年广东省初中学业水平考试
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.下列实数中,最大的数是( )
A.π B. C.|-2| D.3
√2
2.据国家卫生健康委员会发布,截至2021年5月23日,31个省(区、市)及新疆生产建设兵团
累计报告接种新冠病毒疫苗51 085.8万剂次.将“51 085.8万”用科学记数法表示为( )
A.0.510 858×109 B.51.085 8×107
C.5.108 58×104 D.5.108 58×108
3.同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
12 6 3 2
4.已知9m=3,27n=4,则32m+3n=( )
A.1 B.6 C.7 D.12
5.若|a-√3|+√9a2-12ab+4b2=0,则ab=( )
9
A.√3 B. C.4√3 D.9
2
6.下列图形中正方体展开图的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O
的直径为( )
A. B.2 C.1 D.2
√3 √38.设6- 的整数部分为a,小数部分为b,则(2a+ )b的值是( )
√10 √10
A.6 B.2 C.12D.9
√10 √10
9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何
a+b+c
学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p= ,则其面积S=
2
.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面
√p(p-a)(p-b)(p-c)
积的最大值为( )
A. B.4 C.2 D.5
√5 √5
10.设O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x2上的两个动点,且OA⊥OB.连接点A、B,过O作
OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值为( )
1 √2 √3
A. B. C. D.1
2 2 2
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
{x+2y=-2,
11.二元一次方程组 的解为 .
2x+ y=2
12.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析
式为 .
13.如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半
为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为 .
14.若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x,x 满足-3<x <-1,1<x <3,则符合条件的一
1 2 1 2
个方程为 .
1 13 1
15.若x+ = 且0<x<1,则x2- = .
x 6 x2
4
16.如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sin A= .过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE=
5
.
17.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度
的最小值为 .
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题6分,共18分.
{2x-4>3(x-2),
18.解不等式组 x-7
4x> .
219.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体600
名学生中抽取20名,其竞赛成绩如图:
(1)求这20名学生成绩的众数、中位数和平均数;
(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.
20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°.作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使
CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
1
(2)若AD= BD,求tan∠ABC的值.
3四、解答题(二):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
21.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两
4
点,且与反比例函数y= 图象的一个交点为P(1,m).
x
(1)求m的值;
(2)若PA=2AB,求k的值.
22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.
市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6
000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出100
盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒.
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于
x的函数解析式并求最大利润.23.如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到
△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题10分,共20分.
24.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且
EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-
8x+6.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C;点M是(1)中二次函数图
象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
12 2021年广东省初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B D B C B A C A
1.A π≈3.14,√2≈1.414,|-2|=2,∵1.414<2<3<3.14,
∴√2<|-2|<3<π,∴最大的数是π.故选A.
2.D 51 085.8万=510 858 000=5.108 58×108.故选D.
3.B 列表如下:
第一枚点数之
1 2 3 4 5 6
和第二枚
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 126 1
共有36种等可能的结果,其中和为7的有6种,所以P(和为7)= = .故选B.
36 6
4.D ∵9m=3,27n=4,∴32m+3n=32m·33n=(32)m·(33)n=9m·27n=3×4=12.故选D.
5.B 由题意得|a-√3|+√9a2-12ab+4b2=|a-√3|+√(3a-2b)2=|a-√3|+|3a-2b|=0.
∵|a-√3|≥0,|3a-2b|≥0,∴a-√3=0,3a-2b=0,
3√3 3√3 9
∴a=√3,b= ,∴ab=√3× = .故选B.
2 2 2
6.C 观察可知第一、三、四个图形均为正方体展开图,第二个图形不是正方体展开图.故选
C.
7.B 过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB为☉O的直径,∴∠C=90°,∴DC⊥CB.
又∵BD平分∠ABC,∴DE=DC=1.∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-1=2.
在Rt△ADE中,AE=√AD2-DE2=√22-12=√3.
{DB=DB,
在Rt△DEB和Rt△DCB中,
DE=DC,
∴Rt△DEB≌Rt△DCB(HL),∴BE=BC.
设BE=BC=x,则AB=AE+EB=√3+x.
在Rt△ACB中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
即32+x2=(x+√3)2,解得x=√3,∴AB=√3+x=2√3,
∴☉O的直径为2√3.故选B.
