年初中学业水平考试
试题卷Ⅰ
一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.在-3,-1,0,2这四个数中,最小的数是( )
A.-3B.-1C.0 D.2
2.计算a3·(-a)的结果是( )
A.a2 B.-a2C.a4 D.-a4
3.2021年5月15日,“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原,此时距离地球约
320 000 000千米.数320 000 000用科学记数法表示为( )
A.32×107B.3.2×108 C.3.2×109 D.0.32×109
4.如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的,它的主视图是( )
A B C D
5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数x(单位:环)及
方差S2(单位:环2)如下表所示:
甲 乙 丙 丁
x 9 8 9 9
S2 1.6 0.8 3 0.8
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
1
6.要使分式 有意义,x的取值应满足( )
x+2
A.x≠0 B.x≠-2 C.x≥-2 D.x>-2
7.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D,BD=√3.若E,F分别为AB,BC的中点,则
EF的长为( )√3 √3 √6
A. B. C.1 D.
3 2 2
8.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载: “今有清酒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗.今
持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值
3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清酒、醑酒各几斗?如果设清酒x斗,醑酒y斗,那
么可列方程组为( )
{x+ y=30 {x+ y=30
A.{ x+ y=5 B.{ x+ y=5 C. D.
x y x y
10x+3 y=30 3x+10 y=30 + =5 + =5
10 3 3 10
k
9.如图,正比例函数y=kx(k<0)的图象与反比例函数y= 2(k<0)的图象相交于A,B两点,点
1 1 1 2 2
x
B的横坐标为2,当y>y 时,x的取值范围是( )
1 2
A.x<-2或x>2B.-2<x<0或x>2
C.x<-2或0<x<2 D.-2<x<0或0<x<2
10.
如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角
三角形纸片的面积都为S,另两张直角三角形纸片的面积都为S,中间一张矩形纸片EFGH
1 2
的面积为S,FH与GE相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一
3
定成立的是( )
A.S=S B.S =S
1 2 1 3
C.AB=AD D.EH=GH
试题卷Ⅱ
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.-5的绝对值是 .
12.分解因式:x2-3x= .
13.一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球,它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出
一个球是红球的概率为 .14.抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图,AC,BD分别与
☉O相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=120°,☉O的半径为6 cm,则图中 的长为
CD
⏜
cm.(结果保留π)
15.在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y),我们把点B(1 1)称为点A
,
x y
2
的“倒数点”.如图,矩形OCDE的顶点C为(3,0),顶点E在y轴上,函数y= (x>0)的图象与
x
DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形OCDE的一边上,则△OBC的面积为
.
16.如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F
在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=1,则BN的
长为 ,sin∠AFE的值为 .
三、解答题(本大题有8小题,共80分)
17.(本题8分)(1)计算:(1+a)(1-a)+(a+3)2.
{2x+1<9,①
(2)解不等式组:
3-x≤0.②
18.(本题8分)如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格,点A,B均在格点上.
(1)在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD,且点C和点D均在格点上(画出一个
即可);(2)在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF,且点E和点F均在格点上.
图1
图2
19.(本题8分)如图,二次函数 y=(x-1)(x-a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.
(1)求a的值;
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
20.(本题10分)图1表示的是某书店今年1~ 5月的各月营业总额的情况,图2表示的是该书
店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况.若该书店1~ 5月的营
业总额一共是182万元,观察图1、图2,解答下列问题:
图1图2
(1)求该书店4月份的营业总额,并补全条形统计图;
(2)求5月份“党史”类书籍的营业额;
(3)请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高,并说明理由.
21.(本题8分)我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平
分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2
是伞完全收拢时伞骨的示意图,此时伞圈D已滑动到点D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=40
cm,B为AD'中点.当∠BAC=140°时,伞完全张开.
(1)求AB的长;
(2)当伞从完全张开到完全收拢,求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.(参考数据:sin
70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)22.(本题12分)某通信公司就手机流量套餐推出三种方案,如下表:
A方案 B方案 C方案
每月基本费用(元) 20 56 266
每月免费使用流量(兆) 1 024 m 无限
超出后每兆收费(元) n n
A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示.
