28
2019年长沙市初中学业水平考试试卷
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.下列各数中,比-3小的数是( )
A.-5 B.-1 C.0 D.1
2.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元,确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为( )
A.15×109 B.1.5×109 C.1.5×1010 D.0.15×1011
3.下列计算正确的是( )
A.3a+2b=5ab B.(a3)2=a6
C.a6÷a3=a2 D.(a+b)2=a2+b2
4.下列事件中,是必然事件的是( )
A.购买一张彩票,中奖
B.射击运动员射击一次,命中靶心
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
D.任意画一个三角形,其内角和是180°
5.如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=80°,则∠2的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )
7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
8.一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则这个扇形的面积是( )A.2π B.4π C.12π D.24π
1
9.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是( )
2
A.20° B.30° C.45° D.60°
10.如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是( )
A.30 n mile B.60 n mile
√3
C.120 n mile D.(30+30 )n mile
√3
11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长
多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( )
{ y=x+4.5 {y=x+4.5
A. B.
0.5 y=x-1 y=2x-1
{ y=x-4.5 {y=x-4.5
C. D.
0.5 y=x+1 y=2x-1
√5
12.如图,△ABC中,AB=AC=10,tan A=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+ BD的最小值是( )
5
A.2 B.4 C.5 D.10
√5 √5 √3
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
13.式子 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
√x-5
14.分解因式:am2-9a= .
{x+1≥0,
15.不等式组 的解集是 .
3x-6<0
16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:
摸球试验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000
“摸出黑球”的次数 36 387 2 019 4 009 19 970 40 008
“摸出黑球”的频率
0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
(结果保留小数点后三位)根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .(结果保留小数点后一位)
17.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是 m.
k
18.如图,函数y= (k为常数,k>0)的图象与过原点O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论:
x
2
①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+√3;④若MF= MB,则MD=2MA.其中正确结论的序号是 .(只填序号)
5
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,第23、24题每小题9分,第25、26题每小题10分,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:|- |+(1) -1 - ÷ -2cos 60°.
√2 √6 √3
2
20.先化简,再求值:(a+3 1 )÷a2+4a+4,其中a=3.
-
a-1 a-1 a2-a
21.某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下
不完整的统计表和条形统计图.
等级 频数 频率
优秀 21 42%
良好 m 40%
合格 6 n%
待合格 3 6%请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查随机抽取了 名学生;表中m= ,n= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若全校有2 000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.
22.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
23.近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次.24.根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题)
③两个大小不同的正方形相似;( 命题)
AB BC CD
(2)如图1,在四边形ABCD和四边形AB C D 中,∠ABC=∠AB C ,∠BCD=∠B C D, = = .求证:四边形ABCD与四边形AB C D 相似;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B B C C D 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
图1
S
(3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S
1
,四边形EFCD的面积为S
2
,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求 2的值.
S
1
图2
25.已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2 020)(b,c为常数).
(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;
m 1 n
(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好有 ≤ ≤ ,求m,n的值.
2m+1 y+2 2n+1
26.如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的☉P相交于点C.
(1)求点A的坐标;(2)过点C作☉P的切线CE交x轴于点E.
①如图1,求证CE=DE;
√3 1 1
②如图2,连接AC,BE,BO,当a= ,∠CAE=∠OBE时,求 - 的值.
3 OD OE
图1 图2
282019年长沙市初中学业水平考试试卷
一、选择题
1.A 因为-5<-3<-1<0<1,所以比-3小的数是-5,故选A.
2.C 数据15 000 000 000用科学记数法表示为1.5×1010.故选C.
3.B 3a与2b不是同类项,故不能合并,故选项A不正确;(a3)2=a6,故选项B正确;a6÷a3=a3,故选项C不正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D不正确.故选B.
4.D A.购买一张彩票,中奖,属于随机事件,不合题意;B.射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意;C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意;D.任意画一个三角形,其内角和是180°,属于必然事件,符合题意.故选D.