8.A ∵3<√10<4,∴2<6-√10<3,
∴a=2,b=6-√10-2=4-√10.
∴(2a+√10)b=(2×2+√10)×(4-√10)
=(4+√10)×(4-√10)=16-10=6.故选A.
a+b+c a+b+4
9.C ∵p=5,c=4,p= ,∴5= ,化简得a+b=6,∴b=6-a,
2 2
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√5(5-a)(5-6+a)(5-4)
=√-5(a-3)2+20,
∴当a=3时,S有最大值,为2√5.故选C.
10.A 如图,设A、B两点坐标分别为(x,y),(x ,y),其中x≠0,x≠0.
1 1 2 2 1 2
∵点A、B在y=x2的图象上,∴y =x2 ,y=x2 ,
1 1 2 2
∴A(x
,x2
),B(x
,x2
).
1 1 2 2
过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠AOB=90°,∴∠1+∠2=90°.
∵BD⊥x轴,∴∠BDO=90°,
∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∵AE⊥x轴,∴∠AEO=90°,
∴∠AEO=∠ODB,∴△AEO∽△ODB,
AE OE
x2 -x
1 1
∴ = ,即 = ,∴x x=-1.
OD BD x x2 1 2
2 2
设AB所在直线的解析式为y=kx+b,
将点A(x
,x2
),B(x
,x2
)代入y=kx+b中,得
1 1 2 2
{x2=kx +b, {k=x +x ,
1 1 1 2
解得
x2=kx +b, b=-x x .
2 2 1 2
∴y=(x +x)x-xx.
1 2 1 2
令直线AB与y轴交于点P,易求点P(0,-x x),即P(0,1).
1 2
∵OC⊥AB,∴∠OCP=90°,∴点C在以OP为直径的圆上,
1
∴点C到OP距离的最大值为以OP为直径的圆的半径,即 .故选A.
2
二、填空题
{ x=2
11.答案
y=-2
{x+2y=-2,①
解析
2x+ y=2.②
①×2,得2x+4y=-4,③
③-②,得3y=-6,解得y=-2.
将y=-2代入①,得x+2×(-2)=-2,解得x=2.
{ x=2, { x=2,
所以方程组的解为 故答案为
y=-2. y=-2.
12.答案 y=2x2+4x
解析 将抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2+1,再向
下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2+1-3=2(x2+2x+1)-2=2x2+4x,故答案
为y=2x2+4x.
13.答案 4-π
解析 ∵△ABC为等腰三角形,∠A=90°,
AC AC √2
∴∠B=45°,sin B= ,∴sin 45°= = ,∴AC=2√2,
BC 4 2
∴AB=AC=2√2,
1 1
∴S = ·AB·AC= ×2√2×2√2=4,
△ABC 2 2
45π×22
∴S =S -2× =4-π.
阴影 △ABC 360
故答案为4-π.
14.答案 x2-4=0(答案不唯一)
解析 ∵-3<x <-1,1<x <3,∴不妨令x=-2,x=2.
1 2 1 2
将x=-2,x=2代入x2+bx+c=0中,得
1 2
{4-2b+c=0, { b=0,
解得
4+2b+c=0, c=-4.
∴x2+bx+c=x2-4,∴方程可以为x2-4=0.
故答案为x2-4=0(答案不唯一).
65
15.答案 -
361 13 ( 1) 2 (13) 2
解析 ∵x+ = ,∴ x+ = ,
x 6 x 6
1 169 1 169 25
即x2+2+ = ,∴x2-2+ = -4= ,
x2 36 x2 36 36
( 1) 2 25 1 5
即 x- = ,∴x- =± .
x 36 x 6
1 1 5
∵0<x<1,∴x- <0,∴x- =- ,
x x 6
1 ( 1)( 1) 13 ( 5) 65
∴x2- = x+ x- = × - =- .
x2 x x 6 6 36
65
故答案为- .
36
9√10
16.答案
50
解析 过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴易证△BCF≌△ADE,
∴CF=DE,BF=AE.
DE DE 4
在Rt△ADE中,sin A= = = ,
AD 5 5
∴DE=4,∴AE=√AD2-DE2=√52-42=3,
∴CF=4,BF=3,BC=5.
