2015 年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷)
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、
错选,均不给分)
1
1.给出四个数0,√3, ,-1,其中最小的是( )
2
1
A.0 B.√3 C. D.-1
2
2.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是( )
3.某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示.若参加人数最少的小组有25人,则参
加人数最多的小组有( )
A.25人 B.35人 C.40人 D.100人
4.下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
6.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
{x+1>2,
7.不等式组 的解是( )
x-1≤2A.x<1 B.x≥3 C.1≤x<3 D.1<x≤3
k
8.如图,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数y= 的图象
x
经过点B,则k的值是( )
A.1 B.2 C.√3 D.2√3
9.如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点
D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE.设OC=x,图中阴影部分
面积为y,则y与x之间的函数关系式是( )
√3
A.y= x2 B.y=√3x2 C.y=2√3x2 D.y=3√3x2
2
10.如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC,BC为边向外作正方形
⏜ ⏜
ACDE,BCFG.DE,FG,
AC
, BC的中点分别是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,则AB的长
为( )
90
A.9√2 B. C.13 D.16
7
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.分解因式:a2-2a+1= .
12.一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球,它们除颜色外其余均相同.现随机从袋中摸
出两个球,颜色是一红一蓝的概率是 .
13.已知扇形的圆心角为120°,弧长为2π,则它的半径为 .
2 3
14.方程 = 的根是 .
x x+115.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示
的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲
养室总占地面积最大为 m2.
16.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重
AB 6
叠、无缝隙).图乙中, = ,EF=4 cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54 cm2,其内部菱
BC 7
形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为 cm.
三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
( 1)
17.(本题10分)(1)计算:2 0150+√12+2× - ;
2
(2)化简:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1).
18.(本题8分)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.19.(本题8分)某公司需招聘一名员工,对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进
行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表:
笔试 面试 体能
甲 83 79 90
乙 85 80 75
丙 80 90 73
(1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序;
(2)该公司规定:笔试、面试、体能得分分别不得低于 80 分、80 分、70 分,并按
60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用.
20.(本题8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如
何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,1859~1942 年)证明了格点多边形的面积公1
式:S=a+ b-1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形
2
1
的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+ ×6-1=6.
2
(1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;
7
(2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为 ,且每条边上除顶点外无其他格点.
2
图1 图2 图3
21.(本题10分)如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已
知∠AEF=135°.
(1)求证:DF∥AB;
(2)若OC=CE,BF=2√2,求DE的长.22.(本题10分)某农业观光园计划将一块面积为900 m2的园圃分成A,B,C三个区域,分别种
植甲、乙、丙三种花卉,且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株.已知B区域面积是A的
2倍,设A区域面积为x(m2).
(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式;
(2)若三种花卉共栽种6 600株,则A,B,C三个区域的面积分别是多少?
(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元,且差价均不超过10元.在(2)的前提下,全部栽
种共需84 000元.请写出甲、乙、丙三种花卉中,种植面积最大的花卉总价.
23.(本题12分)如图,抛物线y=-x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点
B,过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OE∥CD交MB于点E,EF∥x轴交CD
于点F,作直线MF.
(1)求点A,M的坐标;
(2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上?
(3)当BD=1时,
①求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上;
②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG,△FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分
别记为S,S ,S ,则S∶S ∶S = .
1 2 3 1 2 324.(本题14分)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作
Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ∶AB=3∶4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直
3
线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF= CD,
2
以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.
(1)用关于x的代数式表示BQ,DF;
(2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长;
(3)在点P的整个运动过程中,
①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?
②作直线BG交☉O于另一点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).答案全解全析：
一、选择题
1
1.D 根据正数大于0,0大于负数,知-1<0< <√3.故选D.
2
2.A 根据从主视方向看得到的图形是主视图,可得主视图是长方形,且该长方形中有两条虚
线.故选A.
3.C 由题意知参加人数最少的小组有25人,占25%,
∴参加体育兴趣小组的总人数为25÷25%=100(人).
∴参加人数最多的小组有100×(1-25%-35%)=100×40%=40(人).故选C.
4.A 根据中心对称图形的概念进行判断.
5.D 在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,
根据勾股定理,得AC=4.
AC 4
∴cos A= = .故选D.
AB 5
6.B ∵关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根,∴Δ=(-4)2-4·4·c=0⇒c=1.故选B.
{x+1>2, {x>1,
7.D 由 ⇒ ⇒1<x≤3.故选D.
x-1≤2 x≤3
8.C 如图,过点B作BD⊥x轴于点D.∵点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,
∴OB=OA=2,OD=1.由勾股定理得BD=√3.
