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2014 年宁波市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下列各数中,既不是正数也不是负数的是( )
A.0 B.-1 C.√3 D.2
2.宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元.其中253.7亿用科学记数法表示为(
)
A.253.7×108 B.25.37×109 C.2.537×1010 D.2.537×1011
3.用矩形纸片折出直角的平分线,下列折法正确的是( )
4.杨梅开始采摘啦!每筐杨梅以5千克为基准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,
记录如图.则这4筐杨梅的总质量是( )
A.19.7千克 B.19.9千克 C.20.1千克 D.20.3千克
5.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是( )
A.6π B.8π C.12π D.16π
6.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )
A.10B.8 C.6 D.5
7.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,
使△ABC为直角三角形的概率是( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 5 7 7
8.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为(
)
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.√2∶√39.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是
假命题的一个反例可以是( )
A.b=-1 B.b=2 C.b=-2 D.b=0
10.如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面
体叫做棱锥.如图是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数
相等的是( )
A.五棱柱B.六棱柱 C.七棱柱 D.八棱柱
11.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么
CH的长是( )
3
A.2.5 B.√5 C. √2 D.2
2
12.已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(
)
A.(-3,7) B.(-1,7) C.(-4,10) D.(0,10)
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.-4的绝对值是 .
x 1
14.方程 = 的根x= .
x-2 2-x
15.某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图所示,其中售出红豆口味的雪糕
200支,那么售出水果口味雪糕的数量是 支.
16.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被
小正方形覆盖部分的面积是 (用a,b的代数式表示).
17.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽2.2米
的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.
(√2≈1.4)18.如图,半径为6 cm的☉O中,C,D为直径AB的三等分点,点E,F分别在AB两侧的半圆上,
∠BCE=∠BDF=60°,连结AE,BF.则图中两个阴影部分的面积和为 cm2.
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(本题6分)
(1)化简:(a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab;
(2)解不等式:5(x-2)-2(x+1)>3.
20.(本题8分)作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成,某部门对今
年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计,结果如下:
宁波市4月份某一周公共自行车日租量统计图
(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数;
(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次;
(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9 600万元,估计2014年共租车3 200万车次,每
车次平均收入租车费0.1元,求2014年租车费收入占总投入的百分率(精确到0.1%).
21.( 本 题 8 分 ) 如 图 , 从 A 地 到 B 地 的 公 路 需 经 过 C 地 , 图 中 AC=10 千 米 ,
∠CAB=25°,∠CBA=37°.因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直后的公路AB的长;
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?
(sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)22.(本题 10 分)如图,点 A,B 分别在 x,y 轴上,点 D 在第一象限内,DC⊥x 轴于点
k
C,AO=CD=2,AB=DA=√5,反比例函数y= (k>0)的图象过CD的中点E.
x
(1)求证:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数
的图象上,并说明理由.
23.(本题10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数
的值.24.(本题10分)用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面
组成.硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).
A方法:剪6个侧面;B方法:剪4个侧面和5个底面.
现有19张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法.
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?25.(本题12分)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分
成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法.
我们有多种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三
····
角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰
三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC 中,∠B=30°,AD 和 DE 是△ABC 的三分线,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,且
AD=BD,DE=CE.设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
(3)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.
26.(本题14分)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面.他设
计了四种方案:
方案一:直接锯一个半径最大的圆;
方案二:圆心O,O 分别在CD,AB上,半径分别是OC,O A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;
1 2 1 2
方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;
方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
(1)写出方案一中圆的半径;
(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大;
(3)在方案四中,设CE=x(03,(1分)
移项、合并同类项,得3x>15,(2分)
系数化为1,得x>5.(3分)
20.解析 (1)根据条形统计图得,出现次数最多的为8,即众数为8;
将数据按照从小到大的顺序排列为7.5,8,8,8,9,9,10,中位数为8;
平均数为(7.5+8+8+8+9+9+10)÷7=8.5.(3分)
(2)30×8.5=255(万车次).
答:估计4月份(30天)共租车255万车次.(5分)
3 200×0.1 1
(3)根据题意得 = ≈3.3%,
9 600 30
答:2014年租车费收入占总投入的3.3%.(8分)
21.解析 (1)作CH⊥AB于点H,在Rt△ACH中,(1分)CH=AC·sin∠CAB=AC·sin 25°≈10×0.42=4.2(千米),(2分)
AH=AC·cos∠CAB=AC·cos 25°≈10×0.91=9.1(千米),(3分)
在Rt△BCH中,BH=CH÷tan 37°≈4.2÷0.75=5.6(千米),(4分)
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米).(5分)
(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin 37°≈4.2÷0.60=7.0(千米),(6分)
∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).
答:改直后比原来缩短了2.3千米.(8分)
22.解析 (1)证明:∵点A,B分别在x,y轴上,DC⊥x轴于点C,
∴∠AOB=∠DCA=90°.(2分)
∵AO=CD=2,AB=DA=√5,
∴△AOB≌△DCA.(4分)
(2)∵∠DCA=90°,DA=√5,CD=2,
∴AC= = =1.(5分)
√DA2-CD2 √(√5)2-22
∴OC=OA+AC=2+1=3.
∵E是CD的中点,
∴CE=DE=1,∴E(3,1).(6分)
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象过点E,∴k=3.(7分)
x
(3)点G在反比例函数的图象上.理由如下:
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,
∴BF=DC=2,FG=AC=1.(8分)
∵点F在y轴上,∴OF=OB+BF=1+2=3,
∴G(1,3).(9分)
3
把x=1代入y= 中,得y=3,
x
3
∴点G在反比例函数y= 的图象上.(10分)
x
评析 本题是反比例函数的综合题.掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质
和三角形全等的判定与性质是解题的关键.
23.解析 (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,
{4a+2b+c=0,
∴ c=-1, (2分)
16a+4b+c=5,
1 1
∴a= ,b=- ,c=-1,
2 2
1 1
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1.(4分)
2 2
1 1
(2)当y=0时,有 x2- x-1=0,(5分)
2 2
∴x=2,x=-1,(6分)
1 2
∴点D的坐标为(-1,0).(7分)
(3)图象如图.(8分)所求的x的取值范围为-1