∵AB=12,∴BE=AB-AE=12-3=9,∴EF=EB+BF=9+3=12.
在Rt△ECF中,EC=√CF2+EF2=√42+122=4√10.
过点B作BH⊥EC于点H.
1 1 EB·CF 9×4 9√10
∵S = EB·CF= EC·BH,∴BH= = = ,
△EBC 2 2 EC 4√10 10
9√10
BH 9√10
∴sin∠BCE=sin∠BCH= = 10 = .
BC 50
5
9√10
故答案为 .
50
17.答案 √5-√2
解析 如图,作△ABD的外接圆☉O,连接OA,OB,OC,OC与☉O交于点D'.
CD'的长度即为CD长度的最小值.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.
易得OA=OB=OD'=√2.
过O作OH⊥BC于点H,易得BH=OH=1,
∴CH=BC-BH=3-1=2.
在Rt△OHC中,OC=√OH2+HC2=√12+22=√5,
∴CD'=OC-OD'=√5-√2,
∴CD长度的最小值为√5-√2.故答案为√5-√2.
三、解答题(一)
{2x-4>3(x-2),①
18.解析 解不等式组 x-7
4x> .②
2
解不等式①,得x<2.(2分)
解不等式②,得x>-1.(4分)
所以不等式组的解集为-1<x<2.(6分)
90+90
19.解析 (1)众数为90分,中位数为 =90(分).(2分)
2
80×2+85×3+90×8+95×5+100×2
平均数为x= =90.5(分).
20
答:这20名学生的成绩的众数为90分,中位数为90分,平均数为90.5分.(4分)
8+5+2
(2)600× =450(人).
20
答:估计该年级学生获优秀等级的人数为450.(6分)
20.解析 (1)∵点D在线段BC的垂直平分线上,∴DB=DC.又CE=AB,∴△ABD的周长
=AD+DB+BA=AD+DC+CE=AE=1.
∴△ABD的周长为1.(3分)
1
(2)设AD=x.∵AD= BD,∴BD=CD=3x.∴AC=AD+DC=x+3x=4x.在Rt△ABD中,AB=
3
√BD2-AD2=2√2x.
AC 4x
在Rt△ABC中,tan∠ABC= = =√2.(6分)
AB 2√2x
四、解答题(二)
4
21.解析 (1)∵P(1,m)在反比例函数y= 的图象上,
x
∴m=4.(2分)
(2)过点P作x轴的垂线,垂足为点C,点B在直线y=kx+b上,则点B(0,b).
①如图,当b>0时,易得△ACP∽△AOB,
CP OB 4 b
∴ = ,∵PA=2BA,∴ = ,得b=2.
AP AB 2AB AB∵点P(1,4)在直线AB上,∴k+2=4,得k=2.(5分)
②如图,当b<0时,易得△ACP∽△AOB,
CP OB 4 |b|
∴ = ,∵PA=2AB,∴ = ,得b=-2.
AP AB 2AB AB
∵点P(1,4)在直线AB上,
∴k+(-2)=4,得k=6.
综上所述,k=2或k=6.(8分)
22.解析 (1)设豆沙粽每盒进价为a元,则猪肉粽每盒进价为(a+10)元,
6 000 8 000
依题意得 = ,解得a=30.
a a+10
经检验,a=30是原方程的解,且符合题意.∴a+10=40.
答:豆沙粽每盒进价为30元,猪肉粽每盒进价为40元.(4分)
(2)依题意,得y=(x-40)[100-2(x-50)]
=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800.(6分)
∵-2<0,∴当x<70时,y随x的增大而增大.
∵50≤x≤65,
∴当x=65时,函数取最大值,为1 750.
故y与x之间的函数解析式为y=-2x2+280x-8 000(50≤x≤65).
当猪肉粽的售价为65元时,有最大利润1 750元.(8分)
23.解析 延长BF交CD于点H,连接EH.
在正方形ABCD中,DC∥AB,∠D=∠DAB=∠DCB=90°,DC=DA=AB=BC=1,AC=√2.
由题意可知FE=AE,AB=FB,∠EFB=∠EAB=90°.
∴∠EFH=90°.
∵E是AD的中点,则AE=DE,∴FE=DE.
