福建省2021年初中学业水平考试
7
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1
1.在实数√2, ,0,-1中,最小的数是( )
2
1
A.-1B.0 C. D.√2
2
2.如图所示的六角螺栓,其俯视图是( )
A B C D
3.如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A.2 km B.3 km C.2√3 km D.4 km
4.下列运算正确的是( )
A.2a-a=2B.(a-1)2=a2-1
C.a6÷a3=a2 D.(2a3)2=4a6
5.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛,对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分,具体成绩(百分制)如下表:
作品
甲 乙 丙 丁
项目
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%,实用性占40%计算总成绩,并根据总成绩择优推荐,那么应推荐的作品是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
6.某市2018年年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,2020年年底森林覆盖率达到68%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么,符合题意的方程是( )A.0.63(1+x)=0.68 B.0.63(1+x)2=0.68
C.0.63(1+2x)=0.68 D.0.63(1+2x)2=0.68
7.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,△ABF为等边三角形,则∠AFC等于( )
A.108° B.120° C.126° D.132°
8.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b>0的解集是( )
A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1
9.如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )
3 2 3 4
A. B. C. D.
5 3 4 5
10.二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y ),B(-1,y ),C(2,y ),D(4,y )四个点,下列说法一定正确的是( )
1 2 3 4
A.若yy>0,则yy>0 B.若yy>0,则yy>0
1 2 3 4 1 4 2 3
C.若yy<0,则yy<0 D.若yy<0,则yy<0
2 4 1 3 3 4 1 2
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
k
11.若反比例函数y= 的图象过点(1,1),则k的值等于 .
x
12.写出一个无理数x,使得1<x<4,则x可以是 .(只要写出一个满足条件的x即可)
13.某校共有1 000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况,随机抽取100名学生的中长跑成绩,画出条形统计图,如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 .14.如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=√3,则点D到AC的距离是 .
x x- y+3xy
15.已知非零实数x,y满足y= ,则 的值等于 .
x+1 xy
16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点,点E不与A,B重合,且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论:
①∠GEB与∠GFB一定互补;
②点G到边AB,BC的距离一定相等;
③点G到边AD,DC的距离可能相等;
④点G到边AB的距离的最大值为2√2.
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)
计算: +| -3|-(1) -1 .
√12 √3
3
18.(8分)
如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.19.(8分)
{
x≥3-2x,①
解不等式组: x-1 x-3
- <1.②
2 6
20.(8分)
某公司经营某种农产品,零售一箱该农产品的利润是70元,批发一箱该农产品的利润是40元.
(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元,问:该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少?
(2)经营性质规定,该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1 000箱这种农产品,问:应如何规划零售和批发的数量,才能使总利润最大?最大总利润是多少?21.(8分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的,点F在边BC上,△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在AC的延长线上.
(1)求证:∠ADE=∠DFC;
(2)求证:CD=BF.
22.(10分)
如图,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.
(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设P,Q分别为(1)中四边形ABCD的边AB,CD的中点,求证:直线AD,BC,PQ相交于同一点.
23.(10分)
“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马A,B ,C ,田忌也有上、中、下三匹马A,B ,C ,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下:A >A >B >B >C >C (注:A>B表示A马
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
与B马比赛,A马获胜).一天,齐王找田忌赛马,约定:每匹马都出场比赛一局,共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势,田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略:分别用下马、上马、
中马与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对阵(C A,A B ,B C )获得了整场比赛的胜利,创造了以弱胜强的经典案例.
2 1 2 1 2 1
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题:
(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率;
(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况,他是否必败无疑?若是,请说明理由;若不是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.24.(12分)
如图,在正方形ABCD中,E,F为边AB上的两个三等分点,点A关于DE的对称点为A',AA'的延长线交BC于点G.
(1)求证:DE∥A'F;
(2)求∠GA'B的大小;
(3)求证:A'C=2A'B.
25.(14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点.
(1)若抛物线过点P(0,1),求a+b的最小值;
(2)已知点P(-2,1),P (2,-1),P (2,1)中恰有两点在抛物线上.
1 2 3
①求抛物线的解析式;
②设直线l:y=kx+1与抛物线交于M,N两点,点A在直线y=-1上,且∠MAN=90°,过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B,C.
求证:△MAB与△MBC的面积相等.7 福建省2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A D D B B C C D C
1
1.A ∵-1<0< <√2,∴-1最小.故选A.
2
2.A 从上往下看到的平面图形是该几何体的俯视图,根据几何体的特征及位置可知俯视图为选项A中的图形.故选A.
3.D ∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°.
又∵AC=2 km,∴AB=2AC=2×2=4 km.故选D.
4.D A.2a-a=a;B.(a-1)2=a2-2a+1;
C.a6÷a3=a6-3=a3;D.(2a3)2=22·(a3)2=4a6.
