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2020年广东省初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:90分钟)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.9的相反数是 ( )
1 1
A.-9 B.9 C. D.-
9 9
2.一组数据2,4,3,5,2的中位数是 ( )
A.5 B.3.5 C.3 D.2.5
3.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-3,2) B.(-2,3)
C.(2,-3) D.(3,-2)
4.若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.若式子√2x-4在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠-2
6.已知△ABC的周长为16,点D,E,F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为 ( )
A.8 B.2√2 C.16 D.4
7.把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3
{ 2-3x≥-1,
8.不等式组 的解集为 ( )
x-1≥-2(x+2)
A.无解 B.x≤1
C.x≥-1 D.-1≤x≤1
9.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为 ( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
10.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1.下列结论:①abc>0;②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0,正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分)
11.分解因式:xy-x= .
12.如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项,那么m+n= .
13.若√a-2+|b+1|=0,则(a+b)2 020= .
14.已知x=5-y,xy=2,计算3x+3y-4xy的值为 .1
15.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于 AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为 .
2
16.如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 m.
17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持
不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 .
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
18.先化简,再求值:(x+y)2+(x+y)·(x-y)-2x2,其中x=√2,y=√3.
19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动,调查问卷设置了“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级.要求每名学生选且只能选其中一个等级.随机抽取了120名学生的有效问卷,数据整理如下:
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数(人) 24 72 18 x
(1)求x的值;
(2)若该校有学生1 800人,请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人.
20.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)
21.已知关于x,y的方程组{ax+2√3 y=-10√3,与{x- y=2,的解相同.
x+ y=4 x+by=15
(1)求a,b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2√6,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.
22.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是☉O的直径,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与☉O相切;
(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧 上一点,AD=1,BC=2,求tan∠APE的值.
AE
⏜
图1
图2
23.某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”,每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米.建A类摊位每平方米的费用为40元,建B类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊
3
位个数的 .
5
(1)求每个A,B类摊位占地面积各为多少平方米;(2)该社区拟建A,B两类摊位共90个,且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍,求建造这90个摊位的最大费用.
五、解答题(三)(本大题2小题,每小题10分,共20分)
8 k
24.如图,点B是反比例函数y= (x>0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A,C.反比例函数y= (x>0)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF,BG.
x x
(1)填空:k= ;
(2)求△BDF的面积;
(3)求证:四边形BDFG为平行四边形.
3+√3
25.如图,抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=√3CD.
6
(1)求b,c的值;
(2)求直线BD的函数解析式;
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
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2020年广东省初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D B B A C D D B
1.A 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”可知,9的相反数是-9.故选A.2.C 把这组数据按从小到大的顺序排列为2,2,3,4,5,处于最中间位置的数是3,即这组数据的中位数是3,故选C.
3.D 关于x轴对称的点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标互为相反数.所以点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,-2),故选D.
4.B 设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和定理得(n-2)×180°=540°,解得n=5,故选B.
5.B 根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”可得2x-4≥0,解得x≥2,故选B.
6.A 如图,∵D,E,F分别为△ABC三条边的中点,
1 1 1
∴DF= BC,DE= AC,EF= AB.
2 2 2
∵△ABC的周长=BC+AC+AB=16,
1 1
∴△DEF的周长=DF+DE+EF= (BC+AC+AB)= ×16=8,故选A.
2 2
7.C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为y=[(x-1)-1]2+2=(x-2)2+2,故选C.
8.D 解不等式2-3x≥-1,得x≤1,解不等式x-1≥-2(x+2),得x≥-1,所以不等式组的解集为-1≤x≤1,故选D.
9.D ∵四边形ABCD是正方形,∴CD∥AB,∴∠EFD=∠FEB=60°.
由折叠的性质可知∠FEB=∠FEB'=60°,
∴∠AEB'=180°-∠FEB-∠FEB'=60°,∴∠AB'E=30°,∴B'E=2AE.
设AE=x,则BE=B'E=2x,
∴AB=AE+BE=3x=3,∴x=1,∴BE=2x=2,故选D.
b
10.B 根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a<0,c>0.又∵抛物线的对称轴是直线x=- =1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故①错误.根据抛物线与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,故②正确.观察题图发现当x=-2时,y=4a-2b+c<0.又∵b=-2a,∴8a+c<0,故③
2a
正确.观察题图发现当x=2时,y=4a+2b+c>0,当x=-1时,y=a-b+c>0,两式相加,得5a+b+2c>0,故④正确.故选B.