又EH=EH,∴Rt△DEH≌Rt△FEH,∴DH=FH.(2分)
设DH=FH=x(x>0),则HC=1-x,BH=1+x.
在Rt△CHB中,BC2+CH2=HB2,
1
即12+(1-x)2=(1+x)2,解得x= .(4分)
4
1 3
∴HC=DC-DH=1- = .
4 4
∵DC∥AB,∴△HGC∽△BGA.(6分)CG HC 3 CG 3 3√2
∴ = = ,即 = ,∴CG= .(8分)
AG BA 4 AC-CG 4 7
五、解答题(三)
24.解析 (1)证明:∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB.
∵CD=DF,∴∠DCF=∠DFC.
∵CD∥EF,∴∠DCF=∠CFE.
∴∠CFE=∠DFC.
又∵AB∥CD,EF∥CD,∴AB∥EF.
∴∠EFB=∠FBA,∴∠EFB=∠AFB.
∵∠DFC+∠CFE+∠EFB+∠AFB=180°,
∴∠CFE+∠BFE=90°,即∠CFB=90°.
∴CF⊥FB.(3分)
(2)证明:取AD的中点O,过点O作OG⊥CB于点G,连接CA交OG于点H.
∵OG⊥BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴OG∥CD.
∵AO=DO,∴AH=CH,CG=BG.
1 1
∴GH是△ABC的中位线,∴GH= AB.同理OH= CD.
2 2
1 1 1
∴OG=GH+HO= (AB+CD)= (AF+FD)= AD=OD.
2 2 2
∵OD是半径,∴以AD为直径的圆与BC相切.(6分)
(3)∵∠DFE=120°,由(1)得∠DFC=∠CFE,
1
∴∠DFC=∠CFE= ∠DFE=60°.
2
由(1)得EF∥AB,∠ABC=90°,
∴∠CEF=∠ABC=90°.∴∠BEF=90°,∠EFB=30°.
在Rt△CEF中,CE=EF·tan 60°=2√3.
2√3
在Rt△EFB中,EB=EF·tan 30°= .(8分)
3
故△ADE的面积=△DEF的面积+△AFE的面积
1 1 1 1 2√3
= EF·CE+ EF·EB= ×2×2√3+ ×2×
2 2 2 2 3
8√3
= .(10分)
3
25.解析 (1)对任意的实数x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.
在上式中,令x=3,得0≤9a+3b+c≤0,即9a+3b+c=0.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),
∴a-b+c=0.
{9a+3b+c=0, {b=-2a,
联立 解得 (2分)
a-b+c=0. c=-3a.
由题意可得对任意实数x,都有ax2+bx+c-4x+12≥0,
即ax2-(2a+4)x-3a+12≥0.
∵a≠0,∴a>0且Δ=16(a-1)2≤0,
解得a=1,b=-2,c=-3.
故所求二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(4分)
(2)由(1)易知点A(3,0),点C(0,-3).
①若四边形ACMN为平行四边形,则AC∥NM,AC=NM.
由y -y =y -y ,得y =-3.
A C N M M
将y =-3代入y=x2-2x-3,得x=0(舍去)或x=2,故点M(2,-3).
M
由x -x =x -x ,得x =5,故点N(5,0).
A C N M N
经验证,此时四边形ACMN为平行四边形.(6分)
②若四边形ACNM为平行四边形,则AC∥MN,AC=MN.
由y -y =y -y ,得y =3.
A C M N M
将y =3代入y=x2-2x-3,得x=1±√7,故点M(1±√7,3).
M
由x -x =x -x ,得x =-2±√7,故点N(-2±√7,0).
A C M N N
经检验,此时四边形ACNM为平行四边形.(8分)
③若四边形AMCN为平行四边形,则AN∥MC,AN=MC.
由y -y =y -y ,得y =-3.
A N M C M
将y =-3代入y=x2-2x-3,得x=0(舍去)或x=2,故点M(2,-3).
M
由x -x =x -x ,得x =1,故点N(1,0).
A N M C N
经验证,此时四边形AMCN为平行四边形.
综上,存在满足条件的点N的坐标为(5,0)或(-2+√7,0)或(-2-√7,0)或(1,0).(10分)
