文档内容
2014 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考
试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)
1.-5的相反数是( )
1 1
A.-5 B.5 C. D.-
5 5
2.地球绕太阳公转的速度约是110 000千米/时,将110 000用科学记数法表示为( )
A.11×104 B.1.1×105 C.1.1×104 D.0.11×106
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.三棱柱B.长方体 C.圆柱 D.圆锥
4.下列计算正确的是( )
A.x4·x4=x16 B.(a3)2=a5 C.(ab2)3=ab6 D.a+2a=3a
5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是( )
A.44B.45 C.46 D.47
6.下列命题中,假命题是( )
A.对顶角相等 B.三角形两边的和小于第三边
C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360°
7.若(m-1)2+√n+2=0,则m+n的值是( )
A.-1B.0 C.1 D.2
8.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生
产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的
是( )
600 450 600 450 600 450 600 450
A. = B. = C. = D. =
x+50 x x-50 x x x+50 x x-50
9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
10.k
如图,已知直线 y=-x+2 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,与双曲线 y= 交于 E,F 两点.若
x
AB=2EF,则k的值是( )
1 3
A.-1B.1 C. D.
2 4
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)
11.分解因式:ma+mb= .
12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品
的概率是 .
13.计算:(√2+1)(√2-1)= .
14.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是 .
1
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=
2
BC.若AB=10,则EF的长是 .
三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画
完,再用黑色签字笔描黑)
16.(每小题7分,共14分)
(1)计算: +( 1 ) 0 +|-1|;
√9
2 014
1
(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x= .
317.(每小题7分,共14分)
(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;
(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.
①sin B的值是 ;
②画出△ABC关于直线l对称的△AB C (A与A,B与B ,C与C 相对应),连结AA ,BB ,并计
1 1 1 1 1 1 1 1
算梯形AA B B的面积.
1 1
图1 图2
18.(满分12分)
设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B
级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成
如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了 名学生,a= %;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为 度;
(4)若该校共有2 000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?
19.(满分12分)
现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了
160元.
(1)求A,B两种商品每件各是多少元;
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,且不低于300元,问有几种
购买方案,哪种方案费用最低?20.(满分11分)
如 图 , 在 △ ABC 中 ,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3√2, 点 D 为 BA 延 长 线 上 的 一 点 , 且
∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
21.(满分13分)
如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度
的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
1
(1)当t= 秒时,则OP= ,S = ;
2
△ABP
(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.
图1 图2 备用图
22.(满分14分)
1
如图,抛物线y= (x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为
2
D.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E的
切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.
备用图
答案全解全析：
一、选择题
1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B.
评析 本题考查相反数的定义,属容易题.
2.B 科学记数法的表示形式为a×10n,1≤|a|<10,故110 000=1.1×105,故选B.
评析 本题考查科学记数法的定义,属容易题.
3.D 由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.
评析 本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.
4.D x4·x4=x4+4=x8,A选项错误;(a3)2=a3×2=a6,B选项错误;(ab2)3=a3·b2×3=a3b6,C选项错误;根据合
并同类项法则知,D选项正确,故选D.
40+42+43+45+47+47+58
5.C 这组数据的平均数是 =46,故选C.
7
评析 本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题.6.B 根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B.
{m-1=0, {m=1,
7.A ∵(m-1)2+√n+2=0,∴ ∴
n+2=0, n=-2,
∴m+n=-1,故选A.
8.A 根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列
600 450
出方程 = ,故选A.
x+50 x
评析 本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题.
9.C 由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°.
评析 本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.
10.D 如 图 , 作 ED⊥OB,EC⊥OA,FG⊥OA, 垂 足 分 别 为 D,C,G,ED 交 FG 于 H, 易 得
A(2,0),B(0,2),∴△ACE、△AOB、△EHF都是等腰直角三角形,
又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x,
∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).
又∵点E、F在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=1,∴E(3 1),k=3.
,
2 2 2 4
评析 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题.
二、填空题
11.答案 m(a+b)
解析 ma+mb=m(a+b).
评析 本题考查提公因式法分解因式,属容易题.
1
12.答案
5
解析 5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品
1
的概率是 .
5
评析 本题考查概率,属容易题.
13.答案 1
解析 (√2+1)(√2-1)=(√2)2-12=2-1=1.
评析 本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题.
14.答案 20
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BE=2,
∴BC=AD=6,∴EC=4.
又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.
∴▱ABCD的周长是2×(6+4)=20.
评析 本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题.
15.答案 5
解析 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,1
∴AD=5,AE=EC,DE= BC,∠AED=90°.
2
1
∵CF= BC,∴DE=FC.
2
在Rt△ADE和Rt△EFC中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC,
∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.
评析 本题考查三角形中位线定理,属中等难度题.
三、解答题
16.解析 (1)原式=3+1+1=5.
(2)原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.
1 1
当x= 时,原式=6× +4=6.
3 3
评析 本题考查了实数的运算,属容易题.
17.解析 (1)证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE.
又∵AB=DC,∠B=∠C,
∴△ABF≌△DCE.
∴∠A=∠D.
3
(2)① .
5
②如图所示.由轴对称的性质可得,AA=2,BB =8,梯形AA B B的高是4.
1 1 1 1
1
∴S = (AA +BB )×4=20.
梯形AA 1 B 1 B 2 1 1
评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题.
18.解析 (1)50;24.
(2)如图所示.
综合评定成绩条形统计图
(3)72.
4
(4)该校D级学生约有2 000× =160(名).
50
评析 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项
目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题.
19.解析 (1)设A商品每件x元,B商品每件y元.
