2022 年长沙市初中学业水平考试
一、选择题(每小题3分,共30分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正
确的)
1.(2022湖南长沙,1,3分)-6的相反数是( )
1 1
A.- B.-6 C. D.6
6 6
2.(2022湖南长沙,2,3分)如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体,该几
何体的主视图是 ( )
A B C D
3.(2022湖南长沙,3,3分)下列说法中,正确的是 ( )
A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B.“太阳东升西落”是不可能事件
C.为了直观地介绍空气各成分的百分比,最适合使用的统计图是条形统计图
D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次,出现正面朝上的次数一定是13
4.(2022湖南长沙,4,3分)下列计算正确的是 ( )
A.a7÷a5=a2
B.5a-4a=1
C.3a2·2a3=6a6
D.(a-b)2=a2-b2
5.(2022湖南长沙,5,3分)在平面直角坐标系中,点(5,1)关于原点对称的点的坐
标是 ( )
A.(-5,1) B.(5,-1)
C.(1,5)D.(-5,-1)
6.(2022湖南长沙,6,3分)《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒
菜纳入劳动教育课程,并做出明确规定.某班7名学生已经学会炒的菜品的种数
依次为3,5,4,6,3,3,4.则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A.3,4 B.4,3 C.3,3 D.4,47.(2022湖南长沙,7,3分)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题
为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其
中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本,设购买甲种读本x本,
则购买乙种读本的费用为 ( )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
8.(2022湖南长沙,8,3分)如图,AB∥CD,AE∥CF,∠BAE=75°,则∠DCF的度数
为 ( )
A.65° B.70° C.75° D.105°
9.(2022湖南长沙,9,3分)如图,PA,PB是☉O的切线,A、B为切点,若
∠AOB=128°,则∠P的度数为 ( )
A.32° B.52° C.64° D.72°
10.(2022湖南长沙,10,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
1
①分别以点A、B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧交于P、Q两点;
2
②作直线PQ交AB于点D;
③以点D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM.
若AB=2 ,则AM的长为 ( )
√2
A.4 B.2 C.√3 D.√2
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022湖南长沙,11,3分)若式子√x-19在实数范围内有意义,则实数x的取值
范围是 .2 5
12.(2022湖南长沙,12,3分)分式方程 = 的解为 .
x x+3
13.(2022湖南长沙,13,3分)如图,A、B、C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点
D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
14.(2022湖南长沙,14,3分)关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实
数根,则实数t的值为 .
15.(2022湖南长沙,15,3分)为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情
况,从该校全体1 000名学生中,随机抽取了100名学生进行调查,结果显示有95
名学生知晓.由此,估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有
名.
16.(2022湖南长沙,16,3分)当今是大数据时代,“二维码”具有存储量大、保
密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中,尤其在全球
“新冠”疫情防控期间,区区“二维码”已经展现出无穷威力,看似“码码相
同”,实则“码码不同”.通常,一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方
格组成,其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码,这相当于1
000个方格中只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识,这200个方格可以
生成2200个不同的数据二维码.现有四名网友对2200的理解如下:
YYDS(永远的神):2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数;
DDDD(懂的都懂):2200等于2002;
JXND(觉醒年代):2200的个位数字是6;
QGYW(强国有我):我知道210=1 024,103=1 000,所以我估计2200比1060大.
其中对2200的理解错误的网友是 (填写网名字母代号).
三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小
题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分。解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2022湖南长沙,17,6分)计算:|-4|+(1) -1-( )2+2 0350.
√2
318.(2022湖南长沙,18,6分)解不等式组:{3x>-8-x,①
2(x-1)≤6.②
19.(2022湖南长沙,19,6分)为了进一步改善人居环境,提高居民生活的幸福指
数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图,AB表示该小区一段长为
20 m的斜坡,坡角∠BAD=30°,BD⊥AD于点D.为方便通行,在不改变斜坡高度
的情况下,把坡角降为15°.
(1)求该斜坡的高度BD;
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.(假设图中C,A,D三点共线)
20.(2022湖南长沙,20,8分)2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水
周”,在此期间,某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理,复苏河湖生态环
境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况,从参赛学
生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计,得到如下不完整的统计图表.
