镇江市 2016 年初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
满分:120分 时间:120分钟)
一、填空题(本大题共有12小题,每小题2分,共计24分)
1.-3的相反数是 .
2.计算:(-2)3= .
3.分解因式:x2-9= .
4.若代数式√2x-1有意义,则实数x的取值范围是 .
5.正五边形的每一个外角的度数是 °.
6.如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线b上,∠1=20°,则∠2= °.
7.关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m= .
8.一只不透明的袋子中装有红球和白球共 30个,这些球除了颜色外都相同.校课外学习小组
做摸球试验,将球搅匀后任意摸出一个球,记下颜色后放回、搅匀,通过多次重复试验,算得摸
到红球的频率是20%,则袋中有 个红球.
9.圆锥底面圆的半径为4,母线长为5,它的侧面积等于 (结果保留π).
10.a、b、c是实数,点A(a+1,b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b、c的大小
关系是b c(用“>”或“<”号填空).
11.如图1,☉O的直径AB=4厘米,点C在☉O上,设∠ABC的度数为x(单位:度,0<x<90),优弧
⏜ ⏜
ABC
的弧长与劣弧
AC
的弧长的差设为y(单位:厘米),图2表示y与x的函数关系,则a=
.
12.有一张等腰三角形纸片,AB=AC=5,BC=3,小明将它沿虚线PQ剪开,得到△AQP和四边形
15 16 5
BCPQ两张纸片(如图所示),且满足∠BQP=∠B,则下列五个数据 ,3, ,2, 中可以作为
4 5 3
线段 AQ
长的有 个.
····二、选择题(本大题共有5小题,每小题3分,共计15分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一
项符合题目要求)
13.2 100 000用科学记数法表示应为( )
A.0.21×108 B.2.1×106 C.2.1×107 D.21×105
14.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示,它的俯视图为( )
15.一组数据6,3,9,4,3,5,12的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
16.已知点P(m,n)是一次函数y=x-1的图象位于第一象限部分上的点,其中实数m,n满足
(m+2)2-4m+n(n+2m)=8,则点P的坐标为( )
(1 1) (5 2) (3 1)
A. ,- B. , C.(2,1) D. ,
2 2 3 3 2 2
17.
如图,在平面直角坐标系中,坐标原点O是正方形OABC的一个顶点,已知点B坐标为(1,7),过
点P(a,0)(a>0)作PE⊥x轴,与边OA交于点E(异于点O、A),将四边形ABCE沿CE翻折,点A'、
B'分别是点A、B的对应点.若点A'恰好落在直线PE上,则a的值等于( )
5 4
A. B. C.2 D.3
4 3
三、解答题(本大题共有11小题,共计81分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
18.(本小题满分8分)
(1)计算:tan 45°-(√2-1)0+|-5|;2a-1 a2-a
(2)化简: - .
a-1 (a-1)2
19.(本小题满分10分)
1 3
(1)解方程: = ;
x-3 x
(2)解不等式:2(x-6)+4≤3x-5,并将它的解集在数轴上表示出来.
20.(本小题满分6分)
甲、乙、丙三名同学站成一排拍合影照留念.
(1)请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果;
(2)求出甲同学站在中间位置的概率.
21.(本小题满分6分)
现如今,通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数,已成为一种时尚.“健身达人”小张为了
了解他的微信朋友圈里大家的运动情况,随机抽取了部分好友进行调查,把他们6月9日那天
每人行走的步数情况分为五个类别:A(0~4 000步)(说明:“0~4 000”表示大于等于0,小于
等于 4 000,下同),B(4 001~8 000步),C(8 001~12 000步),D(12 001~16 000步),E(16 001
步及以上),并将统计结果绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图.图1 图2
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)将图1的条形统计图补充完整;
(2)已知小张的微信朋友圈里共500人,请根据本次抽查的结果,估计在他的微信朋友圈里6月
9日那天行走不超过8 000步的人数.
22.(本小题满分6分)
如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
(1)求证:△ACB≌△BDA;
(2)若∠ABC=35°,则∠CAO= °.
23.(本小题满分6分)
公交总站(A点)与B、C两个站点的位置如图所示,已知AC=6 km,∠B=30°,∠C=15°.求B站
点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号).24.(本小题满分6分)
校田园科技社团计划购进A、B两种花卉,两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下
表所示:
花卉数量(单位:株) 总费用
A B (单位:元)
第一次购买 10 25 225
第二次购买 20 15 275
(1)你从表格中获取了什么信息? (请用自己的语言描述,写出一条即可);
(2)A、B两种花卉每株的价格各是多少元?
