2021年深圳市中考数学试卷还原
33
(满分:100分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(每小题3分,共10小题,满分30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B D A C D A D B A
1.(2021深圳,1,3分)如图所示的是一个正方形的展开图,把展开图折叠成小正方体,有“富”字一面的相对面上的字
是 ( )
A.强 B.明 C.文 D.主
1.B 经观察,将展开图折叠成小正方体后,
1
2.(2021深圳,2,3分)- 的相反数是 ( )
2 021
1 1
A.2 021 B. C.-2 021D.-
2 021 2 021
1 1 1
2.B - 的相反数为-(- )= .故选B.
2 021 2 021 2 021
3.(2021深圳,3,3分)不等式x+1>2的解集在数轴上的表示为 ( )
A. B.
C. D.
3.D x-1>2,x>2+1,x>3故选D
4.(2021深圳,4,3分)已知一组数:109 133 120 118 124,那么这组数的中位数是 ( )
A.124 B.120 C.118 D.109
4.B 将109、133、120、118、124排序得109、118、120、124、133.最中间的改为120.故B
5.(2021深圳,5,3分)下列运算中,正确的是 ( )
A.2a2·a=2a3 B.(a2)3=a5
C.a2+a3=a5 D.a6÷a2=a3
5.A 2a2·a=2a3,故A选项正确;
(a2)3=a2×3=a6,故B选项错误;
a2+a3≠a5,故C选项错误;
a6÷a2=a6-2=a4,故D选项错误.
故选A.
6.(2021深圳,6,3分)( )A.B.C.D.
6.C |1-6am60°|=|1-√3|=√3-1,故选C
7.(2021深圳,7,3分)《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今
并买一顷,价钱一万.问善、恶田各有几何?”意思是:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏
田共1顷(100亩),总价值10 000钱.问好、坏田各买了多少亩?”设好田买了x亩,坏田买了y亩,则根据题意可列方
程组为 ( )
{
x+ y=100
{
x+ y=100
A. B.
7 500
300x+ y=10 000 300x+ y=10 000
500 7
{
x+ y=100
{
x+ y=100
C. D.
7 500
x+300 y=10 000 x+300 y=10 000
500 7
7.B ∵一共买了100亩田,
∴x+y=100.
500
∵买好田、坏田一共花费了10 000钱,且好田的价格为300钱/亩,坏田的价格为 钱/亩.
7
500
∴300x+ y=10 000.
7
故选B.
思路分析 由题意得等量关系为好田加坏田共100亩,好田加坏田一共花了10 000钱.由等量关系便可列方程组.
8.(2021深圳,8,3分)如图,已知∠A=32°,AB=BC=15,则CD的长度是 ( )
A.15tan 64° B.15tan 32°
C.15sin 64° D.15sin 32°
8.C ∵AB=BC=15,
∴∠BCA=∠A=32°.
∴∠DBC=∠BCA+∠A=64°.
在Rt△DCB中,
DC
sin∠DBC= ,
BC
DC
∴sin 64°= ,
15
∴DC=15sin 64°.
故选C.
9.(2021深圳,9,3分)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )A B
C D
b b
9.A ∵二次函数y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=- ,一次函数y=2ax+b与x轴交点坐标为(- ,0),
2a 2a
∴一次函数y=2ax+b经过二次函数y=ax2+bx+1图象的对称轴与x轴的交点.
观察图象可得B、C、D选项不符合,A选项符合.
故选A.
10.(2021深圳,10,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,连接DE,在BC延长线上取点F使EF=ED,
过点F作FG⊥ED交ED于点M,交AB于点G ,交CD于点N,连接CM、EG.以下结论中:
1 CM 1 √5+1
①tan∠GFB= ;②NM=NC;③ = ;④S = ,正确的个数是 ( )
2 GE 2 四边形GBEM 2
A.4 B.3 C.2 D.1
EC 1
10.B ①∵∠NMD=∠NCF=90°,∠MND=∠CNF,∴∠MDN=∠CFN,∴tan∠GFB=tan∠EDC= = ,故①正确;
CD 2
②∵∠ECD=∠EMF,∠EDC=∠EFM,ED=EF,
∴△DEC≌△FEM(AAS),∴EM=EC,∴DM=FC.
∵∠MDN=∠CFN,∠MND=∠CNF,
∴△DMN≌△FCN(AAS),
∴NM=NC,故②正确;
③∵BE=EC,ME=EC,∴BE=ME.
在Rt△GBE和Rt△GME中,BE=ME,GE=GE,
∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL),∴∠BEG=∠MEG.
∵ME=EC,∴∠EMC=∠ECM.
又∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG,
CM CF
∴∠GEB=∠MCE,∴MC∥GE,∴ = .
