2021年北京市初中学业水平考试
1
(满分:100分 考试时间:120分钟)
第一部分 选择题(共16分)
一、选择题(共16分,每题2分)第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.如图是某几何体的展开图,该几何体是( )
A.长方体B.圆柱 C.圆锥 D.三棱柱
2.党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014—2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1 692亿元.将169 200 000 000用科学记数法表示应为( )
A.0.169 2×1012 B.1.692×1012 C.1.692×1011 D.16.92×1010
3.如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.下列多边形中,内角和最大的是( )
A B C D
5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a>-2 B.|a|>b C.a+b>0 D.b-a<0
6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
7.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数,且n<√2 021<n+1,则n的值为( )
A.43B.44C.45D.468.如图,用绳子围成周长为10 m的矩形.记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是( )
A.一次函数关系,二次函数关系 B.反比例函数关系,二次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系 D.反比例函数关系,一次函数关系
第二部分 非选择题(共84分)
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.若√x-7在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
10.分解因式:5x2-5y2= .
2 1
11.方程 = 的解为 .
x+3 x
k
12.在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(-1,m),则m的值为 .
x
13.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= °.
14.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).
15.有甲、乙两组数据,如下表所示:
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为 , ,则 (填“>”“<”或“=”).
s2 s2 s2 s2
甲 乙 甲 乙
16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产
线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 .第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n
m
吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则 的值为 .
n
三、解答题(共68分,第17—20题,每题5分,第21—22题,每题6分,第23题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27—28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:2sin 60°+√12+|-5|-(π+√2)0.{4x-5>x+1,
18.解不等式组:
3x-4
<x.
2
19.已知a2+2b2-1=0,求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.
20.《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点A处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使B,A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位),在点B处立一根杆;日落时,在地面
上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步,在点C处立一根杆.取CA的中点D,那么直线DB表示的方向为东西方向.
(1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作CA的中点D(保留作图痕迹);
(2)在上图中,确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线CA表示的方向为南北方向.完成如下证明.
证明:在△ABC中,BA= ,D是CA的中点,
∴CA⊥DB( )(填推理的依据).
∵直线DB表示的方向为东西方向,
∴直线CA表示的方向为南北方向.21.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.
22.如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
4
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cos B= .求BF和AD的长.
5
1
23.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y= x的图象向下平移1个单位长度得到.
2
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.24.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
(2)连接BO并延长,交AC于点F,交☉O于点G,连接GC.若☉O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.
25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16):
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是:
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中m的值;
(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p.
1
在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p.比较p,p 的大小,并说明理由;
2 1 2
(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).26.在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.
(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;
(2)已知点(-1,y ),(2,y ),(4,y )在该抛物线上.若mn<0,比较y,y,y 的大小,并说明理由.
1 2 3 1 2 3
27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转α得到线段AE,连接BE,DE.
(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;
(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明.
28.在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:
若将线段BC绕点A旋转可以得到☉O的弦B'C'(B',C'分别是B,C的对应点),则称线段BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”.
(1)如图,点A,B ,C ,B ,C ,B ,C 的横、纵坐标都是整数.在线段B C ,B C ,B C 中,☉O的以点A为中心的“关联线段”是 ;
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;
(3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.1 2021年北京市初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A D B C B A
1.B 根据题中展开图可以判断该几何体是圆柱.故选B.
2.C 169 200 000 000=1.692×1011.故选C.
3.A ∵∠AOC=120°,∴∠BOC=60°.
∵OC⊥OD,∴∠BOD=90°-60°=30°.故选A.
4.D 根据“n边形内角和为(n-2)×180°”,可知多边形的边越多,其内角和越大.故选D.
5.B ∵-3<a<-2,0<b<1,∴|a|>b,a+b<0,b-a>0.故选B.
2 1
6.C 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,向上一面的结果有四种:“正正,正反,反正,反反”,而一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有两种,所以所求概率为 = .故选C.
4 2
7.B 根据1 936<2 021<2 025,得44<√2 021<45,所以n的值为44.故选B.
8.A 根据y=5-x,S=x(5-x),可知y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系.故选A.
二、填空题
9.答案 x≥7
解析 二次根式有意义的条件是被开方数非负,所以x-7≥0,解得x≥7.
10.答案 5(x+y)(x-y)
解析 5x2-5y2=5(x2-y2)=5(x+y)(x-y).
11.答案 x=3
解析 去分母得2x=x+3,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的解.
12.答案 -2
解析 根据点A和点B在反比例函数图象上,可得k=-1×m=1×2,则m=-2.
13.答案 130
解析 根据PA,PB是☉O的切线,可得∠PAO=∠PBO=90°,再由四边形的内角和为360°,可得∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.
14.答案 AE=EC(答案不唯一)
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即AF∥EC.
又∵AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.
要使平行四边形AECF是菱形,只需添加一组邻边相等,如AE=EC,答案不唯一.
15.答案 >
解析 根据“数据波动越大,方差就越大”,可得 > .
s2 s2
甲 乙
1
16.答案 2∶3;
2
解析 根据题意知,有a吨原材料分给A生产线,因为第一天共分配了5吨原材料,所以有(5-a)吨原材料分给B生产线,可得4a+1=2(5-a)+3,解得a=2,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2∶3.由该企业按第一天的分
m 1
配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料,可得4(2+m)+1=2(3+n)+3,则 的值为 .
n 2三、解答题
√3
17.解析 原式=2× +2√3+5-1=3√3+4.
2
{4x-5>x+1,①
18.解析
3x-4
<x.②
2
解不等式①得x>2,解不等式②得x<4.
∴原不等式组的解集为2<x<4.
19.解析 原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
∵a2+2b2-1=0,∴a2+2b2=1,∴原式=1.
20.解析 (1)如图.