25.(本小题满分7分)
4
如图1,一次函数y=kx-3(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点
x
B(4,b).
(1)b= ,k= ;
(2)点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合),过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例
函数的图象于点D,求△OCD面积的最大值;
(3)将(2)中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离,得到△O'C'D'.若点O的
对应点O'落在该反比例函数图象上(如图2),则点D'的坐标是 .
26.(本小题满分7分)
a+b+c
如果三角形三边的长a、b、c满足 =b,那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角
3
形”.如:三边长分别为1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“匀称三角形”.(1)如图1,已知两条线段的长分别为a、c(a<c).
用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”(不写作法,保留作
图痕迹);
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AB延
BE 5
长线于点E,交AC于点F.若 = ,判断△AEF是否为“匀称三角形”.请说明理由.
CF 3
27.(本小题满分9分)
如图1,在菱形ABCD中,AB=6√5,tan∠ABC=2,点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度
沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为 t(秒).将线段CE绕点C顺时针旋转一个角
α(α=∠BCD),得到对应线段CF.
(1)求证:BE=DF;
(2)当t= 秒时,DF的长度有最小值,最小值等于 ;
(3)如图2,连接BD、EF,BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时,△EPQ是直角三角形?
(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CG.在点E的运动
过程中,当它的对应点F位于直线AD上方时,直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的
函数表达式.
图1 图2 图3
28.(本小题满分10分)
如图1,二次函数y =(x-2)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其对称轴l
1
与x轴交于点C,它的顶点为点D.
(1)写出点D的坐标: ;
(2)点P在对称轴l上,位于点C上方,且CP=2CD,以P为顶点的二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)
2
的图象过点A.①试说明二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B;
2
②点R在二次函数y =(x-2)(x-4)的图象上,到x轴的距离为d,当点R的坐标为 时,二
1
次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d;
2
③如图 2,已知 0<m<2,过点 M(0,m)作 x 轴的平行线,分别交二次函数 y =(x-2)(x-4)、
1
y =ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧),过点H作x轴的垂线,
2
垂足为点N,交二次函数y =(x-2)(x-4)的图象于点Q.若△GHN∽△EHQ,求实数m的值.
1
答案全解全析：
一、填空题
1.答案 3
解析 根据相反数的定义知,-3的相反数是3.
2.答案 -8
解析 (-2)3=-23=-2×2×2=-8.
3.答案 (x+3)(x-3)
解析 x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
1
4.答案 x≥
2
1
解析 若代数式√2x-1有意义,则2x-1≥0,即x≥ .
2
5.答案 72
解析 正多边形的外角和为360°,故每一个外角的度数为360°÷5=72°.
6.答案 70
解析 如图,∵∠ACB=90°,∠1=20°,
∴∠3=70°.
∵a∥b,∴∠2=∠3=70°.9
7.答案
8
9
解析 若一元二次方程有两个相等的实数根,则Δ=(-3)2-4×2m=0,即m= .
8
评析 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数的值.掌握一元二次方程根与判别式的
关系是解题关键.
8.答案 6
解析 由题意可知袋中有30×20%=6个红球.
9.答案 20π
解析 圆锥的侧面积公式为S =πr·l.
侧
∵r=4,l=5,∴此圆锥的侧面积=4×5×π=20π.
10.答案 <
解析 抛物线y=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a.
∵a<a+1<a+2,
∴A、B在对称轴右侧,且B在A的右侧.
根据二次函数图象的性质知,b<c.
11.答案 22.5
解析 连接OC.∵AB=4,∴OC=2.
∵∠ABC=x°,
∴∠BOC=180°-2x°.
优弧ABC与劣弧AC的度数差为360-4x,
nπr (360-4x)π×2
∴y= = .
180 180
(360-4a)π×2
根据题图可知函数图象过点(a,3π),则3π= ,解得a=22.5.
180
评析 本题主要考查了弧长的计算.解题关键是表示出弧长的差y,将(a,3π)代入求出a的值.
12.答案 3
解析 如图,当PQ过点C时.
设BQ=x.
∵∠BQC=∠B,∠A=∠A,
∴△BQC∽△BCA.
BC BQ 3 x
则 = ,即 = ,
BA BC 5 39 9 16
∴x= ,则AQ=5- = .
5 5 5
16
∴0<AQ< .
5
5
∴五个数据中满足条件的有三个,分别为3,2, .
3
评析 本题考查的知识点是三角形的相似,解题关键是找出临界位置AQ的长.
二、选择题
13.B 将绝对值大于10的数写成a×10n的形式是科学记数法,其中1≤|a|<10,n是整数,故2
100 000用科学记数法表示为2.1×106.