(1)请直接写出m,n的值;
(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1 024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的
流量x(兆)之间的函数关系式;
(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算?
23.(本题12分)
【证明体验】
(1)如图1,AD为△ABC的角平分线,∠ADC=60°,点E在AB上,AE=AC.求证:DE平分∠ADB.
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下,F为AB上一点,连接FC交AD于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD
的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠DCA,点E在AC上,
∠EDC=∠ABC.若BC=5,CD=2√5,AD=2AE,求AC的长.
图1图2
图3
24.(本题14分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,BD为直径, 上存在点E,满足 = ,连
AD AE CD
⏜ ⏜ ⏜
接BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.
(1)若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠AGB;
(2)如图2,连接 CE,CE=BG.求证:EF=DG;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG,AD=2.
√3
①若tan∠ADB= ,求△FGD的周长;
2
②求CG的最小值.
图1
图2图3
18 宁波市2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B C D B C A C A
1.A ∵-3<-1<0<2,∴最小的数是-3.故选A.
2.D a3·(-a)=-a3·a=-a4.故选D.
3.B 320 000 000=3.2×108.故选B.
4.C 根据几何体(长方体及圆柱组合体)的特征及位置关系可知,选项C中的图形是其主视图.
故选C.
5.D ∵ = = > ,∴从甲,丙,丁中选择一人参加比赛.又∵ < < ,∴选择丁参赛.故
x x x x S2 S2 S2
甲 丙 丁 乙 丁 甲 丙
选D.
1
6.B ∵分式 有意义,∴x+2≠0,解得x≠-2.
x+2
故选B.
7.C ∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵∠B=45°,BD=√3,
∴AD=BD=√3.
在Rt△ADC中,∠C=60°,
AD √3 √3
∴sin C=sin 60°= = = ,∴AC=2.
AC AC 2
1 1
又∵点E、F分别为AB、BC的中点,∴EF是△BAC的中位线,∴EF= AC= ×2=1.故选C.
2 2
8.A 题中有两个等量关系:
①清酒斗数+醑酒斗数=5斗;
②10×清酒斗数+3×醑酒斗数=30斗.
{ x+ y=5,
根据题意可得 故选A.
10x+3 y=30.
9.C ∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称,
∴点A与点B关于原点对称.
∵点B的横坐标为2,∴点A的横坐标为-2.k
由题图可得,当x<-2或0<x<2时,正比例函数y=kx(k<0)的图象在反比例函数y= 2(k<0)的
1 1 1 2 2
x
图象的上方,
∴当x<-2或0<x<2时,y>y.故选C.
1 2
10.A 设DE=a,DH=c,CH=b,则HG=b-a,EH=a-c,AE=a,
1 b-a 1 a-c
∵S =S ,∴ ·c· = ·a· ,
△ODH △OAE
2 2 2 2
1 1
∴c(b-a)=a(a-c),∴cb=a2,∴ bc= a2,即S=S .
2 1
2 2
故选A.
二、填空题
11.答案 5
解析 由绝对值的定义可知|-5|=5.
12.答案 x(x-3)
解析 提取公因式x,得x2-3x=x(x-3).
3
13.答案
8
事件A包含的结果数 3 3
解析 由概率公式P(A)= ,可得概率为 = .
所有可能出现的结果数 3+5 8
14.答案 2π
解析 连接OC,OD.
∵AC,BD分别与☉O相切于点C,D,
∴∠OCP=∠ODP=90°.
在四边形OCPD中,∠P=120°,
∴∠COD=360°-90°-90°-120°=60°.
又∵☉O的半径为6 cm,
60·π·6
∴ 的长为 =2π(cm).
CD
180
⏜
1 3
15.答案 或
4 2
2
解析 ∵A(x,y)在函数y= (x>0)的图象上,
x
1 1 1 1
∴xy=2,∴ · = = .
x y xy 2
①若B(1 1)落在边ED上(不含点E),则1=y,解得y=1.