5.C 如图,∵∠1=80°,∴∠3=100°.∵AB∥CD,∴∠2=∠3=100°.故选C.
6.D 该几何体的主视图和左视图为两个相同的等腰三角形,俯视图为圆(含圆心),所以该几何体为圆锥.故选D.
7.B 将11个不同的成绩按从小到大的顺序排序后,中位数之后的数共有5个,即中位数之后的数在前5名,故只要知道自己的成绩和11名同学成绩的中位数就可以知道能否进入决赛了.故选B.
nπR2 120×π×62
8.C S= = =12π,故选C.
360 360
9.B 在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°,由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°,故选B.
√3 1
10.D 如图,由题意知∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.在Rt△ACD中,CD=AC·cos∠ACD=60× =30√3,AD=AC·sin∠ACD=60× =30.在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°,∴BD=CD=30√3.∴AB=AD+BD=30+30√3.故轮船B与小岛A的距离是(30+30√3)n
2 2
mile.故选D.{ y=x+4.5,
11.A 木头长为x尺,绳子长为y尺,根据“用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺”得方程y=x+4.5;根据“将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”得方程0.5y=x-1,故得方程组 故选A.
0.5 y=x-1,
12.B 如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,
BE
∵tan A= =2,∴可设AE=a(a>0),BE=2a,
AE
则有100=a2+4a2,
∴a=2√5,∴BE=2a=4√5.
∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∠A=∠A,
∴△AMC≌△AEB,
∴CM=BE=4√5.
DH AE √5 √5
∵sin∠DBH= = = ,∴DH= BD,
BD AB 5 5
√5
∴CD+ BD=CD+DH,
5
√5
∵CD+DH≥CM,∴CD+ BD≥4√5,
5
√5
∴CD+ BD的最小值为4√5.故选B.
5
二、填空题
13. 答案 x≥5
解析 式子√x-5在实数范围内有意义,则x-5≥0,即x≥5,故实数x的取值范围是x≥5.
14. 答案 a(m+3)(m-3)
解析 am2-9a=a(m2-9)=a(m+3)(m-3).
15. 答案 -1≤x<2
{ x+1≥0①,
解析
3x-6<0②,
解不等式①得x≥-1,
解不等式②得x<2,
∴不等式组的解集为-1≤x<2.
16. 答案 0.4
解析 观察表格发现随着摸球次数的增多,频率逐渐稳定在0.4附近,故“摸出黑球”的概率的估计值为0.4.
17. 答案 100
解析 ∵点D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=2×50=100(m).
18. 答案 ①③④
解析 ①设点A( k ),M( k),m>0,n>0,
m, n,
m n
k k k
则直线AC的解析式为y=- x+ + ,
mn n m
∴C(m+n,0),D( (m+n)k ),
0,
mn
1 (m+n)k (m+n)k 1 k (m+n)k
∴S = ×n× = ,S = ×(m+n)× = ,
△ODM △OCA
2 mn 2m 2 m 2m
∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确;②∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称,
∴O是线段AB的中点,
∵BM⊥AM,∴OM=OA,∴k=mn,
∴A(m,n),M(n,m),
∴AM= |n-m|,OM= ,
√2 √m2+n2
∵AM不一定等于OM,
∴∠BAM不一定是60°,
∴∠MBA不一定是30°,故②错误;
③M点的横坐标为1,
∴M(1,k),
∵△OAM为等边三角形,
∴OA=OM=AM,
即1+k2=m2+k2 ,(1-m)2+( k ) 2 =1+k2,
k-
m2 m
∴ mm>=0k,,k>0,∵
∴k2-4k+1=0,∴k=2±√3,
由题意知m>1,
∴k=2+√3,故③正确;
④如图,作MK∥OD交OA于K,
FM OK 2
∵OF∥MK,∴ = = ,
BM KB 5
OK 2
∴ = ,
OB 3
∵OA=OB,
OK 2
∴ = ,
OA 3
OK 2
∴ = ,
KA 1
∵KM∥OD,
DM OK
∴ = =2,
AM AK
∴DM=2AM,故④正确.