(2)BC;等腰三角形三线合一.
21.解析 (1)证明:∵Δ=(-4m)2-4×1×3m2=4m2≥0,
∴该方程总有两个实数根.
(2)解这个方程可得x=3m,x =m.
1 2
∴ m3m>>0,m∵,由该方程的两个实数根的差为2,可得3m-m=2,∴m=1.
22.解析 (1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥EC,
又∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.
4 BF 4
(2)∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°.在Rt△BEF中,BE=5,cos B= ,∴ = ,∴BF=4,由勾股定理得EF=√BE2-BF2=3.
5 BE 5
∵AE平分∠BAC,∠ACB=∠AFE=90°,∴EC=EF=3.
∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC=3.
1 1 1
23.解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y= x的图象向下平移1个单位长度得到,∴k= ,且一次函数y=kx+b的图象过(0,-1),∴b=-1,∴这个一次函数的解析式为y= x-1.
2 2 2
1
(2) ≤m≤1.
2
提示:画图找出临界位置即可得到m的取值范围.
24.解析 (1)证明:∵AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E,
∴ = ,∴∠BAD=∠CAD.
BD CD
⏜ ⏜1
(2)如图,∵AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E,∴BE=CE.∵在△BGC中,点O、点E是分别是边BG、BC的中点,∴OE是△BGC的中位线,OE= GC,∴GC=2OE=6.
2
在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,
OF OA 5 25
由勾股定理可得BE=√OB2-OE2=4.∵∠BEA=∠BCG=90°,∴AE∥CG,∴∠FOA=∠FGC,∠OAF=∠GCF,∴△AOF∽△CGF,∴ = = ,又∵OF+FG=5,∴OF= .
FG GC 6 11
25.解析 (1)由题图可得,共有25家邮政企业,数据从小到大排序后,第13个数据落在10≤x<12这一组,为10.1,故m=10.1.
(2)由题中信息可知,p=12,而乙城市的平均数是11.0,中位数是11.5,平均数低于中位数,所以p>12,故p<p.
1 2 1 2
(3)11.0×200=2 200(百万元).
答:估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为2 200百万元.
{ a+b=3, {a=1, b 2
26.解析 (1)将m=3,n=15代入(1,m)和(3,n),得(1,3)和(3,15),将其代入y=ax2+bx,得 解得 故- =- =-1,∴该抛物线的对称轴为直线x=-1.
9a+3b=15, b=2, 2a 2×1
(2)∵抛物线y=ax2+bx,a>0,∴抛物线开口向上并且过原点.
{m>0, {m<0,
∴ mn<0,∵或
n<0 n>0.
当m>0,n<0时,点(1,m)在x轴上方,点(3,n)在x轴下方,而抛物线开口向上并且过原点,故此情况不符合题意,舍去.
当m<0,n>0时,抛物线开口向上并且过原点,
若抛物线过点(1,0),则抛物线的对称轴为直线x=0.5;
若抛物线过点(3,0),则抛物线的对称轴为直线x=1.5.
设对称轴为直线x=d,则0.5<d<1.5.∵抛物线开口向上,∴距离对称轴越近的点,其对应的函数值就越小.∵三点离对称轴由近及远的顺序是(2,y ),(-1,y ),(4,y ),∴y <y<y.
2 1 3 2 1 3
27.解析 (1)①∵∠DAE=∠CAB=α,
∴∠DAE-∠BAD=∠CAB-∠BAD,∴∠BAE=∠CAD.
②BE+MD=BM.
证明:∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.
∵M为BC的中点,∴BM=CM=CD+MD=BE+MD.即BE+MD=BM.
(2)NE=ND.
证法一:如图,过点E作AB的垂线交BC于点H,
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠C,
∴∠ABE=∠ABC,
∴∠BEH=∠BHE,
∴DC=BE=BH.
∴ BBMM=-BCHM=,C∵M-CD,即HM=DM.
ND MD
∵EH⊥AB,直线MN⊥AB,∴ = =1,∴NE=ND.
NE MH
证法二:如图,连接AM,AN,
∵AB=AC,M为BC的中点,
∴AM⊥BC,易得∠C=∠ADE=∠ABM=∠AMN.
∵∠ADE=∠AMN,且∠ADE和∠AMN均为线段AN所对的角,∴A、N、M、D四点共圆.
∵AM⊥BC,∴线段AD是此圆的直径,
∴∠AND=90°.又∵AD=AE,∴NE=ND.
28.解析 (1)如图,☉O的以点A为中心的“关联线段”是B C .
2 2√3 √3
(2)如图,由BC是☉O的以点A为中心的“关联线段”,BC=1,知☉O的弦长为1时,这条弦与相邻的两条半径也构成了一个等边三角形,易得圆心到此弦的距离为 ,已知点A(0,t),易得点A到BC的距离为 ,当点A位于y轴正半轴
2 2
时,t=√3;当点A位于y轴负半轴时,t=-√3.
√6
(3)OA的最小值为1,此时BC=√3;OA的最大值为2,此时BC= .
2
提示:∵在△ABC中,AB=1,AC=2.
∴点B的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,点C的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,当☉O与上面两个圆有交点时,就存在以点A为中心的“关联线段”.
如图1,当点O落在以A为圆心,1为半径的圆上时,OA取最小值,OA的最小值是1,∵AC'为☉O的直径,∴∠AB'C'=90°,根据勾股定理得BC=B'C'=√3.
图1
1 √6 √6
如图2,当点O落在以A为圆心,2为半径的圆上时,OA取最大值,OA的最大值为2,作C'D⊥OA于点D,设OD=x,则AD=2-x,由C'D2=1-x2=4-(2-x)2得x= ,∴B'C'=√B'D2+C'D2= .∴BC=B'C'= .
4 2 2图2
