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宁波市 2016 年初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.6的相反数是( )
1 1
A.-6 B. C.- D.6
6 6
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a3=a6 B.3a-a=3C .(a3)2=a5 D .a·a2=a3
3.宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元,其中84.5亿元用科学记数法表示为
( )
A.0.845×1010元 B.84.5×108元C.8.45×109元D.8.45×1010元
4.使二次根式√x-1有意义的x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x≤1 D.x≥1
5.如图所示的几何体的主视图为( )
6.一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球,它们除颜色外都相同.从中任意摸
出一个球,是红球的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
7.某班10名学生的校服尺寸与对应人数如下表所示:
尺寸(cm) 160 165 170 175 180
学生人数(人) 1 3 2 2 2
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为( )
A.165 cm,165 cmB.165 cm,170 cm
C.170 cm,165 cmD.170 cm,170 cm
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=40°,则∠B的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.如图,圆锥的底面半径r为6 cm,高h为8 cm,则圆锥的侧面积为( )A.30π cm2 B.48π cm2 C.60π cm2 D.80π cm2
10.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是 ( )
1
A.a=-2 B.a= C.a=1 D.a=√2
3
11.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
12.下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等
腰直角三角形纸片的面积都为S ,另两张直角三角形纸片的面积都为S ,中间一张正方形纸片
1 2
的面积为S ,则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
3
A.4S B.4S C.4S +S D.3S +4S
1 2 2 3 1 3
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.实数-27的立方根是 .
14.分解因式:x2-xy= .
15.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成,图案①需8根火柴棒,图案②需15
根火柴棒,……,按此规律,图案⑦需 根火柴棒.
16.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角
为60°,测角仪高AD为1 m,则旗杆高BC为 m(结果保留根号).
17.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠COD=90°,则图中阴影部分的面积为 .
9 1
18.如图,点A为函数y= (x>0)图象上一点,连接OA,交函数y= (x>0)的图象于点B,点C是x
x x
轴上一点,且AO=AC,则△ABC的面积为 .三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(本题6分)先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x(3-x),其中x=2.
20.(本题8分)下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方
形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)
21.(本题8分)为深化义务教育课程改革,某校积极开展拓展性课程建设,计划开设艺术、体育、
劳技、文学等多个类别的拓展性课程,要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程.为
了了解学生选择拓展性课程的情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下
统计图(部分信息未给出):
根据统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有1 600名学生,请估计全校选择体育类的学生人数.22.(本题10分)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐
标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
23.(本题10分)如图,已知☉O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D
作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)求DE的长.
24.(本题10分)某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如下表所
示:
A B
进价(万元/套) 1.5 1.2
售价(万元/套) 1.65 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.(毛利润
=(售价-进价)×销售量)(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的
购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学
设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?
25.(本题12分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之
间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,
另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=√2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的
等腰三角形.求完美分割线CD的长.
26.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(5,0),菱形OABC的顶
4
点B,C都在第一象限,tan∠AOC= ,将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α(0°<∠α<∠AOC)
3
得到菱形FADE(点O的对应点为点F),EF与OC交于点G,连接AG.
(1)求点B的坐标;
(2)当OG=4时,求AG的长;
(3)求证:GA平分∠OGE;
(4)连接BD并延长交x轴于点P,当点P的坐标为(12,0)时,求点G的坐标.答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为6和-6只有符号不同,所以6的相反数是-6.故选A.
2.D 选项A,a3+a3=2a3,错误;选项B,3a-a=2a,错误;选项C,(a3)2=a6,错误;选项D,a·a2=a3,正确,
故选D.
3.C 84.5亿元=84.5×108元=8.45×109元,故选C.
评析 本题考查了科学记数法,解题的关键是确定a×10n中的a和n.
4.D 根据题意,得x-1≥0,解得x≥1,故选D.
评析 本题考查了二次根式的概念,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件.先根据二
次根式有意义的条件建立关于x的不等式,再解这个不等式确定x的取值范围.
5.B 根据主视图的定义可知选B.
3 1
6.C ∵布袋中共有6个球,其中有3个红球,∴从中任意摸出一个球,是红球的概率为 = ,故
6 2
选C.
