年初中毕业、高中招生考试
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.3的倒数是( )
1 1
A.-3B.3 C.- D.
3 3
2.2021年农历辛丑牛年,习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、
创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神,某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,下面的剪
纸作品是轴对称图形的是( )
A B C D
3.下列运算正确的是( )
A. + =3 B.4 - =4
√3 √3 √5 √5
C. × = D. ÷ =4
√3 √2 √6 √32 √8
4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示,截至2021年3月底,我国已无偿
向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂,
约占全球产能的一半,必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为(
)
A.5×108 B.5×109 C.5×1010 D.50×108
5.将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为( )
A.y=5x-2B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2)
6.如图,直线DE∥BF,Rt△ABC的顶点B在BF上,若∠CBF=20°,则∠ADE=( )
A.70° B.60° C.75° D.80°
7.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED=( )A.48° B.24° C.22° D.21°
8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九
人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;
如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有x人,y辆车,则可列方程
组为( )
{3(y-2)=x {3(y+2)=x
A. B.
2y-9=x 2y+9=x
{3(y-2)=x {3(y-2)=x
C. D.
2y+9=x 2y+x=9
a b a+b
9.对于任意的有理数a,b,如果满足 + = ,那么我们称这一对数a,b为“相随数对”,记
2 3 2+3
为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n-1)]=( )
A.-2B.-1C.2 D.3
10.如图1,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发,沿折线AB→BC
方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMD的面积为y,y与x的函数图象如
图2,则AC的长为( )
A.3 B.6 C.8 D.9
二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.
11.因式分解:4m-2m2= .
1 1
12.关于x的不等式 x-1> 的解集是 .
3 2
13.关于x的方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 .
14.开学前,根据学校防疫要求,小芸同学连续14天进行了体温测量,结果统计如下表:
体温(℃) 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8
天数(天) 2 3 3 4 1 1
这14天中,小芸体温的众数是 ℃.
15.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点,EF=4
cm,则BE= cm.a2+1
16.若点A(-3,y ),B(-4,y )在反比例函数y= 的图象上,则y y.(填“>”或“<”或
1 2 x 1 2
“=”)
17.如图,从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为
dm2.
18.一组按规律排列的代数式:a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b7,……,则第n个式子是 .
三、解答题:本大题共5小题,共26分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
(1) -1
19.(4分)计算:(2 021-π)0+ -2cos 45°.
2
( 2x ) x2-4
20.(4分)先化简,再求值: 2- ÷ ,其中x=4.
x-2 x2-4x+4
21.(6分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关
圆的一个引理.如图,已知 AB,C是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过
⏜
程.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作线段AC的垂直平分线DE,分别交AB于点D,AC于点E,连接AD,CD;
⏜
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交AB于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.
⏜
(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.22.(6分)图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”,始建于明嘉靖十四年(1535年),是明代平凉韩
王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与崆峒山的凌空塔遥相呼应,被誉为平凉古塔
“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:
方案设计:如图2,宝塔CD垂直于地面,在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度
数(A,D,B在同一条直线上).
数据收集:通过实地测量:地面上A,B两点的距离为58 m,∠CAD=42°,∠CBD=58°.
问题解决:求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).
参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,
sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60.
根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
图1
图2
23.(6分)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他
完全相同,每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大
量重复试验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.
(1)请你估计箱子里白色小球的个数;
(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出
的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).四、解答题:本大题共5小题,共40分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24.(7分)为庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了以“学习百年党史,汇聚团结伟力”为
主题的知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分成A,B,C,D,E五个
等级,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩,频数分布直方图中m= ;
(2)补全学生成绩频数分布直方图;
(3)所抽取学生成绩的中位数落在 等级;
(4)若成绩在80分及以上为优秀,全校共有2 000名学生,估计成绩优秀的学生有多少名?
学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图
等级 成绩x
A 50≤x<60
B 60≤x<70
C 70≤x<80
D 80≤x<90
E 90≤x≤100
25.(7分)如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,
到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距
离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示.
(1)小刚家与学校的距离为 m,小刚骑自行车的速度为 m/min;
(2)求小刚从图书馆返回家的过程中,y与x的函数表达式;
(3)小刚出发35 min时,他离家有多远?
