文档内容
2015 年浙江省初中毕业生学业考试绍兴市试卷
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分,请选出每小题中一个最符合题意的选项,
不选、多选、错选,均不给分)
1.计算(-1)×3的结果是( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
2.据中国电子商务研究中心监测数据显示,2015年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额
达27 800 000 000元,将27 800 000 000用科学记数法表示为( )
A.2.78×1010 B.2.78×1011 C.27.8×1010 D.0.278×1011
3.由6个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是( )
4.下面是一位同学做的四道题:①2a+3b=5ab.②(3a3)2=6a6.③a6÷a2=a3.④a2·a3=a5.其中做对的一道
题的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
5.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球,从中任意摸出一
个球,则摸出白球的概率是( )
1 2 1 3
A. B. C. D.
3 5 2 5
x2 1
6.化简 + 的结果是( )
x-1 1-x
1 x
A.x+1 B. C.x-1 D.
x+1 x-1
7.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶
点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是
∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有
∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
8.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2,∠B=135°,则 ⏜ 的长是( )
ACπ π
A.2π B.π C. D.
2 3
9.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛
物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1,则原抛物线的解
析式不可能是( )
A.y=x2-1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17
10.挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:当一根棒条没有被其他棒条压着时,就可以把它往
上拿走.如图中,按照这一规则,第1次应拿走⑨号棒,第2次应拿走⑤号棒,…….则第6次应拿
走( )
A.②号棒 B.⑦号棒 C.⑧号棒 D.⑩号棒
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题有6小题,每小题5分,共30分)
11.因式分解:x2-4= .
12.如图,已知点 A(0,1),B(0,-1),以点 A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点 C.则
∠BAC等于 度.
13.由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用
时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆 OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,
∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心,5为半径的圆上,连结PA,PB.若
PB=4,则PA的长为 .15.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的
3
坐标为(a,a),如图.若曲线y= (x>0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围是 .
x
16.实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为1∶2∶1,
用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm),现三个容器中,只有
甲中有水,水位高1 cm,如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水,开始注水1分钟,
5
乙的水位上升 cm,则开始注入 分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是
6
0.5 cm.
三、解答题(本大题有8小题,第17~20小题每小题8分,第21小题10分,第22,23小题每小题
12分,第24小题14分,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17.(1)计算:2cos 45°-(π+1)0+√1+(1) -1 ;
4 2
(2)解不等式:3x-5≤2(x+2).18.小敏上午8:00从家里出发,骑车去一家超市购物,然后从这家超市返回家中,小敏离家的路
程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示.请根据图象回答下列问题:
(1)小敏去超市途中的速度是多少?在超市逗留了多少时间?
(2)小敏几点几分返回到家?
19.为了了解某种电动汽车的性能,对这种电动汽车进行了抽检.将一次充电后行驶的里程数
分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的里程数依次为200千米,210千米,220千米,230千米,
获得如下不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)问这次被抽检的电动汽车共有几辆?并补全条形统计图;
(2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米.
20.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m
到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).
备用数据:√3≈1.7,√2≈1.4.
21.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出
了一个答案:y=2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案;
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶
点纵坐标的值最小时的解析式.请你解答.
22.某校规划在一块长 AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上,设计分别与
AD,AB平行的横向通道和纵向通道,其余部分铺上草皮.
(1)如图1,若设计三条通道,一条横向,两条纵向,且它们的宽度相等,其余六块草坪相同,其中一
块草坪两边之比AM∶AN=8∶9.问通道的宽是多少?
(2)为了建造花坛,要修改(1)中的方案,如图2,将三条通道改为两条,纵向宽度改为横向宽度的
2倍,其余四块草坪相同,且每一块草坪中均有一边的长为8 m,这样能在这些草坪中建造花坛.
如图3,在草坪RPCQ中,已知RE⊥PQ于点E,CF⊥PQ于点F,求花坛RECF的面积.23.正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,
记旋转角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,连结DF,BF,如图.
(1)若α=0°,则DF=BF.请加以证明;
(2)试画一个图形(即反例),说明(1)中命题的逆命题是假命题;
(3)对于(1)中命题的逆命题,如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写出你认为
需要补充的一个条件,不必说明理由.
24.在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,OA=4,OC=2,
点P、点Q分别是边BC、边AB上的点,连结AC,PQ,点B 是点B关于PQ的对称点.
1
(1)若四边形OABC为矩形,如图1.
①求点B的坐标;
②若BQ∶BP=1∶2,且点B 落在OA上,求点B 的坐标;
1 1
(2)若四边形OABC为平行四边形,如图2,且OC⊥AC,过点B 作B F∥x轴,与对角线AC、边
1 1
OC分别交于点E、点F.若B E∶B F=1∶3,点B 的横坐标为m,求点B 的纵坐标,并直接写出m
1 1 1 1
的取值范围.答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为(-1)×3=-1×3=-3,故选A.