7.B 根 据 题 中 表 格 , 将 10 名 学 生 校 服 尺 寸 ( 单 位 :cm) 按 从 小 到 大 排 序 为
160,165,165,165,170,170,175,175,180,180,其中数据165出现了3次,出现次数最多,故众数
170+170
为165 cm,中位数是第5个和第6个数据的平均数,故中位数为 =170 cm,故选B.
2
8.B ∵CD∥AB,∠ACD=40°,∴∠A=∠ACD=40°,
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴∠B=50°,故选B.
9.C ∵r=6 cm,h=8 cm,∴圆锥的母线长l= = =10 cm,∴圆锥的侧面积为
√r2+h2 √62+82
πrl=π×6×10=60π cm2,故选C.
评析 本题考查了圆锥侧面积的计算以及圆锥母线长、半径、高之间的关系,解题的关键是
掌握圆锥侧面积的计算公式.10.A 把a=-2代入|a|>-a,得|-2|>-(-2),结论不成立,选项A符合;把a=1代入|a|>-a,得|1|>-1,
3 3 3
结论成立,选项B不符合;把a=1代入|a|>-a,得|1|>-1,结论成立,选项C不符合;把a=√2代入|a|
>-a,得|√2|>-√2,结论成立,选项D不符合,故选A.
11.D 选项A,当a=1时,y=x2-2x-1,当x=-1时,y=2,即函数图象不经过点(-1,1),错误;选项B,当
a=-2时,y=-2x2+4x-1,Δ=42-4×(-2)×(-1)=8>0,即函数图象与x轴有两个交点,错误;选项C,二
次函数y=ax2-2ax-1图象的对称轴为x=1,若a>0,则抛物线开口向上,当x≥1时,y随x的增大
而增大,错误;选项D,二次函数y=ax2-2ax-1图象的对称轴为x=1,若a<0,则抛物线开口向下,
当x≤1时,y随x的增大而增大,正确.故选D.
评析 本题考查二次函数的图象和性质.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个
数可以利用判别式Δ=b2-4ac来判断,当Δ>0时,图象与x轴有两个交点,当Δ=0时,图象与x
轴有一个交点,当Δ<0时,图象与x轴没有交点;二次函数的增减性要结合图象开口方向和对
称轴来判断.
1
12.A 设等腰直角三角形纸片的直角边长为 a,中间一张正方形纸片的边长为 m,则S =
1
2
1 1 1
a2,S =m2,S = (a-m)(a+m)= (a2-m2),∴S = (2S -S ),即S =2S -2S ,∴所求平行四边形的面
3 2 2 1 3 3 1 2
2 2 2
积为2S +2S +S =2S +2S +(2S -2S )=4S .故选A.
1 2 3 1 2 1 2 1
评析 本题的关键是引入字母找出S 、S 、S 之间的关系.
1 2 3
二、填空题
13.答案 -3
解析 由于(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3.
评析 利用立方和开立方运算是互逆运算进行求解.
14.答案 x(x-y)
解析 x2-xy=x(x-y).
评析 本题考查了运用提公因式法把多项式进行因式分解,解题的关键是熟练掌握提公因式
法分解因式的方法与步骤.
15.答案 50
解析 图案①需 8 根火柴棒,图案②需 15 根火柴棒,……,按此规律可知,图案 需 8+
(n-1)×7=7n+1根火柴棒,所以图案⑦需7×7+1=50根火柴棒.
评析 解决此问题应先观察图案的变化趋势,然后从第一个图案进行分析,运用从特殊到一般
的探索方式,分析归纳出火柴棒根数变化的规律,并用含有n(n为正整数)的代数式进行表示,
最后用代入法求出特殊情况下的数值.
16.答案 10√3+1
解析 如图,易知四边形ADCH为矩形,
∴CH=AD=1 m,AH=CD=10 m,
BH
在Rt△ABH中,∵∠BAH=60°,∴tan 60°= ,
10∴BH=10√3 m,∴BC=BH+CH=(10√3+1)m.