,
x y y
∵xy=2,∴x=2,∴B(1 ),
,1
2
1 3
∴S = ×3×1= .
△BOC
2 2
②若B(1 1)落在边DC上(不含点C),
,
x y
则1=3,∴x=1.∵xy=2,∴y=6,∴B( 1),
3,
x 3 61 1 1 1 3
∴S = × ×3= .故答案为 或 .
△OBC
2 6 4 4 2
16.答案 2;√2-1
解析 在矩形ABCD中,AB∥CD,∴∠BEM=∠MCG.
∵BE=BM,∴∠BEM=∠BME.
又∵∠BME=∠CMG,∴∠GMC=∠MCG,
∴MG=CG,∵MG=1,∴CG=1.
∵G是DC的中点,∴DC=2.
由对称知识得∠BEM=∠CEF,又∠BEM=∠BME,
∴∠FEM=∠EMB,∴EF∥BG.
∵∠EFC=∠ABC=90°,∴∠BNC=90°=∠D.
又∠GBC+∠BCN=90°,
∠BCN+∠GCN=90°,
∴∠NBC=∠GCN.
又BC=FC,∴△BCN≌△CFD.∴BN=CD=2.
设NG=x,则BG=x+2.
CG NG
由△CGN∽△BGC得 = ,即CG2=NG·BG,
BG CG
∴x(x+2)=1,解得x=√2-1,x =-√2-1<0(舍去),
1 2
NG
∴在Rt△CNG中,sin∠GCN= =√2-1.
GC
∵∠AFE+∠DFC=90°,∠DFC+∠GCN=90°,
∴∠AFE=∠GCN,∴sin∠AFE=√2-1.
三、解答题
17.解析 (1)原式=1-a2+a2+6a+9=6a+10.(4分)
(2)解不等式①,得x<4,
解不等式②,得x≥3,
所以原不等式组的解集是3≤x<4.(8分)
18.解析 (1)答案不唯一.
(4分)
(2)
(8分)
19.解析 (1)y=(x-1)(x-a)=x2-(1+a)x+a.
a+1
∵图象的对称轴为直线x=2,∴ =2,∴a=3.(4分)
2
(2)∵a=3,
∴原二次函数的表达式为y=x2-4x+3,
∴将该抛物线向下平移3个单位后经过原点,
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=x2-4x.(8分)
20.解析 (1)182-(30+40+25+42)=45(万元).
答:该书店4月份的营业总额为45万元.(2分)
补全条形统计图:(4分)
(2)42×25%=10.5(万元).
答:5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元.(7分)
(3)4月份“党史”类书籍的营业额为45×20%=9(万元).
∵10.5>9,且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都
低于4、5月份,
∴5月份“党史”类书籍的营业额最高.(10分)
1
21.解析 (1)∵B为AD'的中点,∴AB= AD'.
2
∵AD'=40 cm,∴AB=20 cm.(3分)
(2)如图,过点B作BE⊥AD于点E.
∵AB=BD,∴AD=2AE.∵AP平分∠BAC,∠BAC=140°,
1
∴∠BAE= ∠BAC=70° .
2
在Rt△ABE中,AB=20 cm,
∴AE=ABcos 70°≈20×0.34=6.8(cm),∴AD=2AE=13.6 cm.
∵AD'=40 cm,∴40-13.6=26.4(cm),
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4 cm.(8分)
22.解析 (1)m=3 072,n=0.3.(4分)
提示:结合表格及图象进行解答.重点看图象的拐点及交点.如A方案在(1 024,20)是拐点,B方
56-20
案在(3 072,56)是拐点,∴m=3 072.又∵点(1 144,56)在A方案的图象上,∴n=
1 144-1 024
=0.3.
(2)设函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把(1 024,20),(1 144,56)代入y=kx+b,
{20=1 024k+b, { k=0.3,
得 解得
56=1 144k+b, b=-287.2,
∴y关于x的函数表达式为y=0.3x-287.2(x≥1 024).(8分)
(注: x的取值范围对考生不作要求)
(3)3 072+(266-56)÷0.3=3 772(兆).