频
成绩x/分 频率
数
60≤x<70 15 0.1
70≤x<80 a 0.2
80≤x<90 45 b
90≤x<10
60 c
0
(1)表中a= ,b= ,c= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分,从这4名学生中随机
选取2名学生参加复赛,请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名
男生、一名女生的概率.
21.(2022湖南长沙,21,8分)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别
为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.22.(2022湖南长沙,22,9分)电影《刘三姐》中,有这样一个场景,罗秀才摇头晃
脑地吟唱道:“三百条狗交给你,一少三多四下分,不要双数要单数,看你怎样分
得均?”该歌词表达的是一道数学题.其大意是:把300条狗分成4群,每个群里,
狗的数量都是奇数,其中一个群,狗的数量少,另外三个群,狗的数量多且数量相
同,应该如何分?请你根据题意解答下列问题:
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案:“九十九条打猎去,九十九条看羊来,
九十九条守门口,剩下三条给财主.”请你根据以上信息,判断以下三种说法是否
正确,在题后相应的括号内,正确的打“√”,错误的打“×”.
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的,但不是唯一正确的答案.( )
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案. ( )
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种. ( )
(2)若罗秀才再增加一个条件:“数量多且数量相同的三个群里,每个群里狗的数
量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”,求每个群里狗的数量.
23.(2022湖南长沙,23,9分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点
O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
3
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF= ,AO=2,求BD的长及四边形
2
ABCD的周长.
24.(2022湖南长沙,24,10分)如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD相
交于点E,点F在边AD上,连接EF.
(1)求证:△ABE∽△DCE.AE DE AF FE 1
(2)当D´C=C´B,∠DFE=2∠CDB时, - = ; + = ;
BE CE AB AD AB
1 1
+ - = .(直接将结果填写在相应的横线上)
AD AF
(3)①记四边形ABCD,△ABE,△CDE的面积依次为S,S,S,若满足 = + ,
1 2 √S √S √S
1 2
试判断△ABE,△CDE的形状,并说明理由.
②当 = ,AB=m,AD=n,CD=p时,试用含m,n,p的式子表示AE·CE.
D´C C´B
1 1
25.(2022湖南长沙,25,10分)若关于x的函数y,当t- ≤x≤t+ 时,函数y的最
2 2
M-N
大值为M,最小值为N,令函数h= ,我们不妨把函数h称为函数y的“共同
2
体函数”.
(1)①若函数y=4 044x,当t=1时,求函数y的“共同体函数”h的值;
②若函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数),求函数y的“共同体函数”h的解析式.
2
(2)若函数y= (x≥1),求函数y的“共同体函数”h的最大值.
x
(3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共
同体函数”h的最小值?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
2022 年长沙市初中学业水平考试
1.D 求一个数的相反数,只需改变这个数前面的符号,所以-6的相反数为6.
2.B 从正面看,得到该几何体的主视图,为选项B中的图形.
3.A “太阳东升西落”是必然事件,B错误;为了直观地介绍空气各成分的百分比,最适合使用
的统计图是扇形统计图,C错误;任意投掷一枚质地均匀的硬币26次,出现正面朝上的次数不一
定是13,D错误.
解后反思
各统计图的优点:折线统计图能清楚地表示出事物的变化情况;条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数量;扇形统计图能清楚地表示出各部分占总体的百分比.
4.A a7÷a5=a7-5=a2,A正确;5a-4a=a,B错误;3a2·2a3=3×2×a2+3=6a5,C错误;(a-b)2=a2+b2-
2ab,D错误.
5.D 由“关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数”知,点(5,1)关于原点对称的点的坐标
为(-5,-1).
6.A 众数是一组数据中出现次数最多的数据,易知这组数据的众数是3;将这组数据按从小到大
的顺序排列为3,3,3,4,4,5,6,易知这组数据的中位数为4.
7.C 由题意知,购买乙种读本的数量为(100-x)本,又因为乙种读本的价格为8元/本,所以购买
乙种读本的费用为8(100-x)元.8.C 设AE与CD的交点为
H.∵AB∥CD,∴∠DHE=∠BAE=75°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠DHE=75°.
9.B ∵PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠P=360°-∠PAO-
∠PBO-∠AOB=360°-90°-90°-128°=52°.
1
10.B 由题意知,PQ垂直平分线段AB,AD=DM,∴AD=DM= AB=√2,∠ADM=90°,∴△AMD
2
为等腰直角三角形,∴AM=√2AD=2.
