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2013 年兰州市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
参考公式:二次函数顶点坐标公式:( b 4ac-b2 )
- ,
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体,其左视图是( )
2.“兰州市明天降水的概率是30%”,对此消息下列说法中正确的是( )
A.兰州市明天将有30%的地区降水
B.兰州市明天将有30%的时间降水
C.兰州市明天降水的可能性较小
D.兰州市明天肯定不降水
3.二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3)
4.☉O 的半径为1 cm,☉O 的半径为4 cm,圆心距OO=3 cm,这两圆的位置关系是( )
1 2 1 2
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
5
5.当x>0时,函数y=- 的图象在( )
x
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
6.下列命题中是假命题的是( )
A.平行四边形的对边相等
B.菱形的四条边相等
C.矩形的对边平行且相等
D.等腰梯形的对边相等
7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这
组统计数据,下列说法中正确的是( )
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班
人数 52 60 62 54 58 62A.平均数是58 B.中位数是58
C.极差是40 D.众数是60
8.用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为( )
A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0
C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2
9.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(
)
A.csin A=a B.bcos B=c
C.atan A=b D.ctan B=b
10.据调查,2011年5月兰州市的房价均价为7 600元/m2,2013年同期将达到8 200元/m2,假设
这两年兰州市房价的平均增长率为x,根据题意,所列方程为( )
A.7 600(1+x%)2=8 200 B.7 600(1-x%)2=8 200
C.7 600(1+x)2=8 200 D.7 600(1-x)2=8 200
3+2m
11.已知A(-1,y ),B(2,y )两点在双曲线y= 上,且y>y,则m的取值范围是( )
1 2 1 2
x
A.m>0 B.m<0
3 3
C.m>- D.m<-
2 2
12.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8 cm,水的最大
深度为2 cm,则该输水管的半径为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列说法中不正确的是( )
A.b2-4ac>0 B.a>0
b
C.c>0 D.- <0
2a
14.圆锥底面圆的半径为3 cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
15.如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速
度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大
致为( )第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
16.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者,则选出
一男一女的概率是 .
17.若|b-1|+√a-4=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根,则k的取值范围是 .
18.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与
点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧
交于点E,第24秒时,点E在量角器上对应的读数是 度.
19.如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△、
1
△、△、△、…,则△ 的直角顶点的坐标为 .
2 3 4 2 013
20.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B
1
的坐标为(2,0),若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围
2
是 .
三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21.(本小题满分10分)
(1)计算:(-1)2 013-2-1+sin 30°+(π-3.14)0;
(2)解方程:x2-3x-1=0.
22.(本小题满分5分)如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现
要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,
用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)23.(本小题满分6分)在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中,某校根据实际情况,决定主要
开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取
了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中信
息解答下列问题:
(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是 ,其所在扇形统计图中的圆心角的度数是
;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)已知该校有1 000人,根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少?
24.(本小题满分8分)如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆的高度.
已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7 m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角
边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M的仰角为45°;小红的眼
睛与地面的距离(CD)是1.5 m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且
位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.(参考数据:√2≈1.4,√3
≈1.7,结果保留整数)k
25.(本小题满分9分)已知反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(1,4)
1 2
x
和点B(m,-2).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)观察图象,当x>0时,直接写出y>y 时自变量x的取值范围;
1 2
(3)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积.
26.(本小题满分10分)如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB
外作等边△OBC,D是OB的中点,连结AD并延长交OC于E.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
27.(本小题满分10分)如图,直线MN交☉O于A、B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交☉O
于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若DE=6 cm,AE=3 cm,求☉O的半径.28.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上的两点,C、D为y轴上
的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C 与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 组
1 2
合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为( 3),点M是
0,-
2
抛物线C :y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.
2
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最
大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.
答案全解全析：
1.B 由几何体知,左视图中第一列有两个正方形,中间一列有三个正方形,故排除A、C、D,
故选B.
2.C 降水的概率是30%解释为降水的可能性是30%,即降水的可能性较小,故选C.
3.A 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是(h,k),故二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点
坐标是(1,3),故选A.4.B 因为圆心距OO=3 cm,两圆半径之差为4-1=3 cm,故两圆内切,故选B.
1 2
评析 本题主要考查两圆之间的位置关系.两圆外离,d>R+r;外切,d=R+r;相交,R-r0时,图象在第四象限.故选A.
x
6.D 等腰梯形的上底与下底一定不相等,故D选项是假命题,故选D.
7.A 将数据从小到大排列:52,54,58,60,62,62.中位数为59;极差为10;众数是62.故B、
C、D均错误,选A.
8.D x2-2x-1=0移项得:x2-2x=1,配方得:(x-1)2=2. 故选D.
9.A ∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.
a
∴sin A= ,故A成立,选A.
c
10.C 因为增长率为x,不是x%,故A、B排除;又房价增长到8 200元/m2 ,故排除D.故选C.
11.D ∵双曲线的两个分支在第一、三象限或第二、四象限,
3
又∵-1<2且y>y,∴双曲线分布在第二、四象限,故3+2m<0,∴m<- . 故选D.
1 2
2
评析 首先确定反比例函数图象所在的象限,注意反比例函数图象在每个象限的变化规律.
当比较两函数值的大小时,一定要分为在两个象限内或在同一个象限内两种情况.
12.C 如图,圆O中,弦AB=8 cm,半径OD⊥AB于点C,CD=2 cm.设半径OA的长度为x cm,则
在直角△OAC中,AC=4 cm,OC=(x-2)cm,故x2=42+(x-2)2,解得x=5.故选C.
