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2020年甘肃省兰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小原给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（4分） 的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
2．（4分）如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶
段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．
将31720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3172×108 B．3.172×108 C．3.172×107 D．3.172×109
4．（4分）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°5．（4分）化简：a（a﹣2）+4a＝（ ）
A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2
6．（4分）如图，AB是 O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（ ）
⊙
A．40° B．60° C．70° D．80°
7．（4分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
8．（4分）若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝﹣2 C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝﹣2
9．（4分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这
样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘
坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有 x辆车，y人，则可列方
程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，
∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
11．（4分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，若y ＜y ＜
1 1 2 2 1 2
0，则下列结论正确的是（ ）A．x ＜x ＜0 B．x ＜x ＜0 C．0＜x ＜x D．0＜x ＜x
1 2 2 1 1 2 2 1
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交
BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，
作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝ ．
14．（4分）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝
．
15．（4分）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝
6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝ ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB
的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝
．三、解答题（本大题共12小题，共86分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（5分）计算： × ﹣（ +1）2．
18．（5分）解不等式组： ．
19．（5分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝﹣ ．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD
＝CE．
21．（6分）某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研
学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：
A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；
B：陇南市两当兵变纪念馆；
C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；
D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．
小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法
求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例
函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分
别交于点C，D，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．23．（7分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为
半径作 O．
（1）求⊙证：AB是 O的切线；
（2）若OC＝2，求⊙OA的长．
24．（7分）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育，
某校八年级（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间
调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：
信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数；
信息二：
信息三：
近一周家务劳动时间分布表
时间/小时 t≤1 1＜t≤2 2＜t≤3 3＜t≤4 t＞4人数/人 5 8 12 7 3
信息四：
劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数
时间/小时
t≤1 4 1 0 0 0
1＜t≤2 0 6 1 1 0
2＜t≤3 0 0 9 3 0
3＜t≤4 0 1 1 3 2
t＞4 0 0 0 1 2
根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接从信息二的统计图中“读”出八年级（1）班劳动能力量化成绩的平均分为
分；
（2）请你判断下列说法合理吗？（请在横线上填写“合理”或“不合理”）
规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级（1）班超过半数的学生达到了合
①格要求： ．
班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学
②生进行表彰奖励，恰有3人获奖： ．
小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在 2＜t≤3
③的时间段： ．
（3）结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样
的关系？
25．（7分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校
决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无
需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称 红外线体温检测仪安装示意图
技术参数 探测最大角：∠OBC＝73.14°
探测最小角：∠OAC＝30.97°
安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上
根据以上内容，解决问题：
学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（ 结 果 精 确 到 0.1m ， 参 考 数 据 ： sin73.14°≈ 0.957 ， cos73.14°≈ 0.290 ，
tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）
26．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，
线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作
FC⊥AB于点G．设A、E两点间的距离为xcm，F，G两点间的距离为ycm．
