2014 年宁波市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下列各数中,既不是正数也不是负数的是( )
A.0 B.-1 C.√3 D.2
2.宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元.其中253.7亿用科学记数法表示为(
)
A.253.7×108 B.25.37×109 C.2.537×1010 D.2.537×1011
3.用矩形纸片折出直角的平分线,下列折法正确的是( )
4.杨梅开始采摘啦!每筐杨梅以5千克为基准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,
记录如图.则这4筐杨梅的总质量是( )
A.19.7千克 B.19.9千克 C.20.1千克 D.20.3千克
5.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是( )
A.6π B.8π C.12π D.16π
6.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )
A.10B.8 C.6 D.5
7.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,
使△ABC为直角三角形的概率是( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 5 7 7
8.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为(
)
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.√2∶√39.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是
假命题的一个反例可以是( )
A.b=-1 B.b=2 C.b=-2 D.b=0
10.如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面
体叫做棱锥.如图是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数
相等的是( )
A.五棱柱B.六棱柱 C.七棱柱 D.八棱柱
11.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么
CH的长是( )
3
A.2.5 B.√5 C. √2 D.2
2
12.已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(
)
A.(-3,7) B.(-1,7) C.(-4,10) D.(0,10)
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.-4的绝对值是 .
x 1
14.方程 = 的根x= .
x-2 2-x
15.某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图所示,其中售出红豆口味的雪糕
200支,那么售出水果口味雪糕的数量是 支.
16.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被
小正方形覆盖部分的面积是 (用a,b的代数式表示).
17.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽2.2米
的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.
(√2≈1.4)18.如图,半径为6 cm的☉O中,C,D为直径AB的三等分点,点E,F分别在AB两侧的半圆上,
∠BCE=∠BDF=60°,连结AE,BF.则图中两个阴影部分的面积和为 cm2.
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(本题6分)
(1)化简:(a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab;
(2)解不等式:5(x-2)-2(x+1)>3.
20.(本题8分)作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成,某部门对今
年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计,结果如下:
宁波市4月份某一周公共自行车日租量统计图
(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数;
(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次;
(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9 600万元,估计2014年共租车3 200万车次,每
车次平均收入租车费0.1元,求2014年租车费收入占总投入的百分率(精确到0.1%).
21.( 本 题 8 分 ) 如 图 , 从 A 地 到 B 地 的 公 路 需 经 过 C 地 , 图 中 AC=10 千 米 ,
∠CAB=25°,∠CBA=37°.因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直后的公路AB的长;
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?
(sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)22.(本题 10 分)如图,点 A,B 分别在 x,y 轴上,点 D 在第一象限内,DC⊥x 轴于点
k
C,AO=CD=2,AB=DA=√5,反比例函数y= (k>0)的图象过CD的中点E.
x
(1)求证:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数
的图象上,并说明理由.
23.(本题10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数
的值.24.(本题10分)用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面
组成.硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).
A方法:剪6个侧面;B方法:剪4个侧面和5个底面.
现有19张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法.
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?25.(本题12分)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分
成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法.
我们有多种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三
····
角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰
三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC 中,∠B=30°,AD 和 DE 是△ABC 的三分线,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,且
AD=BD,DE=CE.设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
(3)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.
26.(本题14分)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面.他设
计了四种方案:
方案一:直接锯一个半径最大的圆;
方案二:圆心O,O 分别在CD,AB上,半径分别是OC,O A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;
1 2 1 2
方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;
方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
(1)写出方案一中圆的半径;
(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大;
(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数解析式;
②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径
最大.
方案四 方案四备用图1 方案四备用图2
答案全解全析：
一、选择题
1.A 0既不是正数也不是负数,故选A.
2.C 253.7亿=25 370 000 000=2.537×1010,故选C.3.D 按A,B中的对折方法,易知两角和都小于90°,故排除A,B;当如选项C所示折叠时,折痕
不经过矩形任何一角的顶点,所以不可能是直角的平分线,故本选项错误;当如选项D所示折
叠时,两角的和是90°,由折叠的性质可知其折痕必是直角的平分线,正确.故选D.
4.C 5×4+(-0.1-0.3+0.2+0.3)=20.1(千克),故选C.
1
5.B 此圆锥的侧面积= ×4×2π×2=8π.故选B.
2
6.D ∵四边形ABCD是菱形(如图),AC=8,BD=6,∴OB=OD=3,OA=OC=4,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,由勾股定理得AB= = =5,
√AO2+OB2 √42+32
即此菱形的边长是5,故选D.
7.D 除A、B两点外,余下的7个点中有4个点均可与点A、B组成直角三角形,∴所求概率
4
P= .故选D.
7
8.C ∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC.