14.A 根据原几何体的特征以及放置方式可知,选项A是它的俯视图.
15.C 把一组数据按从小到大的顺序排列,若个数为奇数,则最中间的一个数是中位数;若个数
为偶数,则最中间两个数的平均数是中位数,故选C.
16.D (m+2)2-4m+n(n+2m)=8,
整理得m2+2mn+n2=4,即(m+n)2=4,选项D满足这个关系式.故选D.
17.C 如图,连接OB,分别过A、B作AH⊥x轴于点H,BG⊥y轴于点G,延长GB,HA交于点D.
∵B(1,7),∴OB=5√2.
∵四边形OABC为正方形,
∴OA=AB=BC=CO=5.
易证Rt△BDA≌Rt△AHO,
则OH=AD,AH=BD,∵BG=1,HD=7,
∴设OH=AD=x,则AH=7-x,BD=x-1.
∴x-1=7-x,解得x=4,
∴A(4,3),OH=4,AH=3,
AH 3
∴tan∠AOH= = .
OH 4
3 5
∵OP=a,∴PE= a,∴OE= a,
4 4
5
∴AE=A'E=5- a,
4
5 3
∴A'P=A'E-PE=5- a- a=5-2a.
4 4
∵CB'∥PE,且CB'交x轴于点F,∠B'=∠A'=90°,
∴B'F=A'P=5-2a.∴CF=2a.
∵四边形CB'A'E是由四边形CBAE翻折得到的,
∴CB'=CB=5.
易证Rt△CFO≌Rt△OHA,∴CF=OH=4=2a,∴a=2.
评析 本题考查了图形翻折的性质、锐角函数、点的坐标的表示等.这是一道选择压轴题,属
于难题.
三、解答题
18.解析 (1)原式=1-1+5(3分,每步1分)
=5.(4分)
2a-1 a(a-1)
(2)原式= - (1分)
a-1 (a-1)2
2a-1 a
= - (2分)
a-1 a-1
2a-1-a
= (3分)
a-1
=1.(4分)
(先通分再化简相应给分)
19.解析 (1)去分母,得x=3(x-3),(2分)
9
解得x= .(4分)
2
9
经检验,x= 是原方程的解.(5分)
2
(2)去括号,得2x-12+4≤3x-5,(1分)
移项、合并同类项,得-x≤3,(3分)
系数化为1,得x≥-3.(4分)
在数轴上表示该不等式的解集如下.
(5分)
20.解析 (1)甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲.(3分)
2 1
(2)P(甲在中间)= = .(6分)
6 3
21.解析 (1)作图.
(3分)
3+9
(2)500× =100(人).(6分)
60
22.解析 (1)证明:∵∠C=∠D=90°,
∴△ACB与△BDA是直角三角形.(1分)
在Rt△ACB与Rt△BDA中,{BC=AD,
(3分)
AB=BA,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA.(4分)
(用勾股定理和“SSS”证明相应给分)
(2)20.(6分)
23.解析 过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,(2分)
∵∠B=30°,∠ACB=15°,
∴∠CAD=45°.(3分)
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,AC=6,
∴CD=AD=3√2.(4分)
在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠B=30°,CD=3√2,
∴BD=3√6.
∴AB=BD-AD=3√6-3√2,
∴AB的长为(3√6-3√2)km.(6分)
(其他方法相应给分)
24.解析 (1)答案不唯一,信息正确合理即可.(2分)
(2)设A、B两种花卉每株的价格分别是x元、y元,
{10x+25 y=225,
由题意得 (3分)
20x+15 y=275,
{x=10,
解得 (5分)
y=5.
答:A、B两种花卉每株的价格分别是10元、5元.(6分)
(用其他方法解答,相应给分)
25.解析 (1)1;1.(2分)
(2)设点C的坐标为(m,m-3),0<m<4,
则点D的坐标为( 4),(3分)
m,
m
则S
△OCD
=1m(4
-m+3
),(4分)
2 m
∴S
△OCD
=-1(
m-
3) 2 +25.∵0<m<4,
2 2 8
3 25
∴当m= 时,△OCD面积最大,最大值是 .(5分)
2 8
(3)(7 14).(7分)
,
2 326.解析 (1)作图.
作法一:
作法二:
(3分)
(2)△AEF是“匀称三角形”.
理由如下:连接AD、OD,
∵AB是☉O的直径,∴AD⊥BC.
∵AB=AC,∴D是BC的中点.(4分)
∴OD∥AC.
∵DF切☉O于D点,∴OD⊥DF.
∴EF⊥AF.(5分)
过点B作BG⊥EF于点G,易证Rt△BDG≌Rt△CDF,
∴BG=CF,
BE 5 BE 5
∵ = ,∴ = .(6分)
CF 3 BG 3
BE AE 5
∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF),∴ = = .