小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小军的探究过程，请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别
得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.68 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00
y/cm 0 0.94 1.91 2.49 2.84 3.00 2.84 2.60 2.00 1.50 0.90 0.68请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2），描出表中各组数值所对应的点
（x，y），并画出y关于x的图象；
（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？ ；
（4）解决问题：当AE+FG＝2时，FG的长度大约是 cm（保留两位小数）．
27．（10分）如图，在 ▱ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交
DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF．
（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；
（2）当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH•CH＝EC•AD．
28．（12分）如图，二次函数y＝ x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y
轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段
AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y＝ x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断
此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物物的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，
在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角
形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小原给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（4分） 的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ．
故选：A．
2．（4分）如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从物体的上面看到的物体的形状，即可得出其俯视图．
【解答】解：根据俯视图的意义可得，
选项D的图形符合题意，
故选：D．
3．（4分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶
段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3172×108 B．3.172×108 C．3.172×107 D．3.172×109
【分析】根据科学记数法表示大数的方法，将31720000写成a×10n的形式即可．
【解答】解：31720000＝3.172×107，
故选：C．
4．（4分）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】利用平行线的性质定理解答即可．
【解答】解：如图，
∵AE∥CF，∠A＝50°，
∴∠1＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠1＝50°，
故选：B．
5．（4分）化简：a（a﹣2）+4a＝（ ）
A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2
【分析】去括号，合并同类项即可．
【解答】解：a（a﹣2）+4a＝a2﹣2a+4a＝a2+2a，
故选：A．
6．（4分）如图，AB是 O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（ ）
⊙A．40° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，
故选：C．
7．（4分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】利用因式分解法求得方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x ＝2，x ＝1．
1 2
故选：D．
8．（4分）若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝﹣2 C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝﹣2
【分析】关于x轴对称，所以两个点的纵坐标是相反数，横坐标相等．
【解答】解：根据题意：
m﹣3＝﹣1，2n＝﹣4，
所以m＝2，n＝﹣2．
故选：B．
9．（4分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘
坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有 x辆车，y人，则可列方
程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，
∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三
角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，
故选：B．
11．（4分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，若y ＜y ＜
1 1 2 2 1 2
0，则下列结论正确的是（ ）
A．x ＜x ＜0 B．x ＜x ＜0 C．0＜x ＜x D．0＜x ＜x
1 2 2 1 1 2 2 1【分析】反比例函数的系数为﹣3＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵y ＜y ＜0，
1 2
∴图象在第四象限，
∴0＜x ＜x ，
1 2
故选：C．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交
BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，
作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根
据等面积法求出AE的长，根据勾股定理可得BE的长，进而可得CD的长．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
根据作图过程可知：
AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴S△ABC ＝ AB•AC＝ BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝ ，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝ ＝ ，
∴BD＝2BE＝ ，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣ ＝ ．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝ m （ m ﹣ 3 ） 2 ．
【分析】先提公因式，再利用公式法进行分解即可．
【解答】解：m3﹣6m2+9m＝m（m2﹣6m+9）＝m（m﹣3）2，
故答案为：m（m﹣3）2．
14．（4分）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝
3 ．
【分析】根据二次函数的对称性即可求得．
【解答】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2+h可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3），
∵B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，
∴点B就是点A的对称点，
∴k＝3，
故答案为3．
15．（4分）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝
6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝ 5 ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，OC＝
6，CC′＝4，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝3，