二、填空题
11. 答案 x(y-1)
解析 xy-x=x(y-1).
12. 答案 4
解析 由同类项的定义:所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项,可知m=3,n=1,∴m+n=4.
13. 答案 1
解析 ∵√a-2+|b+1|=0,√a-2≥0,|b+1|≥0,∴a-2=0,b+1=0,∴a=2,b=-1,∴(a+b)2 020=12 020=1.
14. 答案 7
解析 由已知可得x+y=5,又xy=2,
∴3x+3y-4xy=3(x+y)-4xy=15-8=7.
15. 答案 45°
解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠EBA=∠A=30°.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD.
∵∠A=30°,∴∠ABC=180°-30°=150°,
1
∴∠ABD= ∠ABC=75°,∴∠EBD=75°-30°=45°.
2
1
16. 答案
3
1 1
解析 连接OA,OB,根据已知得∠BAO= ∠BAC= ×120°=60°.
2 2
又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=1 m.
120π·AB 2π
∵∠BAC=120°,∴弧BOC的长为 = (m).
180 32π 1
设圆锥的底面圆的半径为r m,根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得2πr= ,∴r= .
3 3
17. 答案 2√5-2
1 1
解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,∠ABC=90°,∴BE= MN,长度也始终保持不变.显然点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值.
2 2
∵∠ABC=90°,MN=4,E为MN的中点,∴BE=2.
∵点D到BA,BC的距离分别为4和2,
∴BD= =2 ,∴DE =BD-BE=2 -2.
√42+22 √5 最小值 √5
三、解答题(一)
18. 解析 原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2 (2分)
=2xy. (4分)
当x=√2,y=√3时,
原式=2×√2×√3=2√6. (6分)
19. 解析 (1)x=120-24-72-18=6. (3分)
24+72
(2) ×1 800=1 440(人).
120
答:该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生大约共有1 440人. (6分)
20. 证明 ∵∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠EFC,BD=CE,
∴△DFB≌△EFC. (3分)
∴FB=FC.∴∠FBC=∠FCB.
∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD,
即∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形. (6分)
四、解答题(二)
{x+ y=4, {x=3,
21. 解析 (1)由 解得
x- y=2, y=1.
{x=3,
把 分别代入ax+2√3y=-10√3和x+by=15,
y=1
解得a=-4√3,b=12. (4分)
(2)该三角形是等腰直角三角形.理由如下:
将a=-4√3,b=12代入方程x2+ax+b=0,得
x2-4√3x+12=0,
解得x=x=2√3.
1 2
∵(2√3)2+(2√3)2=(2√6)2,
∴该三角形是等腰直角三角形. (8分)
22. 解析 (1)证明:过点O作OE⊥CD于E.
∵AD∥BC,∠DAB=90°,
∴∠ABC=90°.又∵CO平分∠BCD,
∴∠1=∠2.
又OC=OC,
∴△BOC≌△EOC.
∴OB=OE.
∴CD为☉O的切线. (4分)
(2)连接OD,OE.由(1)得OE=OB,∴OE=OA.
∵∠OAD=∠OED=90°,OD=OD,
∴△AOD≌△EOD(HL),
1
∴DE=AD=1,∠3=∠4= ∠AOE.
2
1
∴∠APE= ∠AOE=∠3.
2
由(1)知△BOC≌△EOC,∴CE=BC=2.
∴CD=DE+CE=1+2=3.
过点D作DF⊥BC,垂足为F,
∴CF=BC-BF=BC-AD=2-1=1.
在Rt△DFC中,DF= = =2 .
√CD2-CF2 √32-12 √2
1 1
∴OA= AB= DF=√2.
2 2
AD 1 √2
∴tan∠APE=tan∠3= = = . (8分)
OA √2 2
23. 解析 (1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类摊位占地面积为(x-2)平方米,
60 60 3
由题意得 = × . (2分)
x x-2 5
解得x=5,∴x-2=3.
经检验,x=5,x-2=3符合题意.
答:每个A类摊位占地面积为5平方米,每个B类摊位占地面积为3平方米. (4分)
(2)设建造A类摊位a个,则建造B类摊位(90-a)个,总费用为y,则y=5×40a+3×30×(90-a)=110a+8 100. (6分)
45
∵90-a≥3a,∴a≤ .又∵110>0,∴y随a的增大而增大.
2
∴当a=22时,y有最大值,为10 520.