BG AF 3
在Rt△AEF中,设AE=5k(k>0),AF=3k,
由勾股定理得EF=4k,
AF+EF+AE 3k+4k+5k
∴ = =4k=EF.
3 3
∴△AEF是“匀称三角形”.(7分)
(若只给出正确判断给1分)
评析 本题是一道阅读理解类型的作图题,考查的知识点有三角形全等、三角形相似、勾股
定理以及尺规作图等.解决本题的关键是正确作出辅助线,找出全等和相似三角形,从而根据题目中的定义解决问题.
27.解析 (1)证明:由题意知,CF=CE,∠ECF=∠BCD,
∴∠ECF-∠ECD=∠BCD-∠ECD,即∠DCF=∠BCE.
∵四边形ABCD是菱形,∴DC=BC.
{
CF=CE,
在△DCF与△BCE中, ∠DCF=∠BCE,
DC=BC,
∴△DCF≌△BCE.
∴DF=BE.(2分)
(2)6√5+6;(3分)
12.(4分)
(3)∵CE=CF,∴∠CEQ<90°.
①当∠EQP=90°时,如图(a),
图(a)
∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,
∴∠CBD=∠CEF.
∵∠BPC=∠EPQ,∴∠BCP=∠EQP=90°.
又∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∴∠CED=∠BCP=90°.
在Rt△CDE中,CD=AB=6√5,tan∠ADC=tan∠ABC=2,
∴DE=6,∴t=6.(6分)
②当∠EPQ=90°时,如图(b),
图(b)
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD,∴EC和AC重合.
∴DE=6√5,
∴t=6√5.(7分)
综上所述,当t为6 秒或6√5 秒时,△EPQ是直角三角形.
2√5 24√5
(4)y= t-12- .(9分)
5 5
略解:
点G即为t=0时点E的对应点.
当点F在直线AD上方时,
如图(c),连接 GF,分别交直线 AD、BC 于点 M、N,过 F 点作 FH⊥AD,垂足为 H,由(1)得
∠1=∠2.图(c)
易证△DCE≌△GCF,∴∠3=∠4.
∵DE∥BC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4.
∴GF∥CD,易得MN=6√5.
∵∠BCD=∠DCG,
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG.
∴CN=CG=CD=6√5.
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2,∴GN=12.
∴GM=6√5+12.
∵GF=DE=t×1=t,
∴FM=t-6√5-12.
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2,
2√5 2√5 24√5
∴FH= (t-6√5-12),即y= t-12- .
5 5 5
评析 本题是以菱形为载体的动态几何题,考查了菱形的性质、三角形全等、解直角三角形
等.属于难题.
28.解析 (1)(3,-1).(1分)
(2)①∵点P在对称轴l上,位于点C上方,且CP=2CD,
∴点P的坐标为(3,2).
∵以P为顶点的二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A,
2
∴y =-2(x-3)2+2(或y =-2(x-2)(x-4)或y =-2x2+12x-16),
2 2 2
∴二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B.(3分)
2
(由对称性说理相应给分)
②(3-√2,1)或(3+√2,1)或(3,-1).(6分) (每个坐标给1分)
③设过点 M 平行于 x 轴的直线交对称轴 l 于点 K,易证直线 l 也是二次函数
y =ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴.
2
设N(n,0),
∴HN=-2(n-2)(n-4),QN=-(n-2)(n-4),HN 2 HN 2
∴ = ,即 = .(7分)
QN 1 HQ 3
∵△GHN∽△EHQ,
HN HG 2
∴ = = .
HQ HE 3
KG 1
由对称性可知: = .(8分)
KE 2
解法一:
设KG=t(t>0),则G的坐标为(3-t,m),E的坐标为(3-2t,m),
由题意得,-2(3-t-2)(3-t-4)=(3-2t-2)(3-2t-4)=m,
√2
∴t=± .
2
√2
∵t>0,∴t= .(9分)
2
∴m=1.(10分)
解法二:
∵直线EF过点M(0,m)(0<m<2),EF∥AB,
∴(x-2)(x-4)=m.
解得x=3±√1+m,
∴EK=FK=√1+m.
√4-2m
同理可得,GK=HK= ,
2
√4-2m
1
则 2 = ,得√4-2m=√1+m.(9分)
2
√1+m
∵0<m<2,
∴实数m的值是1.(10分)
评析 本题为二次函数综合题,考查了二次函数的顶点坐标、点是否在二次函数图象上、相
似三角形的性质以及二次函数的性质.本题为压轴题,属难题.