π
17.答案
4
解析 ∵半圆O的直径AB=2,∴半径R=1,
∵CD∥AB,∴S =S ,
△ACD △OCD
nπR2 90π×12 π
∴S =S = = = .
阴影 扇形COD
360 360 4
18.答案 6
解析 如图,作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E,
则BE∥AD,∴△OBE∽△OAD,
1
∴
S
△OBE=
(OB) 2 ,则(OB) 2
=
2
=
1
,∴
OB
=
1
,
S OA OA 9 9 OA 3
△OAD
2
AB 2 2
∴ = ,∴S = S ,∵AO=AC,
OA 3
△ABC
3
△AOC
9
∴OD=CD,∴S =2S =2× =9,
△AOC △AOD
2
2 2
∴S = S = ×9=6.
△ABC △AOC
3 3
三、解答题
19.解析 原式=x2-1+3x-x2(4分)
=3x-1.(5分)
当x=2时,原式=3×2-1=5.(6分)
评析 本题考查了整式的化简求值,解题的关键是熟练掌握乘法公式与整式的运算法则.
20.解析 (1)画出下图中一种即可.(3分)
(2)画出下图中一种即可.(6分)
(3)画出下图中一种即可.(8分)
评析 解答此类题的关键是要掌握轴对称图形和中心对称图形的概念,抓住概念的要领.
21.解析 (1)60÷30%=200(人).
答:本次被调查的学生人数为200人.(2分)(2)补全条形统计图如图(200×15%=30,200-24-60-30-16=70).
(6分)
70
(3)1 600× =560(人).
200
答:估计全校选择体育类的学生有560人.(8分)
22.解析 (1)把B(3,0)代入y=-x2+mx+3,
得:0=-32+3m+3,
解得:m=2,(3分)
∴y=-x2+2x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4).(6分)
(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,连接AP,
此时PA+PC的值最小.
(理由:设Q是直线l上任意一点,连接AQ、CQ、BQ,
∵直线l垂直平分AB,
∴AQ=BQ,AP=BP,
∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC,
BC=BP+CP=AP+CP,
即AQ+CQ≥AP+CP)
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
{0=3k+b, {k=-1,
把(3,0),(0,3)代入,得: ∴
3=b, b=3.
∴直线BC的解析式为y=-x+3.(8分)
当x=1时,y=-1+3=2.
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).(10分)
评析 (1)待定系数法是求函数解析式的常用方法,根据函数的特征设出函数的表达式,将函
数所经过的点的坐标代入函数的解析式,得到关于变量的方程(或方程组),解方程(或方程组)
求得待定系数的值,然后写出函数的解析式.
(2)解决本题要用到初中数学中一个典型的模型——“将军饮马”问题.如图1,在一条可以近
似看成直线的河a的同旁,将军牵着马位于点A处,现将军要牵着马到河边给马儿喂水,然后
再牵着马回到军营(点B处),设饮马的位置为河边的点M,那么这个点M在何处才能使走的路
程最短(换句话说就是使AM+BM最短)?图1 图2
具体的作法是:如图2,作点B关于直线a的对称点B',连接AB'交直
线a于点M,连接BM,则AM+BM最短.
23.解析 (1)证明:连接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠DAO,
∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE.(3分)
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.
∴DE是☉O的切线.(5分)
(2)过点O作OF⊥AC于点F,
∴AF=CF=3,
∴OF= = =4.(7分)
√AO2-AF2 √52-32
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四边形OFED是矩形.(9分)
∴DE=OF=4.(10分)
评析 (1)有关切线的证明,遵循有切点,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证半径的原则.
(2)圆中涉及弦长的条件,通常是利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解.
24.解析 (1)设该商场计划购进A种设备x套,B种设备y套,
{1.5x+1.2y=66,
由已知得: (3分)
0.15x+0.2y=9,
{x=20,
解得:
y=30.