2.A 27 800 000 000=2.78×1010,故选A.
3.C 根据主视图的定义可知选C.
4.D ∵a2·a3=a2+3=a5,故选D.
5.B 从3个红球和2个白球中任意摸出一个球,摸到每个球是等可能的,∴摸出白球的概率是
2
.故选B.
5
x2 1 x2-1 (x+1)(x-1)
6.A + = = =x+1,故选A.
x-1 1-x x-1 x-1
7.D 因为在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故选D.
8.B 因为四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=135°,所以∠D=45°.
连结OA、OC,则∠AOC=2∠D=90°,
90×2π
⏜
所以 的长是 =π,故选B.
AC
180
9.B 因为抛物线 y=x2-1 可以向上平移两次得到 y=x2+1,所以 A 可能.因为抛物线
y=x2+4x+4=(x+2)2可以先向右平移一次再向上平移一次得到y=x2+1,所以C可能.因为抛物线
y=x2+8x+17=(x+4)2+1 可 以 向 右 平 移 两 次 得 到 y=x2+1, 所 以 D 可 能 . 因 为 抛 物 线
y=x2+6x+5=(x+3)2-4,所以经过任意两次简单变换都不能得到y=x2+1,故选B.
10.D 当一根棒条没有被其他棒条压着时,就可以把它拿走.如题图,按照这一规则,第1次应
拿走⑨号棒,第2次应拿走⑤号棒,第3次应拿走⑥号棒,第4次应拿走②号棒,第5次应拿走
⑧号棒,第6次应拿走⑩号棒,故选D.
二、填空题
11.答案 (x+2)(x-2)
解析 x2-4=(x+2)(x-2).
12.答案 60解析 在Rt△AOC中,AO=1,AC=2,则∠ACO=30°,所以∠BAC=60°.
13.答案 18
解析 连结AB.因为OA=OB=18 cm,∠AOB=60°,所以△AOB是正三角形,故AB=18 cm.
14.答案 3或√73
解析 由题意可知点P为以C为圆心,5为半径的圆和以B为圆心,4为半径的圆的交点,连结
BP
1
,CP
1
,因为 B
P2
+BC2=C
P2
,所以 CB⊥BP
1
,同理,CB⊥BP
2
,所以 B,P
1
,P
2
三点共线,因为
1 1
AC⊥BC,BC⊥BP,AC=BP =4,所以四边形ACBP 是矩形,所以AP =3,在Rt△AP P 中,由勾股
1 1 1 1 1 2
定理得AP = = .
2 √82+32 √73
15.答案 √3-1≤a≤√3
3
解析 由A(a,a)及正方形ABCD的边长为1可得C(a+1,a+1),当点A在曲线上时,a= ⇒a=√3
a
(负值舍去).
3
当点C在曲线上时,a+1= ⇒a=-1+√3(负值舍去).
a+1
3
若曲线y= (x>0)与正方形ABCD的边有交点,则a的取值范围是√3-1≤a≤√3.
x
3 33 171
16.答案 , ,
5 20 40
5
解析 ∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1∶2∶1,注水1分钟,乙的水位上升 cm,
6
10
∴注水1分钟,甲、丙的水位上升 cm.
3
设开始注入t分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm.
分情况讨论:
5 3
①乙的水位低于甲的水位时,1- t=0.5,解得t= .
6 5
②甲的水位低于乙的水位,甲的水位不变时,
5 9 10 9 10 3
t-1=0.5,解得t= , × =6>5(cm),此时丙容器已向甲、乙容器溢水,故舍去,∵5÷ = (分
6 5 3 5 3 2
5 3 5 3 5
钟), × = (cm),即经过 分钟丙容器的水到达管子底端,乙的水位上升 cm,
6 2 4 2 4
∴5+2×5( 3)-1=0.5,解得t=33.
t-
4 6 2 20③甲的水位低于乙的水位,乙的水位到达管子底端,甲的水位上升时,
∵乙的水位到达管子底端的时间为3+( 5)÷5÷2=15(分钟),
5-
2 4 6 4
∴5-1-2×10( 15)=0.5,解得t=171.
t-
3 4 40
3 33 171
综上所述,开始注入 或 或 分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm.
5 20 40
三、解答题
√2 1 3
17.解析 (1)原式=2× -1+ +2=√2+ .
2 2 2
(2)去括号,得3x-5≤2x+4,∴x≤9.
3 000
18.解析 (1)小敏去超市途中的速度为 =300(米/分).逗留时间为30分钟.
10
(2)设返回到家时,y与x的函数解析式为y=kx+b.
{3 000=40k+b,
把(40,3 000),(45,2 000)代入,得
2 000=45k+b,
{ k=-200,
解得
b=11 000,
∴函数解析式为y=-200x+11 000,
当y=0时,x=55,
∴返回到家的时间为8:55.