故选D.
5.B 依题意,可得甲的成绩为90×60%+90×40%=90(分);乙的成绩为95×60%+90×40%=93(分);丙的成绩为90×60%+95×40%=92(分);丁的成绩为90×60%+85×40%=88(分).故推荐的作品是乙.故选B.
6.B ∵2018年年底森林覆盖率为63%,年平均增长率为x,∴2019年年底森林覆盖率为0.63(1+x),∴2020年年底森林覆盖率为0.63(1+x)2,∴0.63(1+x)2=0.68.故选B.
7.C ∵△ABF为等边三角形,
∴AB=AF=BF,∠AFB=∠ABF=60°.
又∵五边形ABCDE是正五边形,
(5-2)×180°
∴BC=AB=BF,∠ABC= =108°.
5
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=108°-60°=48°,
180°-∠FBC 180°-48°
∴∠BFC= = =66°,
2 2
∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=60°+66°=126°.故选C.
8.C 将y=kx+b的图象向右平移1个单位,得y=k(x-1)+b的图象,∵y=kx+b的图象过点(-1,0),
∴y=k(x-1)+b的图象过点(0,0),
∴不等式k(x-1)+b>0的解集是x>0.故选C.
9.D 连接OC,OD.∵PC,PD与☉O相切,
∴OC⊥PC,OD⊥PD.
∵OP=OP,OC=OD,
∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL),
∴∠POC=∠POD.
1 1
∵∠PAC= ∠POC,∠PAD= ∠POD,
2 2
∴∠PAC=∠PAD,∴∠CAD=2∠PAC=∠POC.
1 1
∵AB=6,∴OC= AB= ×6=3.
2 2
在Rt△POC中,由勾股定理得OP= = =5,
√OC2+PC2 √32+42
PC 4
∴sin∠CAD=sin∠POC= = .故选D.
OP 5
10.C ∵y=ax2-2ax+c,
-2a
∴图象的对称轴为直线x=- =1.
2a
∵a>0,∴抛物线开口向上.
∵点A(-3,y )到直线x=1的距离为4,
1
点B(-1,y )到直线x=1的距离为2,
2
点C(2,y )到直线x=1的距离为1,
3
点D(4,y )到直线x=1的距离为3,∴y <y<y<y.
4 3 2 4 1
A.若yy>0,则y>0,y>0或y<0,y<0.
1 2 1 2 1 2
当y>0,y>0时,y>0,但y 符号不确定,故A错误.
1 2 4 3
B.若yy>0,则y>0,y>0或y<0,y<0.
1 4 1 4 1 4
当y>0,y>0时,y,y 符号不确定,故B错误.
1 4 2 3
C.若yy<0,则y<0,y>0,
2 4 2 4
∴y<0,y>0,∴y y<0,故C正确.
3 1 1 3
D.若yy<0,则y<0,y>0,
3 4 3 4
∴y>0,但y 符号不确定,故D错误.故选C.
1 2
二、填空题
11.答案 1
k
解析 ∵反比例函数y= 的图象经过点(1,1),
x
∴k=xy=1×1=1.
12.答案 答案不唯一(如√2,π,1.010 010 001…等)
解析 ∵1<x<4,x为无理数,∴x的值有无数个.故答案不唯一,如√2,π,1.010 010 001…等.
13.答案 270
27
解析 1 000× =270(人).故答案为270.
100
14.答案 √3
解析 过D点作DE⊥AC于E点.∵AD是△ABC的角平分线,DB⊥AB,
∴DE=BD=√3,即点D到AC的距离是√3.
15.答案 4
x
解析 ∵y= ,∴xy+y=x,即x-y=xy,
x+1
x- y+3xy xy+3xy 4xy
∴ = = =4.
xy xy xy
16.答案 ①②④
解析 ①∵四边形BEGF的内角和为360°,
∴∠GEB+∠GFB+∠B+∠EGF=360°.
又∵∠B=90°,∠EGF=90°,∴∠GEB+∠GFB=180°,
即∠GEB与∠GFB一定互补,故①正确.
②过G点作GM⊥AB于M点,作GN⊥BC于N点,
则可得∠MGN=90°.
∵∠EGF=90°,∴∠MGE=∠NGF.
又∵∠GME=∠GNF=90°,GE=GF,
∴△GEM≌△GFN(AAS),∴GM=GN,
即点G到边AB,BC的距离一定相等,故②正确.
③由②知GM=GN,故点G在∠ABC的平分线上.
∵四边形ABCD是邻边不等的矩形,∴直线BG不过点D,
即DG不平分∠ADC,
∴点G到AD,CD的距离不相等,故③错误.
④∵GM≤EG,
∴当GE⊥AB时,GM取得最大值,即GM=EG.