EG EF∵EF=DE= = ,CF=EF-EC= -1,
√EC2+CD2 √5 √5
CM CF √5-1 5-√5
∴ = = = ,故③错误;
EG EF √5 5
GB 1 1 √5+1
④∵BE=EC=1,CF=√5-1,∴BF=√5+1,∵tanF=tan∠EDC= = ,∴GB= BF= ,
BF 2 2 2
1 √5+1
∴S =2S =2· ·BE·BG= ,故④正确.故选B.
四边形GBEM △GBE 2 2
第Ⅱ卷 非选择题(共 分)
二、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分)
11.(2021深圳,11,3分)因式分解:7a2-28= .
11.答案 7(a+2)(a-2)
解析 7a2-28=7(a2-4)=7(a+2)(a-2),故答案为
7(a+2)(a-2).
易错警示 分解不彻底易导致结果为7(a2-4).
12.(2021深圳,12,3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx-3=0有一个根是1,则m= .
12.答案 2
解析 将 x=1代入x2+mx-3=0,得1+m-3=0.解得m=2.故答案为2.
13.(2021深圳,13,3分)如图,已知点D为∠BAC的平分线上一点,直线l垂直平分AD,交AC于点F,连接DF,过点D
作DE⊥AC于点E.若AD=10,∠BAC=60°,则△DEF的周长为 .
13.答案 5+5√3
解析 ∵DF=AF(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),∴C =DE+EF+DF=DE+EF+AF=AE+DE.
△DEF
∵∠BAC=60°,AD是角平分线,
∴∠DAE=30°.
∵AD=10,
∴DE=5,AE=5√3,
∴C =5+5√3.
△DEF
k
14.(2021深圳,14,3分)已知反比例函数y= 经过第一象限内点A(2,3),连接AO并延长交反比例函数于点B,将线段
x
AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为 .14.答案 (4,-7)
解析 设直线AB的表达式为y=mx,
k
反比例函数的表达式为y= .
x
3 6
将A点坐标(2,3)分别代入可得y= x,y= .
2 x
3
{y= x,
联立可得 2 解得{x=2,或{x=-2,
6 y=3 y=-3,
y= ,
x
∴B(-2,-3),
过点B作y轴的平行线l,分别过点A,点C作l的垂线,分别交于D,E两点,则
D(-2,3),
易证△ABD≌△BCE,
∴AD=BE=4,BD=CE=6.
∴C(4,-7).
15.(2021深圳,15,3分)如图,在△ABC中,AB=4√3,D、E分别为线段BC、AC上一点,EC=10,将△CED沿DE折叠,使
点C落在点F处,∠BFC=90°.若AB∥EF,则AE= .
15.答案 10-4√3
解析 解法一:如图,延长ED,交CF于点G.延长DE,BA,交于点M.
由折叠可知DG⊥CF.
∵BF⊥CF,∴ED∥BF.又∵BA∥EF,
∴四边形BFEM为平行四边形,∴BM=EF=EC=10.
又易证∠M=∠AEM,∴AE=AM.
∵AM=BM-AB=10-4√3,∴AE=10-4√3.
解法二:如图,延长ED,交CF于点G.延长EA,FB,交于点M.设∠CED=α,
由折叠,可知DG⊥CF,∠FEG=∠CEG=α,EF=EC=10.
∵BF⊥CF,∴ED∥BF,∴∠FED=∠BFE=α.
∵AB∥EF,∴∠BAC=∠FEC=2α,∠ABM=∠BFE=α,∴∠M=∠BAC-∠ABM=α.
∵∠M=∠BFE=α,∠M=∠ABM=α,∴EM=EF=10,AM=AB=4√3,∴AE=EM-AM=10-4√3.
解法三:由题意易证点D为BC的中点.
如图,取AC的中点M,连接DM.
1
∴DM∥AB,DM= AB=2√3.
2
∵AB∥EF,DM∥AB,∴DM∥EF.
设∠FED=∠MDE=α,
∵∠MED=∠FED=α,∴∠MED=∠MDE,
∴EM=MD=2√3.
∵EC=10,∴MC=10-2√3.
∵AM=MC=10-2√3,且EM=2√3,
∴AE=AM-EM=10-2√3-2√3=10-4√3.
解法四:由折叠,易证ED⊥CF.设∠DEC=α.
∴BF∥ED,∴∠BFE=∠FED=α.
过点F作FM∥AE,交AB延长线于点M.∴四边形AMFE为平行四边形,
∴∠MFE=∠FEC=2α,∴∠MFB=∠MFE-∠BFE=α.
又∵AB∥EF,∴∠MBF=∠BFE=α,∴∠MFB=∠MBF,∴MB=MF.
∵四边形AMFE为平行四边形,∴AM=EF=EC=10,AE=MF=MB,∴MB=AM-AB=10-4√3,∴AE=10-4√3.
