2014 年镇江市初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
一、填空题(本大题共有12小题,每小题2分,共计24分)
1.|-5|= .
( 1)
2.计算: - ×3= .
3
3.化简:(x+1)(x-1)+1= .
2
4.分式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
x-1
5.如图,CD是△ABC的中线,点E、F分别是AC、DC的中点,EF=1,则BD= .
6.如图,直线 m∥n,Rt△ABC 的顶点 A 在直线 n 上,∠C=90°.若∠1=25°,∠2=70°,则∠B=
°.
7.一组数据:1,2,1,0,2,a,若它们的众数为1,则这组数据的平均数为 .
8.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则m= .
9.已知圆锥的底面半径为3,母线长为8,则圆锥的侧面积等于 .
10.如图,将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″,每次旋转的角度都是50°,若
∠B″OA=120°,则∠AOB= °.
11.
一辆货车从甲地匀速驶往乙地,到达乙地后用了半小时卸货,随即匀速返回,已知货车返回时
的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍,货车离甲地的距离y(千米)关于时间x(小时)的
函数图象如图所示,则a= (小时).
12.读取表格中的信息,解决问题.n=1 a=√2+2√3 b=√3+2 c=1+2√2
1 1 1
n=2 a=b+2c b=c+2a c=a+2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a=b+2c b=c+2a c=a+2b
3 2 2 3 2 2 3 2 2
… … … …
a +b +c
满足 n n n ≥2 014×(√3-√2+1)的n可以取得的最小正整数是 .
√3+√2
二、选择题(本大题共有5小题,每小题3分,共计15分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一
项符合题目要求)
13.下列运算正确的是( )
A.(x3)3=x9 B.(-2x)3=-6x3 C.2x2-x=x D.x6÷x3=x2
14.一个圆柱如图放置,则它的俯视图是( )
A.三角形B.半圆 C.圆 D.矩形
15.若实数x、y满足√2x-1+2(y-1)2=0,则x+y的值等于( )
3 5
A.1 B. C.2 D.
2 2
16.如图,△ABC内接于半径为5的☉O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于(
)
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 3
17.已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第一象限.设s=a+2b,则s的取值范围是( )
3 3
A.-5≤s≤- B.-6<s≤-
2 2
3 3
C.-6≤s≤- D.-7<s≤-
2 2
三、解答题(本大题共有11小题,共计81分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
18.(本小题满分8分)(1) -1
(1)计算: +√2cos 45°-√327;
2
( 1 ) x-1
(2)化简: x+ ÷ .
x-2 3x-6
19.(本小题满分10分)
3 2
(1)解方程: - =0;
x x+2
2x-1
(2)解不等式:2+ ≤x,并将它的解集在数轴上表示出来.
3
20.(本小题满分6分)
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上,且OE=OC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状,并说明理由.21.(本小题满分6分)
为了了解“通话时长”(“通话时长”指每次通话时间)的分布情况,小强收集了他家1 000个
“通话时长”数据,这些数据均不超过18(单位:分钟),他从中随机抽取了若干个数据作为样
本,统计结果如下表,并绘制了不完整的频数分布直方图.
“通话时长”
0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 9<x≤12 12<x≤15 15<x≤18
(x分钟)
次数 36 a 8 12 8 12
根据图、表提供的信息,解答下面的问题:
(1)a= ,样本容量是 ,并将这个频数分布直方图补充完整;
(2)求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率;
(3)请估计小强家这1 000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数.
22.(本小题满分6分)
各若干个
在一只不透明的布袋中装有红球、黄球 ,这些球除颜色外都相同,充分摇匀.
····
(1)若布袋中有3个红球,1个黄球.从袋中一次摸出2个球,计算“摸出的球恰是一红一黄”的
概率(用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程);
(2)若布袋中有3个红球,x个黄球.
请写出一个x的值 ,使得事件“从袋中一次摸出4个球,都是黄球”是不可能事件;
(3)若布袋中有3个红球,4个黄球.
我们知道:“从袋中一次摸出4个球,至少有一个黄球”为必然事件.