故答案为①③④.
三、解答题
1
19. 解析 原式=√2+2-√2-2× =1.
2
a+2 a(a-1) a
20. 解析 原式= · = ,
a-1 (a+2)2 a+2
3 3
当a=3时,原式= = .
3+2 5
21. 解析 (1)50;20;12.
(2)补全条形统计图如图所示:21+20
(3)2 000× =1 640.
50
答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生约有1 640人.
22. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°,
又DE=CF,
∴AD-DE=CD-CF,即AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴BE=AF.
(2)∵△ABE≌△DAF,
∴∠ABE=∠DAF,
∵∠BAG+∠DAF=90°,
∴∠BAG+∠ABE=90°,
∴∠AGB=90°,即AG⊥BE.
在Rt△ABE中,AB=4,AE=AD-DE=4-1=3,
根据勾股定理得BE= =5.
√42+32
1 1
∵S = BE·AG= AB·AE,
△ABE
2 2
AB·AE 4×3 12
∴AG= = = .
BE 5 5
23. 解析 (1)设第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率均为x,根据题意得2(1+x)2=2.42,
解此方程得x=0.1,x =-2.1(不合题意,舍去).
1 2
答:第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率均为10%.
(2)2.42×(1+10%)=2.662.
答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
24. 解析 (1)①假;②假;③真.
(2)证明:如图,连接AC,AC ,
1 1
AB BC
∵ = ,∠ABC=∠AB C ,
A B B C 1 1 1
1 1 1 1
∴△ABC∽△AB C ,
1 1 1
AB AC
∴∠ACB=∠AC B ,∠BAC=∠B AC , = ,
1 1 1 1 1 1 A B A C
1 1 1 1
AB CD
又∵ = ,
A B C D
1 1 1 1
AC CD
∴ = ,
A C C D
1 1 1 1
又∵∠BCD=∠B C D,
1 1 1
∴∠BCD-∠ACB=∠B C D-∠AC B ,即∠ACD=∠AC D,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴△ACD∽△AC D,
1 1 1AC CD AD
∴ = = ,∠ADC=∠ADC ,∠CAD=∠C AD.
A C C D A D 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
∵∠BAC=∠B AC ,
1 1 1
∴∠BAC+∠CAD=∠B AC +∠C AD,即∠BAD=∠B AD.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB BC CD DA
∵∠ABC=∠AB C ,∠BCD=∠B C D,∠ADC=∠ADC ,∠BAD=∠B AD, = = = ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B B C C D D A
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形ABCD与四边形AB C D 相似.
1 1 1 1
AO AB
(3)∵AB∥CD,∴ = ,
CO CD
AE AO
∵EF∥AB∥CD,∴ = ,
ED CO
AE AO AB
∴ = = ,①
ED CO CD
∵四边形ABFE和四边形EFCD相似,
AE AB EF
∴ = = ,②
ED EF CD
AB AB EF
由①②得 = = ,∴EF=CD=AB,
CD EF CD
∴四边形ABFE与四边形EFCD的相似比为1,
∴四边形ABFE与四边形EFCD的面积相等,
S
即 2 =1.
S
1
25. 解析 (1)∵抛物线的顶点为(1,1),
b-2
∴- =1,∴b=6,
2×(-2)
∴y=-2x2+4x+(c-2 020),
∴1=-2+4+c-2 020,∴c=2 019.
