南京市 2016 年初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共12分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是
符合题目要求的)
1.为了方便市民出行,提倡低碳交通,近几年南京市大力发展公共自行车系统.根据规划,全市
公共自行车总量明年将达70 000 辆.用科学记数法表示70 000是( )
A.0.7×105 B.7×104 C.7×105 D.70×103
2.数轴上点A、B表示的数分别是5、-3,它们之间的距离可以表示为( )
A.-3+5 B.-3-5 C.|-3+5| D.|-3-5|
3.下列计算中,结果是a6的是( )
A.a2+a4 B.a2·a3 C.a12÷a2 D.(a2)3
4.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )
A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D .3,4,7
5.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A.1 B.√3 C.2 D.2√3
6.若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等,则x的值为( )
A.1 B.6 C.1或 6 D.5或6
第Ⅱ卷(非选择题,共108分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在
相应位置上)
7.化简:√8= ;√38= .
8.若式子x+√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
9.分解因式2a(b+c)-3(b+c)的结果是 .
√5-2
10.比较大小:√5-3 .(填“>”“<”或“=”号)
2
1 3
11.方程 = 的解是 .
x-2 x
12.设x ,x 是方程x2-4x+m=0的两个根,且x +x -x x =1,则x +x = ,m= .
1 2 1 2 1 2 1 2
13.如图,扇形AOB的圆心角为122°,C是 ⏜ 上一点,则∠ACB= °.
AB
14.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:①AC⊥BD;
②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .15.如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位线,且EF=2,则AC的
长为 .
16.如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为
cm.
三、解答题(本大题共11小题,共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
{3x+1≤2(x+1),
17.(7分)解不等式组 并写出它的整数解.
-x<5x+12,
a 3a-1
18.(7分)计算 - .
a-1 a2-1
19.(7分)某校九年级有24个班,共1 000名学生,他们参加了一次数学测试.学校统计了所有
学生的成绩,得到下列统计图.(1)求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数;
(2)下列关于本次数学测试说法正确的是( )
A.九年级学生成绩的众数与平均数相等
B.九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C.随机抽取一个班,该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D.随机抽取300名学生,可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数
20.(8分)我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后,可以进行进一步研究.请根
据示例图形,完成下表.
图
形
的 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关的结论
变
化
平 AA'=BB';
(1) .
移 AA'∥BB'.
轴
对 (2) . (3) .
称
AB=A'B';对应线段 AB 和 A'B'所在
旋
的直线相交所成的角与旋转角相等 (4) .
转
或互补.
21.(8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.
如图,∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.
求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
证法1:∵ ,
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(∠1+∠2+∠3).
∵ ,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.22.(8分)某景区7月1日~7月7日一周天气预报如下.小丽打算选择这期间的一天或两天去
该景区旅游.求下列事件的概率:
(1)随机选择一天,恰好天气预报是晴;
(2)随机选择连续的两天,恰好天气预报都是晴.
23.(8分)下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位:L/km)与速度x(单位:km/h)之间的函
数关系(30≤x≤120).已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1 km/h,耗油量增
加0.002 L/km.
(1)当速度为 50 km/h、100 km/h 时,该汽车的耗油量分别为 L/km、
L/km;
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式;
(3)速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少?24.(7分)如图,在▱ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使∠FBC=∠DCE.
(1)求证:∠D=∠F;
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹,不写作法).
25.(9分)图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m.从O、A两处观测P处,仰角
1 3
分别为α、β,且tan α= ,tan β= .以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
2 2
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1 m,水面宽多少(√2取1.41,结果精确到0.1 m)?
26.(8分)如图,O是△ABC内一点,☉O与BC相交于F、G两点,且与AB、AC分别相切于点
D、E,DE∥BC.连接DF、EG.
(1)求证:AB=AC;
(2)已知AB=10,BC=12.求四边形DFGE是矩形时☉O的半径.
27.(11分)如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数1
y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,得到函数
2
y=2x的图象.
类似地,我们可以认识其他函数.
1 6
(1)把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,得到函数y= 的
x x
1
图象;也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函
x
6
数y= 的图象;
x
1
(2)已知下列变化:①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度;③向右平移 个单位长
2
1
度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的 ,纵坐标不变;⑥横坐标变为
2
原来的2倍,纵坐标不变.
(i)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数 的图象;
1
(ii)为了得到函数y=- (x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点( )
4
A.①→⑤→③B.①→⑥→③
C.①→②→⑥D.①→③→⑥
1 2x+1
(3)函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=- 的图象?(写出一种即可)
x 2x+4答案全解全析：
一、选择题
1.B 用科学记数法将70 000表示成a×10n(其中1≤|a|<10,n为整数)的形式,则a=7,n=4,故
70 000=7×104,故选B.
2.D 数轴上两点之间的距离可以用两点表示的数的差的绝对值来表示,故选D.