请你仿照这个表述,设计一个必然事件: .23.(本小题满分6分)
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.
(1)如图,直线y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B,与y轴交于点C,点B的横坐标为-1.
①求点B的坐标及k的值;
②直线y=-2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于 ;
(2)直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E(x,0),若-2<x <-1,求k的取值范围.
0 0
24.(本小题满分6分)
5
如图,小明从点A处出发,沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B,sin α= ,然后又
13
沿着坡度为i=1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多
少千米(结果保留根号)?
25.(本小题满分6分)
六·一儿童节,小文到公园游玩,看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度),如图,它与两面互相
垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他发现弯道MN上任一点
到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如:A、B、C是弯道MN上三点,
矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如
图),图中三块阴影部分的面积分别记为S、S、S,并测得S=6(单位:平方米),OG=GH=HI.
1 2 3 2(1)求S 和S 的值;
1 3
(2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数关系式;
(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木
(区域边界上的点除外),已知MP=2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木?
26.(本小题满分8分)
如图,☉O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上一点,∠EAB=∠ADB.
(1)求证:EA是☉O的切线;
(2)已知点B是EF的中点.求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;
(3)已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下,求AE的长.27.(本小题满分9分)
如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x轴的
平行线,交抛物线于点P、Q(点P在点Q的左侧),PQ=4.
(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;
(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原
点O.你认为正确吗?请说明理由;
PA
(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),
AB
1
= .
t
①写出C点的坐标:C( , )(坐标用含有t的代数式表示);
②若点C在题(2)中旋转后的新抛物线上,求t的值.28.(本小题满分10分)
我们知道平行四边形有很多性质.
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】
▱ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连结B'D.
结论1:B'D∥AC;
结论2:△AB'C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
……
请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论).
【应用与探究】
在▱ABCD中,已知∠B=30°,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连结B'D.
(1)如图1,若AB=√3,∠AB'D=75°,则∠ACB= °,BC= ;
(2)如图2,AB=2√3,BC=1,AB'与边CD相交于点E,求△AEC的面积;
(3)已知AB=2√3,当BC长为多少时,△AB'D是直角三角形?答案全解全析：
一、填空题
1.答案 5
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以|-5|=5.
2.答案 -1
( 1) (1 )
解析 - ×3=- ×3 =-1.
3 3
3.答案 x2
解析 (x+1)(x-1)+1=x2-1+1=x2.
4.答案 x≠1
2
解析 要使 有意义,则x-1≠0,所以x≠1.
x-1
5.答案 2
解析 ∵点E、F分别是AC、DC的中点,
∴EF是△ACD的中位线,
∴AD=2EF=2,又∵CD是△ABC的中线,
∴BD=AD=2.
6.答案 45
解析 ∵m∥n,∴∠2=∠BAC+∠1,
∴∠BAC=∠2-∠1=45°,
∴∠B=90°-∠BAC=45°.
7
7.答案
6
1+2+1+0+2+1
解析 一组数据1,2,1,0,2,a的众数为1,所以a=1,则这一组数据的平均数为
6
7
= .
6
评析 本题考查了众数和平均数的概念,属容易题.
1
8.答案
4
1
解析 因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以Δ=12-4m=0,解得m= .
4
9.答案 24π
1
解析 S = ×2π×3×8=24π.
侧面积 2
评析 圆锥侧面展开图的弧长是圆锥的底面周长,半径是圆锥的母线长,属容易题.
10.答案 20
解析 ∠B″OA=2×50°+∠AOB,所以∠AOB=120°-100°=20°.
11.答案 5解析 由题意可知,货车从甲地到乙地所用的时间为3.2-0.5=2.7小时,所以货车从乙地返回到
2.7
甲地所用的时间为 =1.8小时,所以a=3.2+1.8=5小时.