答:该商场计划购进A种设备20套,B种设备30套.(5分)
(2)设A种设备购进数量减少a套,则B种设备购进数量增加1.5a套,
由已知及(1)得:1.5(20-a)+1.2(30+1.5a)≤69.(8分)
解得:a≤10,
答:A种设备购进数量至多减少10套.(10分)
评析 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解题的关键是正确理解题意,找
出数量关系,列出方程组和不等式,其中将题目中的“文字语言”转化为“数学符号语言”是
解题的关键.列不等式(组)解决实际问题时,要注意题目中表示不等关系的词语,如“不大于”
“不小于”“不超过”“不低于”等.25.解析 (1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°,(1分)
∴△ABC不是等腰三角形,
∵CD平分∠ACB,
1
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°.
2
∴∠ACD=∠A=40°,
∴△ACD为等腰三角形.(2分)
∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC.
∴CD是△ABC的完美分割线.(3分)
(2)当AD=CD时(如图①),∠ACD=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.(5分)
180°-48°
当AD=AC时(如图②),∠ACD=∠ADC= =66°.
2
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.(7分)
当AC=CD时(如图③),∠ADC=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ADC=∠BCD,其与∠ADC>∠BCD矛盾,舍去.
∴∠ACB=96°或114°.(8分)
(3)由题意知AC=AD=2,
BC BD
∵△BCD∽△BAC,∴ = ,
BA BC
设BD=x,
∴(√2)2=x·(x+2),
解得x=-1±√3,
∵x>0,∴x=√3-1.(10分)
∵△BCD∽△BAC,
CD BD √3-1
∴ = = ,
AC BC √2
√3-1
∴CD= ×2=√2(√3-1)=√6-√2.(12分)
√2
评析 本题属于新定义问题,对新定义问题,一定要读懂、理解新定义的内容.解答本题时要
牢牢抓住三角形的完美分割线的含义,还要注意分类讨论思想的运用.
26.解析 (1)如图1,过点B作BH⊥x轴于点H,∵四边形OABC是菱形,∴OC∥AB,
∴∠BAH=∠COA,
4
∴tan∠BAH= .
3
又∵在Rt△ABH中,AB=5,
4 3
∴BH= AB=4,AH= AB=3,
5 5
∴OH=OA+AH=5+3=8,
∴点B的坐标为(8,4).(3分)
图1
(2)如图1,过点A作AM⊥OC于点M,
4
在Rt△AOM中,∵tan∠AOM= ,OA=5,
3
4 3
∴AM= OA=4,OM= OA=3.
5 5
∵OG=4,
∴GM=OG-OM=4-3=1.
∴AG= = = .(6分)
√AM2+GM2 √42+12 √17
(3)证明:如图1,过点A作AN⊥EF于点N,
∵∠AOM=∠F,∠AMO=∠ANF=90°,OA=FA,
∴△AOM≌△AFN,
∴AM=AN,
∴GA平分∠OGE.(10分)
(4)如图2,过点G作GQ⊥x轴于点Q,
由旋转可知:∠OAF=∠BAD=∠α,
180°-∠α
∵AB=AD,∴∠ABP= ,
2
∵∠AOT=∠F,∠OTA=∠GTF,
∴∠FGO=∠OAF=∠α,
180°-∠α
∴∠OGA=∠EGA= ,
2
∴∠OGA=∠ABP,(12分)
又∵∠GOA=∠BAP,
∴△GOA∽△BAP,
GQ OA
∴ = ,
BH AP
5 20
∴GQ= ×4= ,
7 74
∵tan∠AOC= ,
3
20 3 15
∴OQ= × = ,
7 4 7
∴点G的坐标为(15 20).(14分)
,
7 7
图2
评析 (1)本题考查的知识点很多,有菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、角平
分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数
的定义、图形旋转的特征等知识,解题的关键是通过作高,利用直角三角形、相似三角形的性
质求出对应的线段.
(2)本题的综合程度高,问题分层设置,层层递进.解决此类压轴题的关键是综合应用所学过的
知识、方法以及数学思想,深入探究问题中给出的已知条件,把问题转化或化归为熟悉和简单
的问题去解决.
本题中的坐标和长度的计算,最后都可以归结为求线段的长度问题,常用的方法有:①利用勾
股定理求解;②利用解直角三角形求解;③利用相似三角形对应线段成比例的性质求解.