评析 垂径定理与勾股定理结合,只要知道弦、半径、弦心距中的任何两个就能求出第三个.b b
13.D ∵对称轴x=- 在y轴的右侧,故- >0,D选项不正确.故选D.
2a 2a
14.B 设圆锥底面圆半径为r,母线长为l.
∵其侧面展开图为半圆,
∴πl=2πr,∴l=2r=6 cm.故选B.
15.B 设AB的长度是a,P点运动的速度是v,则S=π·PB2=π·(a-vt)2=π(vt-a)2,
∴S是关于t的二次函数.故选B.
3
16.答案
5
2 3 3 2 3
解析 选出一男一女的概率为 × + × = .
5 4 5 4 5
17.答案 k≤4且k≠0
解析 ∵|b-1|+√a-4=0,∴a=4,b=1,∴方程为kx2+4x+1=0,
∵二次方程有实数根,∴b2-4ac=42-4k≥0,且k≠0,∴k≤4且k≠0.
18.答案 144
解析 如图,当第24秒时,∠ECA=72°,连结OE,所以量角器的直径与直角三角板ABC的斜边
AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,所以点C在以AB为直径的圆上.所以
∠AOE=2∠ECA=144°.
19.答案 (8 052,0)
解析 由题意可知,三次旋转作为一个周期循环出现,Rt△OAB的三边长分别为3,4,5,所以
第三次旋转得到的△ 的直角顶点的坐标为(12,0),第六次旋转得到的△ 的直角顶点的坐标
3 6
为(24,0) ,…,∵2 013÷3=671,671×12=8 052,∴△ 的直角顶点的坐标为(8 052,0).
2 013
评析 本题是规律探究性问题,解题时先从较简单的特例入手,从中探究出规律,再用得到的
规律解答问题即可.
1
20.答案 -2y 成立.(5分)
1 2
(3)∵点C与点A关于x轴对称,∴C(1,-4),(6分)
过点B作BD⊥AC,垂足为D,则D(1,-2),
于是△ABC的高BD=1-(-2)=3.(7分)
底边AC=4-(-4)=8.(8分)
1 1
∴S = AC·BD= ×8×3=12.(9分)
△ABC
2 2
26.解析 (1)证明:在Rt△OAB中,∵D为OB的中点,
∴DO=DA.(1分)
∴∠DAO=∠DOA=30°,∠EOA=90°,
∴∠AEO=60°.(2分)
又∵△OBC为等边三角形,
∴∠BCO=∠AEO=60°.(3分)
∴BC∥AE.(4分)
∵∠BAO=∠COA=90°,
∴OC∥AB.(5分)
∴四边形ABCE是平行四边形.(6分)
(2)设OG=x,由折叠可知:AG=GC=8-x.(7分)在Rt△ABO中,
∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,
√3
∴OA=OB·cos 30°=8× =4√3.(8分)
2
在Rt△OAG中,OG2+OA2=AG2,
即x2+(4√3)2=(8-x)2.(9分)
解得x=1,即OG=1.(10分)
27.解析 (1)证明:连结OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.(1分)
∵∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE.(2分)
∴DO∥MN.(3分)
∵DE⊥MN,
∴∠ODE=∠DEM=90°,
即OD⊥DE,(4分)
∴DE是☉O的切线.(5分)
(2)连结CD.
∵∠AED=90°,DE=6 cm,AE=3 cm,
∴AD=3√5 cm.(6分)
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=∠AED=90°.(7分)∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE.(8分)
AD AC 3√5 AC
∴ = ,即 = .
AE AD 3 3√5
则AC=15 cm.(9分)
∴☉O的半径是7.5 cm.(10分)
评析 本题主要考查了切线的判定、等边对等角、三角形相似的判定及其性质的运用以及
勾股定理的应用等知识;考查了学生综合运用知识以及运用转化思想来解决问题的能力.
28.解析 (1) 令y=0,则mx2-2mx-3m=0,
∵m<0,∴x2-2x-3=0.
解得:x=-1,x=3.
1 2
∴A(-1,0),B(3,0).(2分)
(2)存在.
设抛物线C 的表达式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),
1
把C( 3)代入可得a=1,
0,-
2 2
1 3
∴C:y= x2-x- .(4分)
1
2 2
设P(
n,
1
n2-n-
3),
2 2
∴S
△PBC
=S
△POC
+S
△BOP
-S
△BOC
=-3(
n-
3) 2+27.(6分)
4 2 16
3
∵a=- <0,
4
3 27
∴当n= 时, S 有最大值,且最大值为 .(7分)
△PBC
2 16(3)由C 可知: B(3,0),D(0,-3m),M(1,-4m),
2
BD2=9m2+9, BM2=16m2+4,DM2=m2+1,
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况.
当∠BMD=90°时,BM2+ DM2=BD2 ,16m2+4+m2+1=9m2+9,
√2 √2
解得:m=- ,m= (舍去). (9分)
1 2
2 2
当∠BDM=90°时,BD2+DM2=BM2 ,9m2+9+m2+1=16m2+4,
解得:m=-1,m=1 (舍去).(11分)
1 2
√2
综上,当m=-1,m=- 时,△BDM为直角三角形.(12分)
2
评析 本题是以抛物线为背景的综合题,其中涉及的知识点主要有待定系数法、一元二次方
程的解法、抛物线的最值等.在求有关存在不存在问题时,要注意先假设存在,再讨论结果,
注意分类讨论思想方法的应用.本题难度适中,计算量稍大.