(2)依题意可设A(x ,y),B(-x ,-y)(x≠0)是抛物线上关于原点对称的两点,
0 0 0 0 0
{ y =-2x2+(b-2)x +(c-2 020),
∴ 0 0 0
- y =-2x2-(b-2)x +(c-2 020),
0 0 0
两式相加,得-4 +2(c-2 020)=0,
x2
0
∴c-2 020=2
x2
,即c=2
x2
+2 020,
0 0
∵ >0,∴c>2 020.
x2
0
m 1 n
(3)∵0<m<n, ≤ ≤ ,
2m+1 y+2 2n+1
2n+1 2m+1 1 1
∴ ≤y+2≤ ,即 +2≤y+2≤ +2,
n m n m
1 1
∴ ≤y≤ .
n m
由(1)可得抛物线的解析式为y=-2x2+4x-1.
①当0<m<n≤1时,函数值y随x的增大而增大,
1
{-2m2+4m-1= ,
∴ n 即{-2m2n+4mn-n=1,
-2n2+4n-1=
1
,
-2n2m+4mn-m=1,
m
两式相减,得2mn(n-m)-(n-m)=0,即(n-m)(2mn-1)=0,1
∴m=n(舍去)或mn= ,
2
∴-2m2+4m-1=2m,即2m2-2m+1=0,此方程无实数根.
∴此时不存在符合题意的m,n的值.
②当0<m<1<n时,函数的最大值是1,
1
∴ =1,∴m=1(不合题意,舍去).
m
③当1≤m<n时,函数值y随x的增大而减小,
1
{-2m2+4m-1= ,
∴ m
1
-2n2+4n-1= ,
n
1
即m,n是方程-2x2+4x-1= 的两个不相等的实数根,
x
1 1
由-2x2+4x-1= 可得-2(x2-2x+1)+1= ,
x x
1 1-x
即-2(x-1)2= -1,∴-2(x-1)2= ,
x x
∴(x-1)( 1)=0,∴x-1=0或2x-2-1=0,
2x-2-
x x
1+√3 1-√3
解得x=1或x= 或x= ,
2 2
1+√3 1-√3
经检验,x=1,x= ,x= 是原方程的解,
2 2
1+√3
∵1≤m<n,∴m=1,n= .
2
1+√3
综上所述,m=1,n= .
2
1 1
注:由抛物线的顶点为(1,1)可知0< ≤y≤ ≤1,得1≤m<n,因此只需考虑上述③即可.
n m
26. 解析 (1)由ax2+6ax=0得ax(x+6)=0,
∴x=0或x=-6,∴A点坐标为(-6,0).
(2)①证明:如图,连接CP并延长交☉P于点F,连接FO,OC,AC,AB,OB,
∵CE是☉P的切线,
∴FC⊥CE,即∠ECO+∠FCO=90°,
∵CF是直径,
∴∠COF=90°,∴∠CFO+∠FCO=90°,
∴∠ECO=∠CFO,
又∠CFO=∠CAO,∴∠ECO=∠CAO,
∵B是抛物线的顶点,∴AB=OB,
∴∠ACB=∠OCB,
又∠CDE=∠CAO+∠ACB,∠ECD=∠ECO+∠OCB,
∴∠CDE=∠ECD,
∴CE=DE.
②如图,连接AB,√3 √3 √3
当a= 时,y= x2+2√3x= (x+3)2-3√3,
3 3 3
∴B(-3,-3√3),
易求AB=OB=OA=6,
∴△ABO是边长为6的等边三角形,
∵∠CAE=∠OBE,∠CAE=∠CBO,
∴∠CBO=∠OBE.
∵∠ADB=∠AOB+∠CBO=60°+∠CBO,∠ABE=∠ABO+∠OBE=60°+∠OBE,
∴∠ADB=∠ABE,又∠BAE为公共角,
AB AD
∴△ABD∽△AEB,∴ = ,
AE AB
即AB2=AD·AE=(OA-OD)(OA+OE),
∴62=(6-OD)(6+OE),整理得OD·OE=6(OE-OD),
OE-OD 1 1 1 1
即 = ,∴ - = .
OD·OE 6 OD OE 6