图1
图226.(8分)如图,△ABC内接于☉O,D是☉O的直径AB的延长线上一点,∠DCB=∠OAC.过圆心
O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若CD=4,CE=6,求☉O的半径及tan∠OCB的值.
27.(8分)
问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点
G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.1
28.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点,直
2
线BC:y=-2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂
足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
1
(1)求抛物线y= x2+bx+c的表达式;
2
1
(2)当GF= 时,连接BD,求△BDF的面积;
2
(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值.
33 武威市2021年初中毕业、高中招生考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C B A A D C A B
1
1.D 乘积为1的两个数互为倒数.所以3的倒数为 .
3
2.B 存在一条直线,当B中图案沿这条直线折叠时,能使折痕两侧完全重合,所以这个图案为
轴对称图形.不存在这样一条直线,当A、C、D中图案沿它折叠时,使折痕两侧完全重合,所以
A、C、D中图案不是轴对称图形.
3.C √3+√3=2√3,故A错误.4√5-√5=3√5,故B错误.√3×√2=√6,故C正确.√32÷√8=√4=2,
故D错误.
4.B ∵1亿=1×108,∴50亿=50×108=5×10×108=5×109.
5.A 直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为y=5x-2.故选A.
6.A ∵DE∥BF,∴∠ADE=∠ABF,
∵∠ABC=90°,∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°,
∴∠ADE=70°.
7.D 连接OC,OD.
∴ A A B B ==C C D D ,∵,∴∠AOB=∠COD,
⏜ ⏜
1 1 1
∴∠CED= ∠COD= ∠AOB= ×42°=21°.
2 2 28.C 如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车,即有(y-2)辆车每车坐3人,所以共3(y-2)人.
如果每2人坐一辆车,那么有9人步行,即有y辆车每车坐2人,此外,还有9人步行,所以共
{3(y-2)=x,
(2y+9)人.则 故选C.
2y+9=x.
m n m+n
9.A 由“相随数对”定义可得 + = .
2 3 2+3
m n 3m+2n m+n 3m+2n
又∵ + = ,∴ = ,
2 3 6 2+3 6
整理得9m+4n=0,∴3m+2[3m+(2n-1)]=9m+4n-2=-2.
10.B 由题图2得点M运动的总路程为2√13,
∴AB+BC=2√13,
又∵AB=BC,∴AB=√13.
由题图2得△AMD的面积的最大值为3,
又∵当点M运动到点B时,△AMD的面积最大,
1 6
∴y = AD·BD=3,∴BD= .
最大 2 AD
在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
( 6 ) 2
∴AD2+ =13,∴(AD2)2-13AD2+36=0,
AD
解得AD2=4或AD2=9,∴AD=2或3,
6 6
当AD=2时,BD= =3(舍去);当AD=3时,BD= =2.
AD AD
∵AB=BC,BD⊥AC,∴D为AC中点,∴AC=2AD=6.
二、填空题
11.答案 2m(2-m)
解析 4m-2m2=2m·2-2m·m=2m(2-m).
9
12.答案 x>
2
1 1 1 3 9
解析 x-1> .移项,得 x> .系数化为1,得x> .
3 2 3 2 2
13.答案 1
解析 一元二次方程有两个相等的实数根,则Δ=0,
即(-2)2-4k=0,解得k=1.
14.答案 36.6
解析 14天中,出现次数最多的是36.6℃,为4天,所以小芸体温的众数为36.6 ℃.
15.答案 6
解析 ∵∠AED=90°,F为AD中点,
1
∴EF= AD,∴AD=2EF=8 cm.
2
在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=30°,
1
∴∠ADE=90°-∠DAE=60°,DE= AD=4 cm.
2
在矩形ABCD中,∠ADC=90°,∠C=90°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°.1
∴在Rt△CDE中,CE= DE=2 cm.
2
∵BC=AD=8 cm,CE=2 cm,
∴BE=BC-CE=6 cm.
16.答案 <
解析 ∵a2+1>0,
a2+1
∴在y= 图象的每个分支上y随x的增大而减小.
x
而点A(-3,y ),B(-4,y )在同一支上,且-3>-4,∴y <y.
1 2 1 2
17.答案 2π
解析 如图,连接AB.
∵∠C=90°,∴AB为圆形铁皮的直径,∴AB=4 dm.