{ 2x+ y=90,
依题意,得
3x+2y=160.
{x=20,
解得
y=50.答:A商品每件20元,B商品每件50元.
(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10-a)件.
{20a+50(10-a)≥300,
依题意,得
20a+50(10-a)≤350.
2
解得5≤a≤6 .
3
根据题意知,a的值应为整数,所以a=5或a=6.
方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元;
方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元.
∵350>320,
∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.
答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件.
其中方案二费用最低.
20.解析 (1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.
∴∠AEB=∠AEC=90°.
AE
在Rt△ABE中,∵sin B= ,
AB
√2
∴AE=AB·sin B=3√2·sin 45°=3√2× =3.
2
∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.
∴BE=AE=3.
AE
在Rt△ACE中,∵tan∠ACB= ,
EC
AE 3 3
∴EC= = = =√3.
tan∠ACB tan60° √3
∴BC=BE+EC=3+√3.
(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=√3,
∴AC=2√3.
解法一:连结AO并延长交☉O于M,连结CM.
∵AM为直径,∴∠ACM=90°.
AC
在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M= ,
AM
AC 2√3
∴AM= = =4.
sinM sin60°
∴☉O的半径为2.
1
解法二:连结OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF= AC=√3.
2
∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.
1
∴∠AOF= ∠AOC=60°.
2
AF
在Rt△OAF中,∵sin∠AOF= ,
AO
AF
∴AO= =2,即☉O的半径为2.
sin∠AOF
评析 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题.
3√3
21.解析 (1)1; .
4
(2)①∵∠A<∠BOC=60°,
∴∠A不可能为直角.
②当∠ABP=90°时,
∵∠BOC=60°,
∴∠OPB=30°.
∴OP=2OB,即2t=2.
∴t=1.
③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.
∵OP=2t,
∴OD=t,PD=√3t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).
解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.
∵BP2+AP2=AB2,
∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,
即4t2+t-2=0.
-1+√33 -1-√33
解得t= ,t= (舍去).
1 2
8 8
解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,
∴∠APD=∠B.
又∵∠ADP=∠PDB=90°,
∴△APD∽△PBD,
AD PD
∴ = ,∴PD2=AD·BD.
PD BD
于是(√3t)2=(2+t)(1-t),即4t2+t-2=0.
-1+√33 -1-√33
解得t= ,t= (舍去).
1 2
8 8
-1+√33
综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或 .
8(3)证法一:∵AP=AB,
∴∠APB=∠B.
作OE∥AP,交BP于点E,
∴∠OEB=∠APB=∠B.
∵AQ∥BP,
∴∠QAB+∠B=180°.
又∵∠3+∠OEB=180°,
∴∠3=∠QAB.
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,
已知∠B=∠QOP,
∴∠1=∠2.
∴△QAO∽△OEP.
AQ AO
∴ = ,即AQ·EP=EO·AO.
EO EP
∵OE∥AP,∴△OBE∽△ABP.
OE BE BO 1
∴ = = = .
AP BP BA 3
1 3
∴OE= AP=1,BP= EP.
3 2
3 3 3
∴AQ·BP=AQ· EP= AO·OE= ×2×1=3.
2 2 2
证法二:连结PQ,设AP与OQ相交于点F.
∵AQ∥BP,
∴∠QAP=∠APB.
∵AP=AB,
∴∠APB=∠B.
∴∠QAP=∠B.
又∵∠QOP=∠B,
∴∠QAP=∠QOP.
∵∠QFA=∠PFO,
∴△QFA∽△PFO.
FQ FA FQ FP
∴ = ,即 = .
FP FO FA FO
又∵∠PFQ=∠OFA,
∴△PFQ∽△OFA.
∴∠3=∠1.
∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,
已知∠B=∠QOP,
∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.
∴△APQ∽△BPO.
AQ AP
∴ = .
BO BP
∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3.
22.解析 (1)顶点D的坐标为(3,-1).
1
令y=0,得 (x-3)2-1=0,
2
解得x=3+√2,x=3-√2.
1 2
∵点A在点B的左侧,
∴点A坐标为(3-√2,0),点B坐标为(3+√2,0).
(2)证明:过D作DG⊥y轴,垂足为G,
则G(0,-1),GD=3.
令x=0,则y=7,∴点C坐标为( 7).
0,
2 2
7 9
∴GC= -(-1)= .
2 2
设对称轴交x轴于点M.
∵OE⊥CD,
∴∠GCD+∠COH=90°.
∵∠MOE+∠COH=90°,
∴∠MOE=∠GCD.
又∵∠CGD=∠OME=90°,
∴△DCG∽△EOM.
9
CG DG 3
∴ = ,即2= .
OM EM EM
3
∴EM=2,即点E的坐标为(3,2),∴ED=3.
由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,
∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.
∴△AED是直角三角形,且∠DAE=90°.
设AE交CD于点F.
∴∠ADC+∠AFD=90°.
又∵∠AEO+∠HFE=90°,
∠AFD=∠HFE,
∴∠AEO=∠ADC.
(3)由☉E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2=EP2-1.
要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.
设点P的坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.
1
∵y= (x-3)2-1,
2
∴(x-3)2=2y+2.
∴EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-1)2+5.
当y=1时,EP2取最小值,为5.
1 1
把y=1代入y= (x-3)2-1,得 (x-3)2-1=1,
2 2
解得x=1,x=5.
1 2
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,
∴x=1舍去.
1
∴点P的坐标为(5,1).
此时Q点坐标为(3,1)或(19 13).
,
5 5
评析 本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证明
△ADE为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第(3)
问中,解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题,注意求EP2最小值的具体方法.属难
题.