3.D a2与a4不是同类项,不能合并,选项A不符合;a2·a3=a2+3=a5,选项B不符合;a12÷a2=a12-
2=a10,选项C不符合;(a2)3=a2×3=a6,故选D.
4.C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形.
设一个三角形的三边长分别为 a,b,c,且 a<b<c,若 a2+b2=c2,则三角形为直角三角形;若
a2+b2>c2,则三角形为锐角三角形;若a2+b2<c2,则三角形为钝角三角形.
∵32+42<62,∴长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C.
5.B 正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六
边形的内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2·sin 60°=√3,故选B.
6.C 若一组数据x ,x ,…,x 的平均数为x,则数据x +a,x +a,……,x +a的平均数为x+a,由方差
1 2 n 1 2 n
1
公式s2= [(x -x)2+(x -x)2+…+(x -x)2]可得两组数据的方差相等.由题意可知2,3,4,5,x为连续
1 2 n
n
数字,所以x=1或6,故选C.
评析 本题主要考查了方差公式的应用,关键是根据两组数据方差相等确定x为连续数字中
的一个,技巧性较强,属中档题.
二、填空题
7.答案 2√2;2
解析 = × =2 ; =2.
√8 √4 √2 √2√38
8.答案 x≥1
解析 ∵二次根式√x-1有意义,∴x-1≥0,∴x≥1.
评析 本题考查了二次根式有意义的条件,属容易题.
9.答案 (b+c)(2a-3)
解析 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
10.答案 <
√5-2 √5 √5-2
解析 ∵√5-3- = -2<0,∴√5-3< .
2 2 2
评析 本题考查利用作差法比较实数的大小.若A-B>0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-B<0,
则A<B.
11.答案 x=3
解析 方程两边同时乘x(x-2),得x=3(x-2),
解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的解.
12.答案 4;3
解析 根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =4,x x =m,
1 2 1 2
∵x +x -x x =1,∴4-m=1,∴m=3.
1 2 1 213.答案 119
解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.∵∠AOB=122°,
∴∠D=61°,∵∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.
14.答案 ①②③
解析 ∵△ABO≌△ADO,∴∠BAC=∠DAC,∠AOB=∠AOD,AB=AD.
∵∠AOB+∠AOD=180°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴①正确;
∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴③正确;
∵△ABC≌△ADC,∴CB=CD,∴②正确;
∵DA与DC不一定相等,∴④不正确.
8
15.答案
3
1 3
解析 ∵EF是△ODB的中位线,∴OE= OD= ,EF∥BD,
2 2
2
AC OC AC 8
∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,∴ = ,∴ =3,∴AC= .
EF OE 2 3
2
16.答案 13
解析 连接BE,EF,FD,AC,
∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,
1 1
∵S = AC·EF= AC2=50 cm2,
正方形AECF
2 2
∴AC=10 cm,
1
∵S = AC·BD=120 cm2,∴BD=24 cm.
菱形ABCD
2
设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5 cm,OB=12 cm,
∴AB= = =13 cm.
√OA2+OB2 √52+122
评析 本题考查了四边形的综合问题,熟悉正方形和菱形的性质,会用勾股定理求线段的长度
是解题的关键,属中档题.
三、解答题
17.解析 解不等式3x+1≤2(x+1),得x≤1.
解不等式-x<5x+12,得x>-2.
所以,不等式组的解集是-2<x≤1.
所以该不等式组的整数解是-1,0,1.(7分)
a 3a-1 a 3a-1
18.解析 - = -
a-1 a2-1 a-1 (a-1)(a+1)a(a+1)-(3a-1) a2+a-3a+1
= =
(a-1)(a+1) (a-1)(a+1)
(a-1)2 a-1
= = .(7分)
(a-1)(a+1) a+1
19.解析 (1)该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数为 80×60%+82.5×40%=81(分).(4
分)
(2)D.(7分)
20.解析 (1)AB=A'B';AB∥A'B'.
(2)AB=A'B';对应线段AB和A'B'所在的直线相交,交点在对称轴l上.
(3)l垂直平分AA',BB'.
(4)OA=OA';∠AOA'=∠BOB'.
21.解析 ∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°;
∠1+∠2+∠3=180°.
证法2:如图,过点A作射线AP,使AP∥BD.
∵AP∥BD,
∴∠CBF=∠PAB,∠ACD=∠EAP.
∵∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.(8分)
22.解析 (1)随机选择一天,天气预报可能出现的结果有7种,即7月1日晴、7月2日晴、7
月3日雨、7月4日阴、7月5日晴、7月6日晴、7月7日阴,并且它们出现的可能性相等.
