键.
26.解析 (1)证明:连接AD.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC,
∴AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C.
(2)∵四边形AEDF是☉O的内接四边形,
∴∠E=180°-∠AFD,
又∠CFD=180°-∠AFD,
∴∠CFD=∠E=55°,
又∵∠E=∠C=55°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
(3)连接OE.
∵∠CFD=∠E=∠C,
∴FD=CD=BD=4.
2
在Rt△ABD中,cos B= ,BD=4,∴AB=6.
3
∵E是 ⏜ 的中点,AB是☉O的直径,
AB
∴∠AOE=90°.
∵AO=OE=3,∴AE=3√2.
∵E是 ⏜ 的中点,
AB
∴∠ADE=∠EAB,
又∵∠AEG=∠DEA,
∴△AEG∽△DEA.
AE DE
∴ = ,
EG AE
即EG·ED=AE2=18.
评析 本题是圆与三角形、四边形相结合的题目,考查圆周角定理,圆内接四边形的性质,锐
角三角函数,相似三角形的判定与性质等,属中档题.
27.解析 (1)1.
(2)如图(a),过点M作ME⊥BC于点E.
在Rt△ABD中,AB=6 cm,AD=8 cm,
∴BD=10 cm.
由∠BPQ=∠BCD,∠QBP=∠DBC,得△PBQ∽△CBD,
PB PQ BQ
∴ = = .
BC CD BD
∵PB=4t cm,
则PQ=3t cm,BQ=5t cm.
∵MQ=MC,
1 1
∴QE=CE= QC= (8-5t)cm,
2 2
易知△MEQ∽△DCB,EQ BC
∴ = ,
MQ BD
1
(8-5t) 8
∴2 = ,
10
3t
40
∴t= .
49
(3)如图(a),设QM所在直线交CD于点F.
①证明:易知△QCF∽△BCD,
CF CD
∴ = ,
CQ CB
∴ CF =6,∴CF=( 15 )cm,
6- t
8-5t 8 4
15
∴DF= t cm>DO=3t cm,
4
故点O始终在QM所在直线的左侧.
②如图(b),设MQ与☉O相切时,切点为G,连接OG,
则易知△OGF∽△BCD,
OG BC
∴ = ,
OF BD
0.8
8 4
∴15 = ,∴t= .
t-3t 10 3
4
此时PM与☉O不相切.
4 5 3
当t= 时,正方形PQMN的边长为4 cm,QF= cm,FG= cm.
3 3 5
解法一:如图(b),连接MO并延长交PQ于点H,过点H作HK⊥PM于点K,
则△MOG∽△MHQ,
26
OG MG 0.8
∴ = ,∴ =15,
HQ MQ HQ
4
24
∴HQ= cm.
13
28
∴PH= cm,
13
14√2
∴HK= cm.
13
∴HK≠HQ,
∴点O不在∠PMQ的平分线上,
∴当QM与☉O相切时,PM与☉O不相切.
解法二:连接OM、OP、OQ,设点O到MP的距离为h cm,
∵S =S +S +S ,
△MPQ △MOQ △POQ △POM1 1 34 1
∴ ×4×0.8+ ×4× + ×4√2×h=8.
2 2 15 2
7√2
∴h= ≠0.8,
15
∴当QM与☉O相切时,PM与☉O不相切.
评析 本题是以四边形为载体的动态几何问题,考查了正方形的性质,圆的切线的性质,三角
形相似的判定与性质等.题中相似三角形对应边的比的运算是难点,对学生的计算能力有较高
的要求.属难题.
28.解析 (1)∵直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,
当y=0时,x=1;当x=0时,y=3,
∴点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,3).
∵点B(0,3)在抛物线y=ax2-2ax+a+4上,
∴3=a+4,∴a=-1.
∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)连接OM,
S=S -S
四边形OAMB △AOB
=S +S -S
△OBM △OAM △AOB
1 1 1
= ×3·m+ ×1×(-m2+2m+3)- ×1×3
2 2 2
1 5
=- m2+ m
2 2
=-1( 5) 2+25.
m-
2 2 8
∵点M在第一象限,∴0<m<3.
5 25
∴当m= 时,S有最大值 .
2 85 25
(3)①由(2)可知,当m= 时,S有最大值 .
2 8
∴y
M'
=7,即点M'的坐标为(5
,
7).
4 2 4
5√5
②分别过点B、M'作BD⊥l'于点D,M'E⊥l'于点E,则BD=d ,M'E=d ,易得BM'= .
1 2
4
∵S =S +S
△ABM' △ABC △ACM'
1 1
= AC·d + AC·d
1 2
2 2
1
= AC·(d +d ),
1 2
2
2S
∴d +d = △ABM'.
1 2
AC
∴当AC最小,即AC⊥BM'时,d +d 最大.
1 2
2S
此时d +d =BM',∴AC= =√5.
1 2 BM'
√5 √2
在Rt△ABC中,AB=√10,AC=√5,∴cos∠BAC= = .
√10 2
∴∠BAC=45°.
评析 本题为二次函数综合题,考查了用待定系数法求二次函数的解析式,三角形面积的最值
问题,以及二次函数的性质.本题为压轴题,属难题.