又∵∠B=∠ACD=90°,∴△CBA∽△ACD,
BC AC AB
∴ = = .又∵AB=2,DC=3,
AC AD DC
∴BC=AC= AB=2,∴ S
△ABC
=( AB) 2 =4.故选C.
AC AD DC 3 S DC 9
△DCA
评析 本题主要考查了三角形相似的判定及性质.
9.A Δ=b2-4,由于当b=-1时,满足b<0,而Δ<0,方程没有实数解,所以当b=-1时,能说明这个命
题是假命题.故选A.
10.B 易知九棱锥共18条棱,而
五棱柱共15条棱,故A错误;
六棱柱共18条棱,故B正确;
七棱柱共21条棱,故C错误;
八棱柱共24条棱,故D错误.故选B.
11.B 如图,连结AC、CF,
∵在正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,
∴AC=√2,CF=3√2,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,
由勾股定理得,AF= = =2 ,
√AC2+CF2 √(√2)2+(3√2)2 √5
∵H是AF的中点,
1 1
∴CH= AF= ×2√5=√5.故选B.
2 2
评析 本题考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质、正方形的性质
勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
12.D ∵点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,∴(a-2b)2+4×(a-2b)+10=2-4ab,
a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab,
(a+2)2+4(b-1)2=0,
∴a+2=0,b-1=0,
解得a=-2,b=1,
∴a-2b=-2-2×1=-4,
2-4ab=2-4×(-2)×1=10,
∴点A的坐标为(-4,10).
4
∵对称轴为直线x=- =-2,
2×1
∴点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(0,10).故选D.
评析 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,把点的坐标代入抛物线
解析式并整理成一边是非负数,一边是0的方程形式是解题的关键.
二、填空题
13.答案 4
解析 负数的绝对值是它的相反数,∴|-4|=4.
14.答案 -1
解析 去分母得x=-1,
经检验,x=-1是原分式方程的根.
15.答案 150
解析 观察扇形统计图知:售出红豆口味的雪糕 200 支,占 40%,∴售出雪糕总量为
200÷40%=500支.
又∵水果口味的雪糕占30%,
∴售出水果口味雪糕的数量是500×30%=150支.
16.答案 ab
解析 设大正方形的边长为x,小正方形的边长为x,由题图①和②列出方程组得,
1 2
a+b
{x = ,
{x +2x =a, 解得 1 2
1 2
x -2x =b, a-b
1 2 x = .
2 4
∴题图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=(a+b) 2 -4(a-b) 2 =ab.
2 4
17.答案 17
√2
解析 如图,BC=2.2×cos 45°=2.2× ≈1.54米,
2
√2
CE=5×sin 45°=5× ≈3.5米,
2
BE=BC+CE=5.04米,
√2
EF=2.2÷sin 45°=2.2÷ ≈3.14米,
2
(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个).
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.评析 本题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数及其运算,关键是把实际问题转化为
数学问题加以计算.
18.答案 6√11
解析 如图,作△DBF的轴对称图形△CAG,作AM⊥CG,ON⊥CE,
∵△CAG是△DBF的轴对称图形,
∴△ACG≌△BDF,
∴∠ACG=∠BDF=60°.
∵∠ECB=60°,∴G、C、E三点共线.
∵AM⊥CG,ON⊥CE,∴AM∥ON,
AM AC 2
∴ = = ,
ON OC 1
在Rt△ONC中,∠OCN=60°,
√3
∴ON=OC·sin∠OCN= OC.
2
1
根据已知条件易得OC= OA=2 cm,
3
∴ON=√3 cm,∴AM=2√3 cm.
1
∵ON⊥GE,∴NE=GN= GE,连结OE,
2
在Rt△ONE中,NE= = = cm,
√OE2-ON2 √62-(√3)2 √33
∴GE=2NE=2√33 cm,
1 1
∴S = GE·AM= ×2√33×2√3=6√11 cm2,
△AGE
2 2
∴题图中两个阴影部分的面积和为6√11 cm2.
评析 本题考查了平行线的性质、垂径定理、勾股定理的应用.
三、解答题
19.解析 (1)原式=a2+2ab+b2+a2-b2-2ab(2分)
=2a2.(3分)
(2)去括号,得5x-10-2x-2>3,(1分)
移项、合并同类项,得3x>15,(2分)
系数化为1,得x>5.(3分)
20.解析 (1)根据条形统计图得,出现次数最多的为8,即众数为8;
将数据按照从小到大的顺序排列为7.5,8,8,8,9,9,10,中位数为8;
平均数为(7.5+8+8+8+9+9+10)÷7=8.5.(3分)
(2)30×8.5=255(万车次).