解法五:如图,过点B作BM∥AC,交EF于点M.
设∠CED=α.
∴四边形ABME为平行四边形,且∠BME=∠FEC=2α.由折叠可知ED⊥FC,∵BF⊥FC,∴BF∥ED,
∴∠BFM=∠FED=α,∴∠FBM=∠BME-∠MFB=α,
∴∠FBM=∠BFM,∴MB=MF.
∵四边形ABME为平行四边形,
∴AE=MB=MF,EM=AB=4√3.
∵MF=EF-EM=EC-EM=10-4√3,∴AE=10-4√3.
解法六:延长BA、DE,交于点N,延长ED至点M,使得DM=ED,连接BM.
设∠DEC=α,
易证△BDM≌△CDE,BM∥CE,
∴BM=CE=10,∠M=DEC=α.
∵AB∥EF,∴∠N=∠FED=α,
∴∠N=∠M,∴BN=BM=10.
∵∠AEN=∠DEC=α,∴∠AEN=∠N,
∴AE=AN=BN-AB=10-4√3.
1 x2+6x+9
16.(2021深圳,16,6分)先化简,再求值:( +1)÷ ,其中x=-1.
x+2 x+31 x+2 x+3 x+3 1 1 1
16.解析 原式=( + )· = · = ,当x=-1时,原式= =1.
x+2 x+2 (x+3)2 x+2 x+3 x+2 -1+2
17.(2021深圳,17,6分)如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)请画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形;
(2)求四边形ABCD的面积.
17.解析 (1)如图所示:
1 1
(2)S =S +S = ×4×2+ ×4×2=4+4=8.
四边形ABCD △ABC △ADC
2 2
18.(2021深圳,19,3分)随机调查某城市30天空气质量指数(AQI),统计如下:
空气
空气质量指数
质量 频数
(AQI)
等级
优 AQI≤50 m
良 50<AQI≤100 15
中 100<AQI≤150 9
差 AQI>150 n
(1)m= ,n= ;
(2)a= ;
(3)空气质量等级为差的圆心角是 ;
(4)折线图是一个月内的空气污染指数统计,然后根据这一个内统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数.根据折
线图,一个月(30天)中有 天AQI为中,估测该城市一年(以360天计)中大约有 天AQI为中.根据折线统
计图发现有六天是AQI小于50的,其中有两个日期是相邻的,其它都是不相邻的,请问这6天当中随机抽取两天,是相
邻两天的概率是多少?
18.解析 (1)4,2
(2)50%
(3)24°
1
(4)9,108,概率为
1519.(2021深圳,20,3分)已知如图所示,在☉O中,AB为☉O的弦,点C、点D为 的三等分点,连接AD、
ABC
⏜
BC,BE∥AD交CD延长线于点E.
(1)求证:∠A=∠E:
(2)若BE=5,BD=3,求DE的长.
19.解析 (1)连接AD,∵A、D、C、B四点共圆∴∠BAD+∠BCD=180°.又∠BCD+∠BCE=180°,∴∠BAD=∠BCE.又
∠BAD=∠ABC,∴∠ABC=∠BCE,∴AB∥CE,又AC∥BE,∴四边形ACEB为平行四边形,∴∠A=∠E.
CD BC 3 5 25 16
(2)∵ = ,∴CD=BD=3.又∵CD∥AB,∴BC=AD=BE=5.又∵∠ = ,即 = ,∴CE= ,∴DE= .
BD CD
BC CE 5 CE 3 3
⏜ ⏜
20.(2021深圳,20,8分)某科技公司研发出一种新式的机器,每台机器的成本是8万元,设每台机器售价为x万元,卖出
数量为y台,经过测算发现x与y的关系如下表所示:
x(万元/台) … 10 12 14 16 …
y(台) … 40 30 20 10 …
(1)求y与x的函数关系式;
(2)设销售利润为W万元,当售价为多少万元时,所获得的利润最大?
20.解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将x=10,y=40;x=12,y=30代入y=kx+b得
1 1 2 2
{10k+b=40,
12k+b=30,
{k=-5,
解得
b=90.
所以y与x的函数关系式为y=-5x+90.
(2)由题意得
W=(x-8)(-5x+90)
=-5x2+130x-720
=-5(x-13)2+125.
所以当x=13时,W最大,为125万元.
答:当销售单价为13万元时,可获得最大利润,最大利润为125万元.
1
21.(2021深圳,21,3分)某些同学探究:是否存在一个新矩形,使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍.
2
同学们先从正方形开始探究,
(1)是否存在一个正方形,使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍? (填“存在”或“不存在”)
(2)继续探究矩形,是否存在一个矩形,使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍?