∵GE=GF且∠EGF=90°,EF=AB=4,
√2 √2
∴EG= EF= ×4=2√2,故④正确.
2 2
故正确的是①②④.
三、解答题
17.解析 本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、有理数负指数幂等基础知识,考查运算能力.
原式=2√3+(3-√3)-3=2√3+3-√3-3=√3.
18.证明 本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观.
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠DEC=∠DFB=90°.
{
DE=DF,
在△DEC和△DFB中, ∠DEC=∠DFB,
CE=BF,
∴△DEC≌△DFB,∴∠B=∠C.19.解析 本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识,考查运算能力.
解不等式①,得x≥1.
解不等式②,得x<3.
所以原不等式组的解集是1≤x<3.
20.解析 本小题考查列方程(组)解应用题、二元一次方程组的解法、一次函数的性质等基础知识,考查运算能力、应用意识,考查函数与方程思想.
(1)设该公司当月零售农产品x箱,批发农产品y箱.
{70x+40 y=4 600, {x=20,
依题意,得 解得
x+ y=100, y=80.
所以该公司当月零售农产品20箱,批发农产品80箱.
(2)设该公司零售农产品m箱,获得总利润w元,
则批发农产品的数量为(1 000-m)箱,
依题意,得w=70m+40(1 000-m)=30m+40 000,m≤300.
因为30>0,所以w随着m的增大而增大,
所以当m=300时,w取得最大值49 000,此时1 000-m=700.
所以该公司应零售农产品300箱,批发农产品700箱才能使总利润最大,最大总利润是49 000元.
21.证明 本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°,
∴∠ADE+∠ADF=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°,
∴∠ADE=∠DFC.
(2)连接AE.
由平移的性质得AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAD=∠ACB=90°.
又∠DCF=180°-∠ACB=90°,
∴∠EAD=∠DCF.
∵△EDF是等腰直角三角形,
∴DE=DF.
由(1)得∠ADE=∠DFC,
∴△AED≌△CDF,
∴AE=CD,∴CD=BF.
22.解析 本小题考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
(1)
四边形ABCD是所求作的四边形.
(2)证明:设直线BC与AD相交于点S.
∵DC∥AB,∴△SBA∽△SCD,
SA AB
∴ = .
SD DCS'A PA
设直线PQ与AD相交于点S',同理 = .
S'D QD
∵P,Q分别为AB,CD的中点,
1 1
∴PA= AB,QD= DC,
2 2
PA AB S'A SA
∴ = ,∴ = ,
QD DC S'D SD
S'D+AD SD+AD AD AD
即 = ,∴ = ,
S'D SD S'D SD
∴S'D=SD,故点S与S'重合,即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点.
23.解析 本小题考查简单随机事件的概率等基础知识,考查推理能力、应用意识,考查统计与概率思想.
(1)田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.
此时,比赛的所有可能对阵为(C A,A B ,B C ),(C A,B C ,A B ),(C A,B B ,A C ),(C A,A C ,B B ),共四种,
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
其中田忌获胜的对阵有(C A,A B ,B C ),(C A,B C ,A B ),共两种,故此时田忌获胜的概率P= .
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
2
(2)不是.
齐王的“出马”顺序为A,B ,C 时,田忌获胜的对阵是(C A,A B ,B C );
1 1 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为A,C ,B 时,田忌获胜的对阵是(C A,B C ,A B );
1 1 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为B ,A ,C 时,田忌获胜的对阵是(A B ,C A,B C );
1 1 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为B ,C ,A 时,田忌获胜的对阵是(A B ,B C ,C A);
1 1 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为C ,A ,B 时,田忌获胜的对阵是(B C ,C A,A B );
1 1 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为C ,B ,A 时,田忌获胜的对阵是(B C ,A B ,C A).
1 1 1 2 1 2 1 2 1
综上所述,田忌获胜的所有对阵是(C A,A B ,B C ),(C A,B C ,A B ),(A B ,C A,B C ),(A B ,B C ,C A),(B C ,C A,A B ),(B C ,A B ,C A).
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
齐王的“出马”顺序为A,B ,C 时,比赛的所有可能对阵是(A A,B B ,C C ),(A A,C B ,B C ),(B A,A B ,C C ),(B A,C B ,A C ),(C A,A B ,B C ),(C A,B B ,A C ),共6种,同理,齐王的其他各种“出马”顺序,也都分别有相应的6种可能
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
6 1
对阵,所以,此时田忌获胜的概率P= = .
2
36 6
24.解析 本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识,
考查推理能力、运算能力,考查空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
(1)证明:设直线DE与AA'相交于点T.
∵点A与A'关于直线DE对称,
∴DE垂直平分AA',即DE⊥AA',AT=TA'.