1.5
12.答案 7
解 析 由 题 意 可 得 ,a+b+c=3(a +b+c)=32(√3+√2+1), 同
2 2 2 1 1 1
理,a+b+c=3(a +b+c)=32(a +b+c)=33(√3+√2+1),…,a+b+c=3n(√3+√2+1),
3 3 3 2 2 2 1 1 1 n n n
a +b +c 3n(√3+√2+1)
所以 n n n = =3n(√3-√2+1),
√3+√2 √3+√2
a +b +c
不等式 n n n ≥2 014×(√3-√2+1)可转化为:3n≥2 014,
√3+√2
而36<2 014<37,
所以n可以取得的最小正整数是7.
评析 本题首先要观察a+b+c,a+b+c,a+b+c,…,a+b+c 前后项的关系,进而得出a+b+c
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n
的表达式,在解不等式3n≥2 014时,主要看2 014和3的几次幂相接近,从而找到最小的正整
数n,属难题.
二、选择题
13.A (x3)3=x3×3=x9,所以A正确,故选A.
14.D 从上往下看该圆柱得到的图形是矩形,故选D.
1 3
15.B 由完全平方式和二次根式的非负性可知,2x-1=0,y-1=0,所以x= ,y=1,所以x+y= .故选
2 2
B.
16.D 连结CO并延长交☉O于点D,则CD为☉O的直径,连结BD,作OE⊥BC交BC于点E,
依题意可得BD=2OE=6,
又CD=2×5=10,
BC 8 4
所以BC=√CD2-BD2=8,所以tan D= = = .
BD 6 3
又因为∠A=∠D,
4
所以tan A= ,故选D.
3
评析 本题综合考查圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等有关知识,属中等难度题.
17.B ∵直线y=ax+b(a≠0)不经过第一象限,
∴a<0,b≤0,
又∵直线过点(2,-3),
∴2a+b=-3,∴b=-2a-3,
∴s=a+2b=-3a-6,
{ a<0, 3
解不等式组 得- ≤a<0,
-2a-3≤0, 2
3 3
∴-6<-3a-6≤- ,即-6<s≤- .
2 2三、解答题
√2
18.解析 (1)原式=2+√2× -3(3分)
2
=0.(4分)
[x(x-2) 1 ] x-1
(2)原式= + ÷ (1分)
x-2 x-2 3(x-2)
(x-1)2 3(x-2)
= · (3分)
(x-2) x-1
=3x-3.(4分)
19.解析 (1)去分母,得3x+6-2x=0,(2分)
解得x=-6,(4分)
经检验,x=-6是原方程的解.
故原方程的解为x=-6.(5分)
(2)去分母,得6+2x-1≤3x,(2分)
解得x≥5.(4分)
它的解集在数轴上表示如下:(5分)
评析 本题考查了分式方程和一元一次不等式的解法,解分式方程时一定要注意验根.在数轴
上表示不等式的解集时要注意方向和实心圆与空心圆的判断,属容易题.
20.解析 (1)在△ABC与△ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,(2分)
∴∠1=∠2.(3分)
(2)菱形.理由:∵BC=DC,∠1=∠2,∴OD=OB,OC⊥BD.(4分)
∴ O四E边=O形CB,∵CDE是平行四边形.(5分)
∵OC⊥BD,∴▱BCDE是菱形.(6分)
21.解析 (1)24;100;频数分布直方图补充完整如下图.
(3分)
36+24+8
(2) =0.68.
100
答:“通话时长”不超过9分钟的频率为0.68.(4分)12
(3)1 000× =120.
100
答:“通话时长”超过15分钟的次数为120.(6分)
评析 本题考查了数据分析的方法及用样本估计总体的思想,属容易题.
22.解析 (1)设三个红球分别为红 ,红 ,红 ,列表如下:
1 2 3
红 红 红 黄
1 2 3
红 红 红 红 红 黄红
1 2 1 3 1 1
红 红 红 红 红 黄红
2 1 2 3 2 2
红 红 红 红 红 黄红
3 1 3 2 3 3
黄 红 黄 红 黄 红 黄
1 2 3
(2分)
∴共有12种等可能的结果,
1
∴P(摸出的球恰是一红一黄)= .(4分)
2
(2)1.(答案不唯一,x可取1≤x≤3之间的整数)(5分)
(3)答案不唯一.(6分)
23.解析 (1)①当x=-1时,y=-2×(-1)+1=3,
∴B(-1,3).(1分)
将B(-1,3)代入y=kx+4,得k=1.(2分)
3
② .(4分)
2
(2)2<k<4.(6分)
评析 本题考查两直线的交点,直角坐标系中三角形面积的计算等,属容易题.