∴A′B′＝5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB
的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝ 4
﹣ 2 ．
【分析】由正方形的性质可得 AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BDC＝∠EAF＝45°，
AC⊥BD，BD＝AC＝2 ，由“AAS”可证△AEF≌△ACB，可得∠E＝∠ACB＝45°，
EF＝BC＝2，AF＝AB＝2，通过证明△EBF∽△DGB，可得 ，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BDC＝∠EAF＝45°，AC⊥BD，BD＝AC＝2 ，
∵AE＝AC＝2 ，∠EFA＝∠CBA，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴△AEF≌△ACB（AAS），
∴∠E＝∠ACB＝45°，EF＝BC＝2，AF＝AB＝2，
∴∠E＝∠BDG，
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴∠EFB＝∠DBG ，
∴△EBF∽△DGB，
∴ ，∴ ，
∴DG＝4﹣2 ，
故答案为：4﹣2 ，
三、解答题（本大题共12小题，共86分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（5分）计算： × ﹣（ +1）2．
【分析】根据根式的乘法和完全平方公式化成最简二次根式，再合并即可．
【解答】解： × ﹣（ +1）2
＝ ﹣[（ ）2+2 +1]
＝ ﹣3﹣2 ﹣1
＝2 ﹣3﹣2 ﹣1
＝﹣4．
18．（5分）解不等式组： ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集．
【解答】解：不等式 的解集为x＜3，
①
不等式 的解集为x＞ ，
②
所以不等式组的解集为 ＜x＜3．
19．（5分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝﹣ ．
【分析】首先根据分式的混合运算进行计算化简，再代入求值即可，注意因式分解．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝
＝
＝a+4，当a＝﹣ 时，
原式＝﹣ +4
＝ ．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD
＝CE．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE．
【解答】证明：∵AB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，
∴AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
21．（6分）某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研
学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：
A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；
B：陇南市两当兵变纪念馆；
C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；
D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．
小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法
求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出小宁与小丽抽到同一地点的结
果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：根据题意列表如下：根据表格可知：
共有16种等可能的结果数，其中小宁与小丽抽到同一地点的结果数为4，
所以小宁与小丽抽到同一地点的概率＝ ＝ ．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例
函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分
别交于点C，D，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得
出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
【解答】解：（1）将点A（1，5）代入y＝ （k≠0，x＞0）得：5＝ ，
解得k＝5，故反比例函数的表达式为：y＝ ，
将点B（m，1）代入y＝ 得：m＝5，
故点B（5，1），
将点A（1，5），B（5，1）代入y＝ax+b得 ，
解得 ，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+6；
（2）由一次函数y＝﹣x+6可知，D（0，6），
则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝ 6×5﹣ ＝12．
23．（7分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为
半径作 O．
（1）求⊙证：AB是 O的切线；
（2）若OC＝2，求⊙OA的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理即可证得结
论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求得AB，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵OC为 O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵⊙△AOB是等腰直角三角形，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，AB＝2OC＝4，∵ OA2＝ ，
∴OA＝ ＝2 ．
24．（7分）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育，
某校八年级（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间
调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：
信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数；
信息二：
信息三：
近一周家务劳动时间分布表
时间/小时 t≤1 1＜t≤2 2＜t≤3 3＜t≤4 t＞4
人数/人 5 8 12 7 3
信息四：
劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数
时间/小时
t≤1 4 1 0 0 0
1＜t≤2 0 6 1 1 0
2＜t≤3 0 0 9 3 0
3＜t≤4 0 1 1 3 2
t＞4 0 0 0 1 2
根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接从信息二的统计图中“读”出八年级（1）班劳动能力量化成绩的平均分为
8 分；（2）请你判断下列说法合理吗？（请在横线上填写“合理”或“不合理”）
规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级（1）班超过半数的学生达到了合
①格要求： 合理 ．
班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学
②生进行表彰奖励，恰有3人获奖： 不合理 ．
小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在 2＜t≤3
③的时间段： 合理 ．
（3）结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样
的关系？
【分析】（1）根据平均数的定义计算即可．
（2）根据表格中的信息，一一判断即可．
（3）参加家务劳动的时间越长，劳动能力的成绩得分越大．
【解答】解：（1）平均成绩＝ ＝8（分），
故答案为8．
（2） 规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级（1）班超过半数的学生达到
了合格①要求：合理．
班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学
②生进行表彰奖励，恰有3人获奖：不合理．
小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在 2＜t≤3
③的时间段：合理．
故答案为合理，不合理，合理．
（3）参加家务劳动的时间越长，劳动能力的成绩得分越大．
25．（7分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校