∵点B在第一象限,∴点B的坐标是(1,√3).
k k
∵反比例函数y= 的图象经过点B,∴√3= ⇒k=√3.
x 1
故选C.
9.B ∵ON是Rt∠AOB的平分线,DE⊥OC,
∴△ODE是等腰直角三角形.
∵OC=x,∴DE=2x.
∵∠DFE=120°,∴∠EDF=30°.
√3 1 √3 √3
∴CF= x.∴S = ·2x· x= x2.
3
△DEF
2 3 3
在菱形FGMH中,∠GFH=120°,又FG=FE,
∴S =2S .
菱形FGMH △DEF
∴y=3S =√3x2.故选B.
△DEF
10.C 如图,连结OP、OQ,
∵DE,FG, ⏜ , ⏜ 的中点分别是M,N,P,Q,
AC BC
∴O,P,M三点共线,O,Q,N三点共线.
∵四边形ACDE,四边形BCFG是正方形,
∴AE=CD=AC,BG=CF=BC.
设AB=2r,则OM=MP+r,ON=NQ+r.
∵点O,M分别是AB,ED的中点,
∴OM是梯形ABDE的中位线.
1 1 1
∴OM= (AE+BD)= (AE+CD+BC)= (2AC+BC),
2 2 2
1
即MP+r= (2AC+BC).
21
同理,得NQ+r= (2BC+AC).
2
3
两式相加,得MP+NQ+2r= (AC+BC).
2
∵MP+NQ=14,AC+BC=18,
3
∴14+2r= ×18⇒2r=13,即AB=13.故选C.
2
二、填空题
11.答案 (a-1)2
解析 a2-2a+1=a2-2·a·1+12=(a-1)2.
2
12.答案
3
解析 共有3种等可能的结果:(红球,蓝球1),(红球,蓝球2),(蓝球1,蓝球2),颜色是一红一蓝的
情况有两种:(红球,蓝球1),(红球,蓝球2),
2
∴随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的概率是 .
3
13.答案 3
120·π·r
解析 由弧长公式得 =2π,解得r=3.
180
14.答案 x=2
2 3
解析 = ⇒3x=2x+2⇒x=2.
x x+1
经检验,x=2是原方程的根.
2 3
∴方程 = 的根是x=2.
x x+1
15.答案 75
解析 设垂直于现有墙的一面墙长为x m,建成的饲养室总占地面积为y m2,
则利用现有墙的长为(27+3-3x)m,
∴y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75.
∵-3<0,∴当x=5时,y =75,
max
即能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.
50
16.答案
3
解析 如图,连结MN、PQ,设MN=2x cm,PQ=2y cm,
AB 6
∵ = ,∴可设AB=6k cm(k>0),则BC=7k cm.
BC 7
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54 cm2,2x+7k
∴2· ·3k+54=6k·7k,即(2x+7k)·3k+54=42k2.①
2
易知四边形DENM、四边形AFMN是平行四边形,
∴DE=AF=MN=2x cm.
7k-4
∵EF=4 cm,∴4x+4=7k,即2x= .②
2
将②代入①得,(7k-4 )·3k+54=42k2,
+7k
2
化简得7k2+4k-36=0.
18
解得k=2,k=- (舍去).
1 2
7
5
∴AB=12 cm,BC=14 cm,MN=5 cm,∴x= .
2
14-5
12 2 10
易证△MCD∽△MPQ,∴ = ,解得y= .
2y 5 3
2
√25 100 25
∴PM=√x2+ y2= + = (cm).
4 9 6
25 50
∴菱形MPNQ的周长为4× = (cm).
6 3
评析 本题主要考查平行四边形,菱形的性质以及相似三角形的性质.
三、解答题
17.解析 (1)原式=1+2√3-1=2√3.
(2)原式=4a2-1-4a2+4a=4a-1.
18.解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
∵AE=DF,∠A=∠D,
∴△ABE≌△DCF,
∴AB=CD.
(2)∵AB=CF,AB=CD,
∴CD=CF,∴∠D=∠CFD.
∵∠B=∠C=30°,∴∠D=75°.
83+79+90
19.解析 (1)x = =84,
甲 3
85+80+75
x = =80,
乙 380+90+73
x = =81,
丙 3
∴x >x >x ,
甲 丙 乙
∴排名顺序为甲、丙、乙.
(2)由题意可知,只有甲不符合规定.
∵x '=85×60%+80×30%+75×10%=82.5,
乙
x '=80×60%+90×30%+73×10%=82.3,
丙
∴录用乙.
20.解析 (1)画法不唯一,如图①或图②.
(2)画法不唯一,如图③,图④等.
21.解析 (1)证明:连结OF,
∵DF切半圆O于点F,∴DF⊥OF.