由图象得,当每月使用的流量超过3 772兆时,选择C方案最划算.(12分)
23.解析 (1)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.
又∵AE=AC,AD=AD,∴△EAD≌△CAD(SAS),(2分)
∴∠ADE=∠ADC=60°,
∴∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC=60°,
∴∠BDE=∠ADE,即DE平分∠ADB.(4分)
(2)∵FB=FC,∴∠EBD=∠GCD.
∵∠BDE=∠GDC=60°,∴△EBD∽△GCD,(6分)BD DE
∴ = .
CD DG
∵△EAD≌△CAD,∴DE=DC=3.
9
∵DG=2,∴BD= .(8分)
2
(3)如图,在AB上取一点F,使得AF=AD,连接CF.
∵AC平分∠BAD,
∴∠FAC=∠DAC.
又∵AC=AC,AF=AD,
∴△AFC≌△ADC(SAS),
∴CF=CD,∠ACF=∠ACD,∠AFC=∠ADC.
∵∠ACF+∠BCF=∠ACB=2∠ACD,
∴∠DCE=∠BCF.
又∵∠EDC=∠FBC,∴△DCE∽△BCF,
CD CE
∴ = ,∠CED=∠BFC.
BC CF
∵BC=5,CF=CD=2√5,∴CE=4.(10分)
∵∠AED=180°-∠CED=180°-∠BFC=∠AFC=∠ADC,∠EAD=∠DAC,∴△EAD∽△DAC,
EA AD 1 4 16
∴ = = ,∴AC=4AE,∴AC= CE= .(12分)
AD AC 2 3 3
24.解析 (1)∵BD为☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵ = ,
AE CD
⏜ ⏜
∴∠ABG=∠DBC=α,
∴∠AGB=90°-α.(3分)
(2)∵BD为☉O的直径,∴∠BCD=90°,
∴∠BEC=∠BDC=90°-α,
∴∠BEC=∠AGB.
∵∠CEF=180°-∠BEC,∠BGD=180°-∠AGB,
∴∠CEF=∠BGD.
又∵CE=BG,∠ECF=∠GBD,
∴△CFE≌△BDG(ASA),∴EF=DG.(7分)
(3)①如图,连接DE.
∵BD为☉O的直径,∴∠A=∠BED=90°.
√3 √3
在Rt△ABD中,tan∠ADB= ,AD=2,∴AB= AD=√3.
2 2
∵ = ,∴ + = + ,即 = ,∴AD=CE.
AE CD AE DE CD DE AD CE
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
∵CE=BG,∴BG=AD=2.AB √3
∵在Rt△ABG中,sin∠AGB= = ,
BG 2
1
∴∠AGB=60°,∴AG= BG=1,
2
∴EF=DG=AD-AG=1.
∵在Rt△DEG中,∠EGD=60°,
1 1 √3 √3
∴EG= DG= ,DE= DG= .
2 2 2 2
√7
在Rt△FED中,DF=√EF2+DE2= ,
2
5+√7 5+√7
∴FG+DG+DF= ,∴△FGD的周长为 .(10分)
2 2
②如图,过点C作CH⊥BF于点H.
∵△BDG≌△CFE,∴BD=CF,∠CFH=∠BDA.
又∵∠BAD=∠CHF=90°,∴△BAD≌△CHF(AAS).
∴FH=AD.∵AD=BG,∴FH=BG.
∵∠BCF=90°,∴∠BCH+∠HCF=90°.
又∵∠HCB+∠HBC=90°,∴∠HCF=∠HBC.
BH CH
∵∠BHC=∠CHF=90°,∴△BHC∽△CHF,∴ = .
CH FH
设GH=x,∴BH=2-x,∴CH2=2(2-x).
在Rt△GHC中,CG2=GH2+CH2,
∴CG2=x2+2(2-x)=(x-1)2+3,
当x=1时,CG2有最小值,为3,
∴CG的最小值为√3.(14分)