∵阴影部分为扇形,∴AC=BC.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴2AC2=42,∴AC2=8,
90° 1
∴S =π·AC2× =8π× =2π (dm2).
扇 360° 4
18.答案 an+(-1)n+1·2b2n-1(或n为奇数时, an+2b2n-1;n为偶数时,an-2b2n-1)
解析 观察式子可得:每个式子的第一项中a的次数是式子的序号;第二项中b的次数是序号
的2倍减1,当n为奇数时,第二项中b的系数为+2;当n为偶数时,第二项中b的系数为-2,∴第
n个式子是an+(-1)n+1·2b2n-1.
三、解答题
√2
19.解析 原式=1+2-2× (3分)
2
=3-√2.(4分)
(2x-4 2x ) (x-2)2
20.解析 原式= - × (2分)
x-2 x-2 (x+2)(x-2)
-4 x-2 4
= × =- .(3分)
x-2 x+2 x+2
4 2
当x=4时,原式=- =- .(4分)
4+2 3
21.解析 (1)
作出线段AC的垂直平分线DE,连接AD,CD.(3分)
以D为圆心,DA长为半径作弧,交AB于点F,连接DF,BD,BF.(5分)
⏜
(2)BC=BF.(6分)
详解:∵四边形ABFD为圆内接四边形,
∴∠DAB+∠DFB=180°.∵DE垂直平分线段AC,∴AD=CD,
∴∠DAB=∠DCA,∴∠DCA+∠DFB=180°.
又∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB.
∴ A A D D ==F F D D ,∵,∴∠ABD=∠DBF.
⏜ ⏜
又∵BD=BD,∴△BCD≌△BFD(AAS),∴BC=BF.
22.解析 设CD=x m,(1分)
CD x x
在Rt△ACD中,AD= = ≈ ,(2分)
tan∠CAD tan42° 0.9
CD x x
在Rt△CBD中,BD= = ≈ ,(3分)
tan∠CBD tan58° 1.6
x x
∴ AD+B+D=AB=,5∵8.解得x≈33.4.(5分)
0.9 1.6
答:宝塔的高度约为33.4 m.(注:CD≈33.5也得分)(6分)
23.解析 (1)∵通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右,
∴估计摸到红球的概率为0.75,
3
设白球有x个,依题意得 =0.75,(1分)
3+x
解得x=1,即箱子里可能有1个白球.(2分)
(2)列表如下:
第一
次 红 红 红 白
1 2 3
第二次
(红 ,红 (红 ,红 (红 ,红
红 1 1 1 (红 ,白)
1 ) ) ) 1
1 2 3
(红 ,红 (红 ,红 (红 ,红
红 2 2 2 (红 ,白)
2 ) ) ) 2
1 2 3
(红 ,红 (红 ,红 (红 ,红
红 3 3 3 (红 ,白)
3 ) ) ) 3
1 2 3
白 (白,红 ) (白,红 ) (白,红 ) (白,白)
1 2 3
或画树状图如下:
(4分)
∵一共有16种等可能的结果,两次摸出的小球颜色恰好不同的有(红 ,白)、(红 ,白)、(红 ,白)、
1 2 3
(白,红 )、(白,红 )、(白,红 ),共6种,(5分)
1 2 3
6 3
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率为 = .(6分)
16 8
四、解答题
24.解析 (1)200;16.(2分)
详解:∵B等级的学生有40名,占20%,
40
∴共抽取了 =200名学生的成绩.
20%
∵A等级的学生占8%,
∴A等级的学生有200×8%=16(名).
(2)如图所示:(4分)
学生成绩频数分布直方图(3)C.(6分)
详解:∵共有200名学生的成绩,∴中位数为第100名和第101名学生的成绩的平均数.
∵16+40<100,16+40+50>101,
∴第100名和第101名学生的成绩落在70~80分之间,即落在C等级.
70+24
(4)根据题意,得2 000× =940(名).
200
答:全校2 000名学生中,估计成绩优秀的学生有940名.(7分)
25.解析 (1)3 000;200.(2分)
详解:小刚从学校出发时x=0,此时小刚离家y=3 000 m,
∴学校离家3 000 m.
∵小刚从学校到图书馆骑行5 000-3 000=2 000 (m),用时10 min,
2 000
∴骑行的速度为 =200 (m/min).