恰好天气预报是晴(记为事件A)的结果有4种,即7月1日晴、7月2日晴、7月5日晴、7
4
月6日晴,所以P(A)= .(4分)
7
(2)随机选择连续的两天,天气预报可能出现的结果有6种,即(7月1日晴,7月2日晴)、(7月2
日晴,7月3日雨)、(7月3日雨,7月4日阴)、(7月4日阴,7月5日晴)、(7月5日晴,7月6日
晴)、(7月6日晴,7月7日阴),并且它们出现的可能性相等.恰好天气预报都是晴(记为事件B)
2 1
的结果有2种,即(7月1日晴,7月2日晴)、(7月5日晴,7月6日晴),所以P(B)= = .(8分)
6 3
23.解析 (1)0.13;0.14.(2分)
(2)设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
因为y=kx+b(k≠0)的图象过点(30,0.15)与(60,0.12),
所以{30k+b=0.15,解方程组,得{k=-0.001,
60k+b=0.12. b=0.18.
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=-0.001x+0.18.(5分)
(3) 根 据 题 意 , 得 线 段 BC 所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 为
y=0.12+0.002(x-90)=0.002x-0.06.由题图可知,B是折线ABC的最低点.
{y=-0.001x+0.18, { x=80,
解方程组 得
y=0.002x-0.06, y=0.1.
因此,速度是80 km/h时,该汽车的耗油量最低,最低是0.1 L/km.(8分)
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠CED=∠BCF.
∵∠CED+∠DCE+∠D=180°,∠BCF+∠FBC+∠F=180°,
∴∠D=180°-∠CED-∠DCE,∠F=180°-∠BCF-∠FBC.
又∠DCE=∠FBC,∴∠D=∠F.(4分)
(2)
图中P就是所求作的点.(7分)
25.解析 (1)如图,过点P作PB⊥OA,垂足为B.
设点P的坐标为(x,y),则OB=x,PB=y.
PB
在Rt△POB中,∵tan α= ,
OB
PB
∴OB= =2y.
tanα
PB
在Rt△PAB中,∵tan β= ,
AB
PB 2
∴AB= = y.
tanβ 3
2
∵OA=OB+AB,即2y+ y=4,
3
3 3
∴y= .∴x=2× =3.
2 2
∴点P的坐标为( 3).(5分)
3,
2
(2)设这条抛物线对应的二次函数为y=ax2+bx(a≠0).{16a+4b=0,
由函数 y=ax2+bx(a≠0)的图象经过(4,0)、( 3)两点,可得 解方程组,得
3, 3
2 9a+3b= .
2
{ 1
a=- ,
2
b=2.
1
所以这条抛物线对应的二次函数为y=- x2+2x(0≤x≤4).
2
1
当水面上升1 m时,水面的纵坐标为1,即- x2+2x=1.
2
解方程,得x =2-√2,x =2+√2.
1 2
x -x =2+√2-(2-√2)=2√2≈2.8.
2 1
因此,水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.(9分)
评析 针对二次函数与几何综合的题目,要考虑代数与几何知识的内在联系.本题主要体现了
两种数学思想方法:数形结合思想和转化思想.
26.解析 (1)证明:∵☉O与AB、AC分别相切于点D、E,
∴AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED.
∴∠B=∠C,∴AB=AC.(4分)
(2)如图,连接AO,交DE于点M,延长AO交BC于点N,连接OE、DG.设☉O的半径为r.
∵四边形DFGE是矩形,∴∠DFG=90°.∴DG是☉O的直径.
∵☉O与AB、AC分别相切于点D、E,
∴OD⊥AB,OE⊥AC.
又∵OD=OE,
∴AN平分∠BAC.
1
由(1)知AB=AC,∴AN⊥BC,BN= BC=6.
2
在Rt△ABN中,AN= = =8.
√AB2-BN2 √102-62
∵OD⊥AB,AN⊥BC,∴∠ADO=∠ANB=90°,
又∠OAD=∠BAN,
OD AD r AD
∴△AOD∽△ABN.∴ = ,即 = .
BN AN 6 8
4 4
∴AD= r.∴BD=AB-AD=10- r.
3 3∵OD⊥AB,∴∠GDB=∠ANB=90°.
又∠B=∠B,∴△GBD∽△ABN.
4
BD GD 10- r 2r
∴ = ,即 3 = .
BN AN 8
6
60 60
∴r= .∴四边形DFGE是矩形时☉O的半径为 .(8分)
17 17
评析 解决含有切线的解答题时,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多的条件,一般作辅
助线的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形,然后利用勾股定理、相似三角形的
性质等进行证明或计算.
27.解析 (1)6;6.(4分)
(2)(i)y=4(x-1)2-2.(6分)
(ii)D.(8分)
(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.例如,
2x+1 2x+4-3 3 3 1
y=- =- = -1= · -1.
2x+4 2x+4 2x+4 2 x+2
1 1
先把函数y= 的图象上所有的点向左平移2个单位长度,得到函数y= 的图象,再把函数
x x+2
1 3 3
y= 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,得到函数y= 的图象,
x+2 2 2x+4
3 2x+1
最后把函数y= 的图象上所有的点向下平移1个单位长度,得到函数y=- 的图象.
2x+4 2x+4
(11分)