答:最大费用为10 520元. (8分)
五、解答题(三)
24. 解析 (1)2. (2分)
8
详解:∵点B在反比例函数y= (x>0)的图象上,
x
∴可设点B的坐标为( 8),
m,
m
∴OB的中点M的坐标为(m 4).∵点M在反比例函数y=k(x>0)的图象上,∴k=m·4=2.
,
2 m x 2 m(2)∵AB∥OC,B( 8),则D(m 8),
m, ,
m 4 m
m 3 1 3 8
∴BD=m- = m.∴S = · m· =3. (6分)
△BDF
4 4 2 4 m
(3)证明:由(2)知B( 8),D(m 8),则A( 8),E( 2),C(m,0).
m, , 0, m,
m 4 m m m
8 2 6 2
∴BE= - = ,CE= .
m m m m
CF CE m
∵CF∥BD,∴△ECF∽△EBD,∴ = ,∴CF= .
BD BE 4
∵点G与点O关于点C对称,∴CG=OC=AB=m,
m 3
∴FG=CG-CF=m- = m,∴BD=FG.
4 4
又∵BD∥FG,
∴四边形BDFG是平行四边形. (10分)
25. 解析 (1)∵BO=3AO=3,∴A(-1,0),B(3,0).
3+√3 3+√3 3+√3 3+√3
∴y= (x+1)(x-3)= x2- x- .
6 6 3 2
3+√3 3+√3
∴b=- ,c=- .(2分)
3 2
(2)过点D作DE⊥y轴,垂足为E.
∴DE∥OB,∴△OBC∽△EDC,
OB BC
∴ = ,
DE CD
∴DE=√3,即x =-√3.
D
3+√3 3+√3 3+√3
∴y = ×(-√3)2- ×(-√3)- =√3+1.
D
6 3 2
∴D(-√3,√3+1). (4分)
设直线BD的函数解析式为y=kx+m,k≠0,
∵直线过点B(3,0),D(-√3,√3+1),
∴{ 3k+m=0,
-√3k+m=√3+1.
{ √3
k=- ,
解得
3
m=√3.
√3
∴直线BD的函数解析式为y=- x+√3.(6分)
3
(3)满足条件的点Q共有四个:(4√3-3 ),(3-2√3 ),(5-2 ,0),(1-2 ,0). (10分)
,0 ,0 √3 √3
3 3
详解:连接AC,AD.
∵A(-1,0),C(0,√3),E(0,√3+1),D(-√3,√3+1),
∴OA=CE=1,OC=DE=√3,∴△AOC≌△CED,∴AC=CD,∠ACO=∠CDE,∴∠ACD=90°,∴△ACD为等腰直角三角形,∴tan∠ADB=1.
OC √3
易得tan∠ABD= = .
OB 3
∵A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1.则设P(1,n)且n<0.设对称轴与x轴的交点为M,则M(1,0),
√3+1
设Q(x,0)且x<3,过点D作DN⊥x轴于点N,则tan∠DAN= .
√3-1
当点Q位于对称轴左侧时:
①当△PBQ∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD,即 -n=√3,解得n=-2√3,tan∠PQB=tan∠ADB,即 -n =1,解得x=1-2√3,此时点Q的坐标为( 2√3 ),即(3-2√3 );
1- ,0 ,0
2 3 3 1-x 3 3 3
-n
②当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ADB,即 =1,解得n=-2,
2
-n √3
tan∠PQB=tan∠ABD,即 = ,解得x=1-2√3,此时点Q的坐标为(1-2√3,0).
1-x 3
当点Q位于对称轴右侧时:
③当△PQB∽△DAB时,tan∠PBQ=tan∠ABD,即 -n=√3,解得n=-2√3,tan∠PQM=tan∠DAN,即 -n = √3+1 ,解得x=4√3-1,此时点Q的坐标为(4√3 ),即(4√3-3 );
-1,0 ,0
2 3 3 x-1 -1+√3 3 3 3
-n
④当△PQB∽△BAD时,tan∠PBQ=tan∠ADB,即 =1,解得n=-2,
2
-n √3+1
tan∠PQM=tan∠DAN,即 = ,解得x=5-2√3,此时点Q的坐标为(5-2√3,0).
x-1 -1+√3
综上所述,点Q的坐标为(3-2√3 ),(1-2 ,0),(4√3-3 )或(5-2 ,0).
,0 √3 ,0 √3
3 3