10
(2)小刚从图书馆返回家的时间为5 000÷200=25 (min),
总时间为25+20=45 (min).(3分)
设返回时y与x的函数表达式为y=kx+b,
把(20,5 000),(45,0)代入,
{20k+b=5 000, { k=-200,
得 解得 (4分)
45k+b=0, b=9 000.
∴y=-200x+9 000(20≤x≤45).(5分)
(注:自变量范围不写不扣分)
(3)小刚出发35 min,即当x=35时,
y=-200×35+9 000=2 000.(6分)
答:此时他离家2 000 m.(7分)
26.解析 (1)证明:∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵∠DCB=∠OAC,∴∠OCA=∠DCB.(1分)
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
∴∠DCB+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,
∴OC⊥DC.(2分)
又∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.(3分)
BD CD
(2)∵BC∥OE,∴ = ,
OB CE
BD 4 2
即 = = .(4分)
OB 6 3
∴设BD=2x,则OC=OB=3x,OD=OB+BD=5x.
∵OC⊥DC,∴OC2+CD2=OD2.(5分)
∴(3x)2+42=(5x)2,解得x=1.
∴OC=3x=3,即☉O的半径为3.(6分)
∵BC∥OE,∴∠OCB=∠EOC,
EC 6
在Rt△OCE中,tan∠EOC= = =2.
OC 3
∴tan∠OCB=tan∠EOC=2.(8分)
27.解析 问题解决:
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DAB=90°.
∴∠BAF+∠GAD=90°.∵DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90°.
∴∠BAF=∠ADG.(1分)
又∵AF=DE,∴△ABF≌△DAE,
∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.(2分)
(2)△AHF是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AD,∠ABH=∠DAE=90°,BH=AE,
∴△ABH≌△DAE,∴AH=DE.(4分)
又∵DE=AF,∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形.(5分)
类比迁移:
如图,延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠BAD.
∵BH=AE,∴△ABH≌△DAE.(6分)
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°.
又∵DE=AF,∴AH=AF.
∵∠AHB=60°,∴△AHF是等边三角形,(7分)
∴AH=HF,∴DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8.(8分)
1
28.解析 (1)∵抛物线y= x2+bx+c过A(0,-2),B(4,0)两点,
2
{ 3
{ c=-2, b=- ,
∴ 解得 2 (1分)
8+4b+c=0,
c=-2,
1 3
∴y= x2- x-2.(2分)
2 2
(2)∴ BO(B4=,04).,同∵理,OA=2.
又∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,
∴在Rt△BOA和Rt△BGF中,
1
OA GF 2
tan∠ABO= = ,即 = 2 ,(3分)
OB GB 4
GB
∴GB=1,∴OG=OB-GB=4-1=3.(4分)
1 3
当x=3时,y = ×9- ×3-2=-2,
D 2 2
∴D(3,-2),即GD=2.(5分)
1 3
∴FD=GD-GF=2- = ,
2 2
1 1 3 3
∴S = FD·BG= × ×1= .(6分)
△BDF 2 2 2 4
(3)①如图1,图1
∵四边形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,∴∠HEF=∠BFE,
过H作HM⊥EF于点M,∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB,∴MH=GB,EM=FG.
1
∴ HOMG==GOBG=,∵OB=2.(7分)
2
∴x =x =2,
E F
1
由直线AB过点A(0,-2)和点B(4,0),得直线AB:y= x-2.
2
又∵E在直线BC上,F在直线AB上,
∴y =-2×2+8=4,
E
1
y = ×2-2=-1,
F 2
∴E(2,4),F(2,-1),∴FG=1.
由EM=FG得4-y =1,解得y =3,∴H(0,3).(8分)
H H
②如图2,
图2
在Rt△BOH中,∠BOH=90°,
∴BH=√OH2+OB2=√32+42=5,
∵C为y=-2x+8的图象与y轴的交点,∴C(0,8).
∵PH=PC+2,
∴C =PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7.
△PHB
要使C 最小,只要PC+PB的值最小.
△PHB
∵PC+PB≥BC,∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小.
在Rt△OBC中,BC=√OC2+OB2=√82+42=4√5,
∴△PHB的周长最小值为4√5+7.(10分)