11.答案 x≥19
解析 由题意得x-19≥0,解得x≥19.
12.答案 x=2
解析 分式方程两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x.解得x=2.经检验,x=2是原分式方程的解.
13.答案 7
解析 由OC⊥AB得AD=BD,△AOD与△BCD均为直角三角形,又∵点D为OC的中点,
∴OD=DC,∴Rt△AOD≌Rt△BCD,∴BC=OA=7.
14.答案 1
解析 因为关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,所以Δ=22-4t=0,解得t=1.
15.答案 950
95
解析 1 000× =950(名).
100
16.答案 DDDD
解析 根据幂的意义易知,2200就是200个2相乘,它是非常大的数,YYDS理解正确;易知
2200>2002,DDDD理解错误;21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,……,所以个位数字循环节为
4,200÷4=50,所以2200的个位数字为6,JXND理解正确;因为210=1 024,103=1 000,所以
210>103,所以(210)20>(103)20,即2200>1060,QGYW理解正确.
17.解析 原式=4+3-2+1=6.
18.解析 解不等式①,得x>-2,
解不等式②,得x≤4,
∴不等式组的解集为-2<x≤4.
19.解析 (1)∵BD⊥AD于点D,∴∠BDA=90°.
BD
在Rt△BDA中,sin∠BAD= ,∵∠BAD=30°,AB=20 m,
AB
1
∴BD=AB·sin 30°=20× =10(m).
2
∴该斜坡的高度BD为10 m.
(2)∵∠BAD是△CAB的外角,∴∠BAD=∠C+∠CBA,又
∠BAD=30°,∠C=15°,∴∠CBA=∠BAD-∠C=15°,∴∠CBA=∠C,∴CA=AB.
又∵AB=20 m,∴CA=20 m,
∴斜坡新起点C与原起点A之间的距离是20 m.
20.解析 (1)30;0.3;0.4.45 60
a=150×0.2=30,b= =0.3,c= =0.4.
150 150
(2)补全频数分布直方图如图所示:
(3)将3名女生分别表示为A、A、A,男生表示为B,画树状图如图:
1 2 3
共有12种等可能的结果,其中恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,所以选出的2名学生恰
6 1
好为一名男生、一名女生的概率为 = .
12 2
21.解析 (1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,又∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠B=∠D=90°,
{∠BAC=∠DAC,
在△ABC与△ADC中, ∠B=∠D,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
(2)∵△ABC≌△ADC,且AB=4,CD=3,
∴AD=AB=4,S =S .
△ABC △ADC
1 1
又∵CD⊥AD,∴S = AD·CD= ×4×3=6.
△ADC
2 2
∴S =2S =2×6=12.
四边形ABCD △ADC
22.解析 (1)①√ ②× ③×
提示:设其中3个狗群中狗的数量均为a,另一个狗群中狗的数量为b,a,b均为奇数,则
3a+b=300,利用赋值法可知,当b=9,a=97时,满足题意;当a=21,b=93时,也满足题意.据此可判
断说法的正误.
(2)设数量少的群里有x条狗,则数量多的三个群里,每一个群里有(x+40)条狗,由题意可得
3(x+40)+x=300,解得x=45,x+40=45+40=85.
答:数量多的三个群里分别有85,85,85条狗,数量少的群里有45条狗.
23.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
3
(2)∵E、F分别为AD,AO的中点,∴EF是△AOD的中位线,∵EF= ,∴OD=2EF=3,
2
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,∴BD=2OD=6.
∵AC⊥BD,∴∠AOD=90°,在Rt△AOD中,由勾股定理得AD= = = .
√AO2+OD2 √22+32 √13
∴四边形ABCD的周长为4AD=4√13.
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠ACD=∠ABD,
又∵∠DEC=∠AEB,
∴△ABE∽△DCE.
AE DE AE DE
(2)∵△ABE∽△DCE,∴ = ,∴ - =0.
BE CE BE CE
如图所示,设∠CDB=α,
∵D´C =C´B,∠DFE=2∠CDB,
∴∠DAC=∠BAC=∠CDB=α,
∴∠DAB=2∠CDB=∠DFE=2α.
∴EF∥AB,
∴∠FEA=∠BAC=∠DAC=α,∴FA=FE.