决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无
需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称 红外线体温检测仪安装示意图
技术参数 探测最大角：∠OBC＝73.14°
探测最小角：∠OAC＝30.97°
安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上
根据以上内容，解决问题：
学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（ 结 果 精 确 到 0.1m ， 参 考 数 据 ： sin73.14°≈ 0.957 ， cos73.14°≈ 0.290 ，
tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）
【分析】根据题意可得OC⊥AC，∠OBC＝73.14°，∠OAC＝30.97°，AB＝4m，所以得
AC＝AB+BC＝4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝73.14°，∠OAC＝30.97°，AB＝4m，
∴AC＝AB+BC＝4+BC，
∴在Rt△OBC中，BC＝ ≈ ，
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈（4+BC）×0.6，
∴OC＝0.6（4+ ），
解得OC≈2.9（m）．
答：该设备的安装高度OC约为2.9m．
26．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，
线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作
FC⊥AB于点G．设A、E两点间的距离为xcm，F，G两点间的距离为ycm．
小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小军的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别
得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.68 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00
y/cm 0 0.94 1.91 2.49 2.6 0 2.84 3.00 2.84 2.60 2.00 1.50 0.90 0.68
请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2），描出表中各组数值所对应的点
（x，y），并画出y关于x的图象；
（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？ 当 x ＜ 2. 2 时， y 的值随
x 的增大而增大，当 x ＞ 2.2 时， y 的值随 x 的增大而减小 ；
（4）解决问题：当AE+FG＝2时，FG的长度大约是 2.2 5 cm（保留两位小数）．
【分析】（1）证明△AFD为边等于3的等边三角形，则三角形的高为AEsin60°＝
≈2.60＝y，即可求解；
（2）描点连线绘制图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）当AE+FG＝2时，即y＝﹣x+2，则在图2的基础上，作直线y＝﹣x+2，求出两个
函数交点的纵坐标即可．
【解答】解：（1）由题意得，AD＝BD＝3，
如图，在△AED中，x＝AE＝1.5＝ ，∠A＝60°，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝AEcosA＝ × ＝ ，同理EH＝ ，
则HD＝AD﹣AH＝ ，则tan∠EDA＝ ＝ ，即∠EAD＝30°，
如题干图1，则∠AED＝90°，
而x＝1.5＝ AD，故点F在AE上，
∵AD、FD关于ED对称，故AD＝FD，
而∠CAB＝60°，
故△AFD为边等于3的等边三角形，则三角形的高为AEsin60°＝ ≈2.60＝y，
故答案为2.60；
（2）描点连线绘制图象如下：
（3）从图象看，当x＜2.2时，y的值随x的增大而增大，当x＞2.2时，y的值随x的增
大而减小，
故答案为：当x＜2.2时，y的值随x的增大而增大，当x＞2.2时，y的值随x的增大而减
小；
（4）当AE+FG＝2时，即y＝﹣x+2，
则在图2的基础上，作直线y＝﹣x+2，如图3，两个函数交点的纵坐标大约为2.25（cm），
即y＝2.25（cm），
故答案为2.25．
27．（10分）如图，在 ▱ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交
DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF．
（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；
（2）当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH•CH＝EC•AD．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得 GO＝CO，由“AAS”可证
△GFO≌△CEO，可得GF＝EC，由菱形的判定可证四边形GECF是菱形；
（2）通过证明△ADH∽△CHF可得 ，可得结论．
【解答】解：（1）四边形GECF是菱形，
∵EG＝EC，DE⊥AC，
∴GO＝CO，
∵GF∥AD，AD∥BC，
∴GF∥BC，
∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，
∴△GFO≌△CEO（AAS），
∴GF＝EC，
∴四边形GFCE是平行四边形，又∵EG＝EC，
∴平行四边形GFCE是菱形；
（2）∵∠DHC＝∠DAH+∠ADH＝∠DHF+∠FHC，∠DHF＝∠HAD，
∴∠ADH＝∠FHC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠ACB，
∵四边形GFCE是菱形，
∴CE＝CF，∠HCF＝∠ACB，
∴∠HCF＝∠DAH，
∴△ADH∽△CHF，
∴ ，
∴AH•CH＝AD•EC．
28．（12分）如图，二次函数y＝ x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y
轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段
AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y＝ x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断
此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物物的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，
在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角
形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A，C两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组，即可解决问题．
（2）求出AB，AD，BD，利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理证明BE＝AE，BG＝GD，即可解决
问题．
（4）如图2中，设EF的中点为k，P（x，y），连接PK．直线PH的解析式，想办法
构建方程组求出点P的纵坐标y即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣
4），
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣x﹣4．
（2）∵B（﹣2，m）在y＝ x2﹣x﹣4，
∴B（﹣2，﹣1），
∴直线OB的解析式为y＝ x，
由 ，解得 （即点B）或 ，
∴D（8，4），∵A（4，﹣4），
∴AB＝ ＝3 ，AD＝ ＝4 ，BD＝ ＝5 ，
∴BD2＝AB2+AD2，
∴∠BAD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
（3）结论AG＝ BD．
理由：如图1中，连接AG，交EF于H．
∵四边形AEGF是矩形，
∴AH＝HG，EH＝FH，
∵EF∥BD，
∴ ＝ ＝1，
∴AE＝BE，
∴E（1，﹣ ），
∵ ＝ ＝ ，EH＝FH，
∴BG＝GD，∵∠BAD＝90°，
∴AG＝ BD．
（4）如图2中，设EF的中点为k，P（x，y），连接PK．
∵E（1，﹣ ），F（6，0），
∴K（ ，﹣ ），EF＝ ＝ ，
∵∠EPF＝90°，
∴点P在以EF为直径的 k上运动，
∵△PQH是等腰直角三角⊙形，∠PQH＝90°，
∴∠QHP＝45°，
∵抛物线的顶点H（2，﹣5），
∴直线PH的解析式为y＝x﹣7，
∵PK＝ EF，
∴（x﹣ ）2+（y+ ）2＝（ ）2，
（y+7﹣ ）2+（y+ ）2＝（ ）2，
解得y＝﹣4或﹣ ，∴Q（2，﹣4）或（2，﹣ ）．