19.解析 (1)被抽检的电动汽车共有30÷30%=100辆,补全条形统计图如图.
1
(2)x= ×(10×200+30×210+40×220+20×230)=217(千米).
100
20.解析 延长PQ交直线AB于点C.
(1)∠BPQ=90°-60°=30°.
(2)设PQ=x m,则QB=QP=x,
√3
在△BCQ中,BC=x·cos 30°= x,
21
QC= x,
2
√3 1
在△ACP中,CA=CP,∴6+ x= x+x,
2 2
x=2√3+6,
∴PQ=2√3+6≈9,即该电线杆PQ的高度约为9 m.
21.解析 (1)不唯一,如y=x2-2x+2.
(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,
∴c=1-2b,∴顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,
∴当b=1时,c+b2+1最小,抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x.
22.解析 (1)设通道的宽为x m,AM=8y m.
∵AM∶AN=8∶9,∴AN=9y,
{x=1,
∴{2x+24 y=18,解得
2
x+18 y=13, y= .
3
∴通道的宽是1 m.
(2)∵四块相同草坪中的每一块有一条边长为8 m,
若RP=8,则AB>13,不合题意,∴RQ=8,
∴纵向通道的宽为2 m,横向通道的宽为1 m.
∴RP=6,∵RE⊥PQ,四边形RPCQ是长方形,∴PQ=10,
∴RE·PQ=PR·QR=6×8,∴RE=4.8,
∵RP2=RE2+PE2,∴PE=3.6,
同理可得QF=3.6,∴EF=2.8,
∴S =4.8×2.8=13.44,
四边形RECF
即花坛RECF的面积为13.44 m2.
23.解析 (1)证明:如图1,正方形ABCD和正方形AEFG中,∵GF=EF,AG=AE,而AD=AB,
∴DG=BE,又∵∠DGF=∠BEF=90°,
∴△DGF≌△BEF,∴DF=BF.
图1
(2)图形(即反例)如图2.图2
(3)不唯一,如点F在正方形ABCD内或α<180°.
24.解析 (1)①点B(4,2).
②如图1,过点P作PD⊥OA,垂足为点D,
图1
∵BQ∶BP=1∶2,点B关于PQ的对称点为B,
1
∴BQ∶BP=1∶2,
1 1
∵∠PDB
1
=∠PB
1
Q=∠B
1
AQ=90°,
∴∠PB
1
D=∠B
1
QA,∴△PB
1
D∽△B
1
QA,
∴ PD = PB 1=2,∴B
1
A=1,∴OB
1
=3,即点B
1
(3,0).
AB B Q
1 1
(2)∵四边形OABC为平行四边形,OA=4,OC=2,且OC⊥AC,∴∠OAC=30°,∴点C(1,√3).
∵BE∶BF=1∶3,
1 1
∴点B 不与点E,F重合,也不在线段EF的延长线上.
1
①当点B
1
在线段FE的延长线上时,如图2,延长B
1
F与y轴交于点G,点B
1
的横坐标为m,B
1
F∥x轴,B
1
E∶B
1
F=1∶3,
∴BG=m,设OG=a,
1
√3 2√3 2√3
则GF= a,OF= a,∴CF=2- a,
3 3 3
∵B
1
F∥x轴,∴∠CEF=∠CAO=30°,
4√3
∴FE=4- a,
3
1
∵BE∶BF=1∶3,∴BE= EF,
1 1 1
2
2√3
∴BE=2- a,
1
3
∴BG=BE+EF+FG=( 2√3 )+( 4√3 )+√3a=m,
1 1 2- a 4- a
3 3 3
√3 6√3 √3 6√3
∴a=- m+ ,即B 的纵坐标为- m+ ,
1
5 5 5 5
17 10√7
m的取值范围是 ≤m≤1+ .
7 7图2
②当点 B 在线段 EF(除点 E,F)上时,如图 3,延长 B F 与 y 轴交于点 G,点 B 的横坐标为
1 1 1
m,B F∥x轴,B E∶B F=1∶3,
1 1 1
∴B G=m,设OG=a,
1
√3 2√3
则GF= a,OF= a,
3 3
2√3
∴CF=2- a,
3
4√3
∴FE=4- a,
3
∵B E∶B F=1∶3,
1 1
3
∴B F= EF=3-√3a,
1
4
√3
∴B G=B F+FG=(3-√3a)+ a=m,
1 1
3
√3 3√3 √3 3√3
∴a=- m+ ,即点B 的纵坐标为- m+ ,
1
2 2 2 2
15
m的取值范围是 ≤m≤3.
7
图3
评析 本题是探究型问题,主要考查矩形的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质以及函数与几何的综合.同
时要注意分类讨论.