AF FE EF AF DF AF AD
∴ + = + = + = =1.
AB AD AB AD DA AD AD
1 1 1 1 1 1
∴ + = ,∴ + - =0.
AB AD AF AB AD AF
(3)①△ABE,△CDE都是等腰三角形.
理由:记△ADE,△BCE的面积依次为S,S,
3 4
∵S =DE=S ,∴SS=SS.
3 2 2 1 3 4
S BE S
1 4
由 = + 两边平方得S=S+S+2 .
√S √S √S 1 2 √S S
1 2 1 2
∴S=S+S+S+S=S+S+2 ,
1 2 3 4 1 2 √S S
1 2
∴S+S=2 =2 ,配方得( - )2=0.
3 4 √S S √S S √S √S
1 2 3 4 3 4
∴ = ,∴S=S,
√S √S 3 4
3 4
{∠DAE=∠CBE,
又∵ ∴△ADE∽△BCE.
∠ADE=∠BCE,
∴AE=DE= √S =1,
3
BE CE √S
4
∴AE=BE,DE=CE,∴△ABE,△CDE都是等腰三角形.
②∵D´C=C´B,∴∠CAD=∠CAB,
{∠EAB=∠DAC,
∴ ∴△ABE∽△ACD.
∠EBA=∠DCA,
AB AE
∴ = ,又∵AB=m,AD=n,CD=p,
AC AD
∴AC·AE=AB·AD=mn.
{∠DAC=∠EDC,
又∵ ∴△ADC∽△DEC.
∠ACD=∠DCE,
AC DC
∴ = ,
DC EC
∴AC·CE=DC2=p2.
+可得AC2=mn+p2.
×可得AC2·AE·CE=mnp2.
∴AE·CE= mnp2 .
mn+p2
解后反思
对于本题第(2)问,看到线段的比例,应联想到相似三角形对应线段成比例、平行线分线段
成比例,即从题干中联想基本知识.
1 3
25.解析 (1)①当t=1时, ≤x≤ ,对于函数y=4 044x,
2 2
∵4 044>0,∴y随x的增大而增大.
3 3
∴x= 时,y取得最大值,最大值M=4 044× =6 066;
2 2
1 1
x= 时,y取得最小值,最小值N=4 044× =2 022,
2 2
M-N 6 066-2 022
∴h= = =2 022.
2 2
②对于函数y=kx+b(k≠0),
( 1) ( 1)
k t+ -k t- k
当k>0时,h= 2 2 = ,
2
2
( 1) ( 1)
k t- -k t+ k
当k<0时,h= 2 2 =- ,
2
2k
{ (k>0),
∴h= 2
k
- (k<0).
2
1 3
(2)由题意可得t- ≥1,得t≥ ,
2 2
2
由反比例函数y= (x≥1)的图象可得,
x
1 2 2 1 1
h= ( - ) = ≤ =1,
2 1 1 1 9 1
t- t+ t2- - 2
2 2 4 4 4
1
∴函数y的“共同体函数”h的最大值是 .
2
31
(3)存在k=- ,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.理由如下:
8
由题意,结合二次函数的图象分以下四种情况讨论:
3 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
当t≤ 时,h= - t+ +4 t+ +k+ t- -4 t- -k =-t+2.
2 2 2 2 2 2
3
当 <t≤2时,
2
k+4+ ( t- 1) 2 -4 ( t- 1) -k 1( 5) 2
h= 2 2 = t- .
2 2
2
5
当2<t< 时,
2
k+4+ ( t+ 1) 2 -4 ( t+ 1) -k 1( 3) 2
h= 2 2 = t- .
2 2
2
5 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
当t≥ 时,h= - t- +4 t- +k+ t+ -4 t+ -k =t-2.
2 2 2 2 2 2
( 3)
{-t+2 t≤ ,
2
1( 5) 2 (3 )
t- <t≤2 ,
∴h= 2 2 2
1( 3) 2 ( 5)
t- 2<t< ,
2 2 2
( 5)
t-2 t≥ .
21
∴函数y的“共同体函数”h的最小值是 .
8
又y=-x2+4x+k=-(x-2)2+k+4≤k+4.
∴函数y的最大值是k+4,
1 31
由题意可得k+4= ,解得k=- .
8 8