答:估计4月份(30天)共租车255万车次.(5分)
3 200×0.1 1
(3)根据题意得 = ≈3.3%,
9 600 30
答:2014年租车费收入占总投入的3.3%.(8分)
21.解析 (1)作CH⊥AB于点H,在Rt△ACH中,(1分)CH=AC·sin∠CAB=AC·sin 25°≈10×0.42=4.2(千米),(2分)
AH=AC·cos∠CAB=AC·cos 25°≈10×0.91=9.1(千米),(3分)
在Rt△BCH中,BH=CH÷tan 37°≈4.2÷0.75=5.6(千米),(4分)
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米).(5分)
(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin 37°≈4.2÷0.60=7.0(千米),(6分)
∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).
答:改直后比原来缩短了2.3千米.(8分)
22.解析 (1)证明:∵点A,B分别在x,y轴上,DC⊥x轴于点C,
∴∠AOB=∠DCA=90°.(2分)
∵AO=CD=2,AB=DA=√5,
∴△AOB≌△DCA.(4分)
(2)∵∠DCA=90°,DA=√5,CD=2,
∴AC= = =1.(5分)
√DA2-CD2 √(√5)2-22
∴OC=OA+AC=2+1=3.
∵E是CD的中点,
∴CE=DE=1,∴E(3,1).(6分)
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象过点E,∴k=3.(7分)
x
(3)点G在反比例函数的图象上.理由如下:
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,
∴BF=DC=2,FG=AC=1.(8分)
∵点F在y轴上,∴OF=OB+BF=1+2=3,
∴G(1,3).(9分)
3
把x=1代入y= 中,得y=3,
x
3
∴点G在反比例函数y= 的图象上.(10分)
x
评析 本题是反比例函数的综合题.掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质
和三角形全等的判定与性质是解题的关键.
23.解析 (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,
{4a+2b+c=0,
∴ c=-1, (2分)
16a+4b+c=5,
1 1
∴a= ,b=- ,c=-1,
2 2
1 1
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1.(4分)
2 2
1 1
(2)当y=0时,有 x2- x-1=0,(5分)
2 2
∴x=2,x=-1,(6分)
1 2
∴点D的坐标为(-1,0).(7分)
(3)图象如图.(8分)所求的x的取值范围为-1<x<4.(10分)
评析 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,以及一次函数的图象、抛物线与x轴
的交点问题,属中档题.
24.解析 (1)裁剪出的侧面个数为6x+4(19-x)=(2x+76)个,(2分)
裁剪出的底面个数为5(19-x)=(-5x+95)个.(4分)
(2)由题意,得
2x+76 -5x+95
= ,(6分)
3 2
解得x=7.(8分)
2x+76
当x=7时, =30,
3
∴最多可以做的盒子个数为30个.(10分)
25.解析 (1)画图如下(任画其中两个即可).
(4分)
(2)如图,
当AD=AE时,2x+x=30+30,∴x=20.(6分)
当AD=DE时,30+30+2x+x=180,∴x=40.(7分)
当AE=DE时,不存在.(不写不扣分)
∴∠C的度数是20°或40°.(结论不写不扣分)
(3)如图,CD,AE就是所求的三分线,
设∠B=α,那么∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,(8分)
设AE=AD=a,BD=CD=y,
∵△AEC∽△BDC,
∴a∶y=2∶3.
又∵△ACD∽△ABC,∴2∶a=(a+y)∶2,(10分)
2 3
解得a= √10,y= √10,
5 5
2 3
即三分线长分别是 √10和 √10.(12分)
5 5
评析 本题考查了学生的理解能力及动手、创新能力,知识方面重点考查三角形内角、外角
间的关系及等腰三角形知识,是一道综合性比较强的题目.
26.解析 (1)方案一中圆的半径为1.(2分)
(2)方案二:
如图,连OO,作EO⊥AB于E,设OC=m,(3分)
1 2 1 1
13
那么(2m)2=22+(3-2m)2,解得m= .(5分)
12
方案三:
连OG,∴OG⊥CD,∵∠D=90°,∴OG∥DE,(6分)
OG CG
∴△CGO∽△CDE,∴ = ,(7分)
DE CD
n 3-n 6
设OG=n,∴ = ,∴n= ,∴方案三的圆半径较大.(8分)
2 3 5
1
(3)①当0<x< 时,(9分)
2
x+2
y= .(10分)
2
1
当 ≤x<1时,(11分)
2
3-x
y= .(12分)
2
注:以下写法同样给分
{x+2( 1)
0<x<
2 2
y=
3-x(1
)
≤x<1
2 21 5
②当x= 时y最大,y = ,(13分)
最大
2 4
四种方案中,第四种方案圆形桌面的半径最大.(14分)
评析 本题是以实际问题为载体,有关圆的一道综合题,主要考查了圆的基本性质及通过勾股
定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质等内容,题目思维量较大,综合考
查了学生分析问题、解决问题的能力.