∵E,F为AB边上的两个三等分点,∴AE=EF,
∴ET是△AA'F的中位线,∴ET∥A'F,即DE∥A'F.
(2)连接FG,∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠ABG=90°,∠DAT+∠BAG=90°.
∵DE⊥AA',∴∠DTA=90°,
∴∠ADT+∠DAT=90°,∴∠ADT=∠BAG.
∴△DAE≌△ABG,
∴AE=BG,又AE=EF=FB,∴FB=BG,
∴△FBG是等腰直角三角形,∴∠GFB=45°.∵DE∥A'F,∴A'F⊥AA',∴∠FA'G=90°.
取FG的中点O,连接OA',OB.
在Rt△A'FG和Rt△BFG中,
1 1
OA'=OF=OG= FG,OB=OF=OG= FG,
2 2
∴OA'=OF=OG=OB,
∴点A',F,B,G都在以FG为直径的☉O上,
∴∠GA'B=∠GFB=45°.
(3)证明:设AB=3a(a>0),则AD=BC=3a,AF=2a,AE=BF=a.
由(2)得BG=AE=a,
BG a 1 1
∴tan∠BAG= = = ,即tan∠A'AF= ,
AB 3a 3 3
A'F 1
∴ = .
AA' 3
设A'F=k(k>0),则AA'=3k,在Rt△A'AF中,由勾股定理,得AF= = k,
√AA'2+A'F2 √10
√10a √10a
∴√10k=2a,则k= ,故A'F= .
5 5
在Rt△ABG中,由勾股定理,得AG= = a.
√AB2+BG2 √10
3√10a
又AA'=3k= ,
5
3√10a 2√10a
∴A'G=AG-AA'=√10a- = ,
5 5
√10a
A'F 5 1
∴ = = .
A'G 2√10a 2
5
∵CG=BC-GB=2a,
BF a 1 A'F BF 1
∴ = = ,∴ = = .
CG 2a 2 A'G CG 2
由(2)知,∠A'FB+∠A'GB=180°,
又∵∠A'GC+∠A'GB=180°,
∴∠A'FB=∠A'GC,
∴△A'FB∽△A'GC,
A'B BF 1
∴ = = ,∴A'C=2A'B.
A'C CG 2
25.解析 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想,数形结合思想及化归与转化思想.
因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点,
所以方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以Δ=b2-4ac=0,即b2=4ac.(1)因为抛物线过点P(0,1),所以c=1,
b2
所以b2=4a,即a= .
4
b2 1
所以a+b= +b= (b+2)2-1,
4 4
当b=-2时,a+b取到最小值-1.
(2)①因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点,
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.
又点P(-2,1),P (2,-1),P (2,1)中恰有两点在抛物线上,
1 2 3
所以只能是P(-2,1),P (2,1)在抛物线上.
1 3
由对称性可得抛物线的对称轴为直线x=0,所以b=0,
即ac=0,因为a≠0,所以c=0.
1
又点P(-2,1)在抛物线上,所以4a=1,即a= ,
1
4
1
故抛物线的解析式为y= x2.
4
②证明:由题意设M(x ,y),N(x ,y),A(x ,-1),则y=kx+1,y=kx+1.
1 1 2 2 0 1 1 2 2
记直线y=-1为m,分别过M,N作ME⊥m,NF⊥m,垂足分别为E,F,则∠MEA=∠AFN=90°.
因为∠MAN=90°,所以∠MAE+∠NAF=90°.又∠MAE+∠EMA=90°,所以∠EMA=∠NAF,所以△AME∽△NAF.
所以AE=ME,所以 x
0
-x
1
= y
1
+1 ,
NF AF y +1 x -x
2 2 0
即(y+1)(y +1)+(x -x)(x-x)=0.
1 2 1 0 2 0
所以(kx+2)(kx +2)+(x -x)(x-x)=0,
1 2 1 0 2 0
即(k2+1)x
1
x
2
+(2k-x
0
)(x
1
+x
2
)+
x2
+4=0.①
0
1
把y=kx+1代入y= x2,得x2-4kx-4=0,
4
解得x=2k-2 ,x=2k+2 ,
1 √k2+1 2 √k2+1
所以x+x=4k,xx=-4.②
1 2 1 2
将②代入①,得-4(k2+1)+4k(2k-x )+ +4=0,
0 x2
0
即(x-2k)2=0,解得x=2k,即A(2k,-1).
0 0
所以过点A且与x轴垂直的直线为x=2k,
1
将x=2k代入y= x2,得y=k2,即B(2k,k2),
4
将x=2k代入y=kx+1,得y=2k2+1,
即C(2k,2k2+1),
所以AB=k2+1,BC=k2+1,因此AB=BC,
所以△MAB与△MBC的面积相等.