同学们有以下思路:
{x+ y=10
①设新矩形长和宽为x和y,则依题意x+y=10,xy=12,联立 得x2-10x+12=0,再探究根的情况;
x y=12
1
根据此方法,请你探究是否存在一个矩形,使其周长和面积都为原矩形的 倍;
212
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l∶y=-x+10,l∶y= ,那么,
1 2
x
(1)是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍? ;
1
(2)请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ,若不存在,用图象表达;
2
(3)请直接写出当结论成立时k的取值范围: .
21.解析 (1)存在:
(2)①存在:
∵x2-10x+12=0的判别式△>0,方程有两组正数解,故存在:
12
从图象来看,I:y=-x+10,I:y= 在第一象限有两个交点,故存在:
1 2
x
{ 5
②设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=5,xy=3,联立 x+ y= 得x2-5x+3=0,
2
2 2
x y=3
因为△<0,此方程无解,故这样的新矩形不存在:
12
从图像来看,I:y=-x+10,I:y= 在第一象限无交点,故不存在:
1 2
x
24
(3)k≥ ;
25
理由:
设新矩形长和宽为x和y,则由题意x+y=5k,xy=6k,
{x+ y=5k 24
联立 得x2-5kx+6k=0,△=25k2-24k≥0,故k≥ .
x y=6k 25
22.(2021深圳,22,10分)如图1,四边形ABCD为正方形,等腰直角三角形AEF中,∠AFE=90°,连接CE,H为CE中点,
BF
连接BH、BF、HF,发现 和∠HBF为定值.
BH
BF
(1)① = ;
BH
②∠HBF= ;AF AB
③小明为了证明①②,连接AC交BD于点O,连接OH,证明了 和 的关系,请你按照他的思路证明①②.
OH BO
BD EA
(2)小明又用三个相似三角形(两个大三角形全等)摆出如图2中的图形, = =k,∠BDA=∠EAF=θ(0<θ<90°).
AD F A
FD
求① (用含k的代数式表示);
H D
FH
② (用含k、θ的代数式表示).
H D
图1
图2
22.解析 (1)①√2.
②45°.
AB
③证明:由正方形性质,得 =√2,O为AC的中点,
BO
1
又∵H为CE的中点,∴OH∥AE,OH= AE.
2
∵△AEF是等腰直角三角形,
AF AB
∴AE=√2AF,∴ =√2= .
OH OB
∵OH∥AE,∴∠COH=∠CAE.
∵∠CAE=∠DAF,∴∠COH=∠DAF.
∴∠BOH=∠BOC+∠COH=∠BAD+∠DAF=∠BAF.
BF
∴△BOH∽△BAF,∴ =√2,∠HBO=∠FBA,∴∠HBF=∠HBO+∠DBF=∠FBA+∠DBF=∠DBA=45°.
BH
(2)①如图,连接AC,与BD交于O点,连接OH,作CD中点G连接OG.
由题可知△ABD≌△CDB,
∴∠ADB=∠CBD,AD=CB,
∴AD∥CB,∴四边形ABCD为平行四边形.
∴O为AC、BD的中点,
1 1
∴OH∥AE,OH= AE,OG∥AD,OG= AD,
2 2
∴∠COH=∠CAE,∠GOD=∠ADB,∠COG=∠CAD,∵∠BDA=∠EAF=θ,∴∠GOD=∠EAF,
∴∠DOH=∠GOD+∠COG+∠COH=∠EAF+∠CAD+∠CAE=∠DAF,
1 1
BD EA DO BD OH
又∵ = =k,∴ =2 =2EA = ,
AD F A DA AF
AD F A
FD DA 2
∴△DOH∽△DAF,∴ = = .
H D DO k
②解法1:∵△DOH∽△DAF,∴∠HDO=∠FDA,∴∠HDF=∠BDA=θ.
FD 2
在△HDF中,∠HDF=θ, = .
H D k
不妨令DF=2t,则DH=kt,
如图,过点H作HM⊥DF于点M,则HM=DHsin θ=ktsin θ,DM=DHcos θ=ktcos θ.
∴MF=DF-DM=(2-kcos θ)t,由勾股定理得HF2=MH2+MF2,解得HF=t ,∴FH =√k2-4kcosθ+4.
√k2-4kcosθ+4
DH k
FD 2
解法二:同解法一:在△HDF中,∠HDF=θ, = .不妨令DF=2t,则DH= kt,
H D k
如图,过点F作FN⊥直线DH于点N,
则FN=DFsin θ=2tsin θ,DN =DFcos θ=2tcos θ,
∴HN=DN-DH=(2cos θ-k)t,由勾股定理得HF2=HN2+FN2,解得HF=t ,
√k2-4kcosθ+4
∴FH =√k2-4kcosθ+4.
DH k