BE 5
24.解析 作BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,则sin α= = ,
AB 13
5 5 1
∴BE=AB× =0.65× = .(2分)
13 13 4
CF 1
∵i= = ,(3分)
BF 4
设CF=x,则BF=4x,
∴BC=√17x=1,
√17
∴CF=x= .(5分)
17
∵BE⊥AD,BF⊥CD,CD⊥AD,
∴四边形BEDF是矩形,
∴BE=DF,
(1 √17)
∴CD=CF+DF=CF+BE= + 千米.
4 17
(1 √17)
答:小明从A点到C点上升的高度CD是 + 千米.(6分)
4 1725.解析 (1)根据题意:S +S +S =2S +2S =3S ,(1分)
1 2 3 2 3 3
又∵S=6,
2
∴S=18,S =12.(3分)
1 3
(设面积为k,表示出各点坐标的解题方法相应给分)
(2)点T(x,y)是弯道MN上任一点,
根据弯道 MN 上任一点到围墙两边的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,得
36
xy=3S =36,∴y= .(4分)
3 x
(3)一共能种植17棵花木.(6分)
26.解析 (1)连结BC,∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°,(1分)
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∵∠ADB=∠ACB,
又∵∠EAB=∠ADB,∴∠EAB=∠ACB,
∴∠BAC+∠EAB=90°,
即∠EAC=90°,(2分)
又∵点A在☉O上,
∴EA是☉O的切线.(3分)
(2)∵点B是EF的中点,∠EAC=90°,
1
∴AB=BE=BF= EF,
2
∴∠EAB=∠AEB,(4分)
又∵∠EAB=∠ACB,∴∠AEB=∠ACB.
∵∠EAC=∠ABC=90°,
∴△AEF∽△BCA.(5分)
(3)∵△AEF∽△BCA,
AF AB
∴ = ,
EF AC
4 AB
∴ = ,
2AB 6
∴AB=2√3.(7分)
∴EF=4√3.∴AE=√EF2-AF2=√48-16=4√2.(8分)
评析 本题考查圆的切线的判定方法,相似三角形的判定及性质,属中等难度题.
27.解析 (1)解法一:在y=-x2+2nx-n2+2n中,令y=4,得
-x2+2nx-n2+2n=4,
∴x=n+√2n-4,x=n-√2n-4,(1分)
1 2
∴PQ=2√2n-4=4,
∴n=4,
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+8x-8,(3分)∴点P(2,4).(4分)
解法二:∵y=-x2+2nx-n2+2n=-(x-n)2+2n,
∴M(n,2n).
根据抛物线的对称性可设P(n-2,4),Q(n+2,4),(1分)
把点P(n-2,4)代入抛物线y=-(x-n)2+2n,
得-(n-2-n)2+2n=4,解得n=4,
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+8x-8,(3分)
点P(2,4).(4分)
(2)解法一:由(1)可得M(4,8),
∴直线OM的函数关系式为y=2x.
∵点P(2,4)满足直线OM的函数关系式,
∴点P在直线OM上.(5分)
易知OP=2√5,OM=4√5,
∴点P是线段OM的中点,
∴将抛物线y=-x2+8x-8绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.(6分)
解法二:由(1)可得M(4,8).
设P'是线段OM的中点,
过点P'、M分别作P'D⊥x轴,ME⊥x轴,垂足分别为D、E,
∴P'D∥ME,
∴△OP'D∽△OME.