∵∠AEF=135°,四边形ABFE为圆内接四边形,∴∠B=45°.
∴∠FOA=90°,∴AB⊥OF,∴DF∥AB.
(2)连结OE,
∵BF=2√2,∠FOB=90°,
∴OB=OF=2.
∵OC=CE,CE⊥AB,OE=OF=2,
∴CE=√2.
∵DC∥OF,DF∥AB,∴四边形OCDF是平行四边形,
∴DC=OF=2.∴DE=DC-CE=2-√2.
22.解析 (1)y=3x+6·2x+12(900-3x),即y=-21x+10 800.
(2)当y=6 600时,-21x+10 800=6 600,解得x=200.
∴2x=400,900-3x=300.
答:A的面积是200 m2,B的面积是400 m2,C的面积是300 m2.
(3)种植面积最大的花卉总价为36 000元.
23.解析 (1)令y=0,则-x2+6x=0,解得x=0,x=6,
1 2
∴A(6,0),∴对称轴是直线x=3,∴M(3,9).
(2)∵OE∥CF,OC∥EF,C(2,0),
∴EF=OC=2,∴BC=1.
∴点F的横坐标为5.
∵点F落在抛物线y=-x2+6x上,
∴F(5,5),BE=5.
BD CB 1
∵ = = ,∴DE=2BD,
DE OC 2
5
∴BE=3BD,∴BD= .
3
(3)①当BD=1时,BE=3,∴F(5,3).
设MF的解析式为y=kx+b,
{9=3k+b, {k=-3,
将M(3,9),F(5,3)代入,得 解得
3=5k+b, b=18,
∴y=-3x+18.∵当x=6时,y=-3×6+18=0,
∴点A落在直线MF上.
②3∶4∶8.
评析 本题主要考查二次函数与几何问题的综合,主要涉及二次函数图象与坐标轴的交点坐
标,点是否在抛物线上,函数与方程综合等知识点.
24.解析 (1)在Rt△ABQ中,∵AQ∶AB=3∶4,AQ=3x,
∴AB=4x,∴BQ=5x.
又∵OD⊥m,l⊥m,∴OD∥l.
∵OB=OQ,
1 3
∴AH=BH= AB=2x,∴CD=2x,∴FD= CD=3x.
2 2
(2)∵AP=AQ=3x,PC=4,∴CQ=6x+4.
作OM⊥AQ于点M(如图①),∴OM∥AB.图①
∵☉O是△ABQ的外接圆,∠BAQ=90°,
3
∴点O是BQ中点,∴QM=AM= x,
2
9
∴OD=MC= x+4.
2
1 5
∴OE= BQ= x,∴ED=2x+4,
2 2
∴S
矩形DEGF
=DF·DE=3x(2x+4)=90,
∴x=-5(舍去),x=3,∴AP=3x=9.
1 2
(3)①若矩形DEGF是正方形,则ED=FD.
Ⅰ.点P在点A的右侧时(如图①),
∴2x+4=3x,解得x=4,∴AP=3x=12.
Ⅱ.点P在点A的左侧时,
i.当点C在点Q右侧,
4
(i)0<x< 时(如图②),
7
图②
∵ED=4-7x,FD=3x,
2 6
∴4-7x=3x,解得x= ,∴AP= .
5 5
4 2
(ii) ≤x< 时(如图③),
7 3
图③
∵ED=7x-4,DF=3x,
∴7x-4=3x,解得x=1(舍去).2
ii.当点C在点Q左侧或重合时,即x≥ (如图④),
3
图④
DE=7x-4,DF=3x,∴7x-4=3x,解得x=1,∴AP=3.
6
综上所述,当AP为12或 或3时,矩形DEGF是正方形.
5
6√17
②AP的长为6√2或 .
19
略解:连结NQ,由点O到BN的弦心距为1,
得NQ=2.
当点N在AB的左侧时(如图⑤),
图⑤
过点B作BK⊥EG于点K,
∵GK=x,BK=x,
∴∠GBK=45°.
易知BK∥AQ,∴AI=AB=4x,∴IQ=x,
x
∴NQ= =2,
√2
∴x=2√2,
∴AP=6√2.
当点N在AB的右侧时(如图⑥),
图⑥
过点B作BJ⊥GE于点J,
∵GJ=x,BJ=4x,
1
∴tan∠GBJ= ,
4
∴AI=16x,∴QI=19x,19x
∴NQ= =2,
√17
2√17
∴x= ,
19
6√17
∴AP= .
19
评析 本题考查动点问题,主要涉及动点与图形运动.分类讨论是解决动点问题的必经过程,也是中考必考内容.难度比较
大.