∵P'为线段OM的中点,
P'D OD OP' 1
∴ = = = ,
ME OE OM 2
1 1
∴P'D= ME=4,OD= OE=2,
2 2
∴点P'的坐标为(2,4),(5分)
∴点P与点P'重合,
∴点P是线段OM的中点,
∴将抛物线y=-x2+8x-8绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.(6分)
(3)C(2-4t,4+t).(8分,横纵坐标答对各给1分)
在(2)中旋转后的新抛物线的解析式为y=x2,
17
把C(2-4t,4+t)代入y=x2,得t=0(舍去)或t= .(9分)
16
28.解析 【发现与证明】
证明:如图1,设AD与B'C相交于点F,
∵△ABC沿直线AC翻折至△AB'C,
∴△ABC≌△AB'C,∴∠ACB=∠ACB',BC=B'C,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,图1
∴B'C=AD,∠ACB=∠CAD,
180°-∠AFC
∴∠ACB'=∠CAD= ,
2
∴AF=CF,(1分)
∴B'F=DF,
180°-∠B'FD
∴∠CB'D=∠B'DA= .
2
∵∠AFC=∠B'FD,∴∠ACB'=∠CB'D,
∴B'D∥AC.(2分)
【应用与探究】
(1)45;(3分)
3 √3
+ .(4分)
2 2
(2)解法一:过点C分别作CG⊥AB,CH⊥AB',
垂足分别为G、H,∴CG=CH.
在Rt△BCG中,∠BGC=90°,
BC=1,∠B=30°,
1 √3
∴CG= ,BG= .
2 2
3
∵AB=2√3,∴AG= √3,
2
1
∴CH=CG= .
2
3
由△AGC≌△AHC,得AH=AG= √3.
2
设AE=x,则CE=x,由CE2=CH2+HE2,
(1) 2 (3√3 ) 2 7√3
得x2= + -x ,解得x= ,(5分)
2 2 9
1 7√3
∴△ACE的面积= AE·CH= .(6分)
2 36
解法二:分别过点C、A作CG⊥AB,AI⊥CD,垂足分别为G、I,
∵AB∥CD,
∴四边形AGCI是矩形,∴CG=AI,AG=CI.在Rt△BCG中,∠BGC=90°,BC=1,∠B=30°,
1 √3
∴CG= ,BG= .
2 2
3
∵AB=2√3,∴AG= √3,
2
1 3
∴AI=CG= ,CI=AG= √3,
2 2
(1) 2 (3√3 ) 2 7√3
设AE=x,则CE=x,由AE2=EI2+AI2,得x2= + -x ,∴x= ,(5分)
2 2 9
1 7√3
∴△ACE的面积= AI·CE= .(6分)
2 36
(3)解法一:按△AB'D中的直角分类:
①当∠B'AD=90°时,如图3,∠ACB=30°,BC=6;
如图4,∠BAC=30°,BC=2;
②当∠AB'D=90°时,如图5,∠ACB=60°,BC=4;
③当∠ADB'=90°时,如图6,∠ACB=90°,BC=3;
综上,BC的长为6,2,4或3.(10分,各1分)
解法二:按点B'在直线AD上方、下方的位置分类:
第一种情形:点B'在直线AD上方,
设∠ACB=α,可得∠B'AD=150°-2α,
∠B'DA=α,∠AB'D=30°+α,
由∠B'AD=150°-2α>0,
得0°<α<75°.
①当∠B'AD=90°时,150°-2α=90°,
∴α=30°,BC=6;
②当∠AB'D=90°时,30°+α=90°,
∴α=60°,BC=4;
③当∠ADB'=90°时,α=90°(舍去);
第二种情形:点B'在直线AD下方,
设∠ACB=α,可得∠B'AD=2α-150°,
∠B'DA=180°-α,∠AB'D=150°-α,
同理可得:75°<α<150°.
①当∠B'AD=90°时,2α-150°=90°,
∴α=120°,BC=2;
②当∠AB'D=90°时,150°-α=90°,∴α=60°(舍去);
③当∠ADB'=90°时,180°-α=90°,∴α=90°,BC=3.
综上,BC的长为6,2,4或3.(10分,各1分)
图3 图4图5 图6
评析 本题考查利用勾股定理构造方程求线段的长度,以及分类讨论思想,属难题.
