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2019 年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．4x2﹣2x＝2x
3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
5．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的
芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖
通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒
麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°
D．旋转不改变图形的形状和大小
7．（3分）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝ ，则阴影部分的面积是（ ）A．4π B．3π C．2π D．π
8．（3分）如图，边长为2 的等边△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
9．（3分）将y＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的
解析式为（ ）
A．y＝ +1 B．y＝ ﹣1 C．y＝ +1 D．y＝ ﹣1
10．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则 解集为
（ ）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜3
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的 多次
复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒 π米的速度沿曲线向右运动，则在
第2019秒时点P的纵坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数 的自变量x的取值范围是 ．14．（3分）如图，随机闭合开关S，S，S中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
1 2 3
15．（3分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为 ．
16．（3分）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
17．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为 + ，则方程的另一根为 ．
18．（3分）已知点P（x，y）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝ ，例如：点（0，1）到直线y
0 0
＝2x+6的距离d＝ ＝ ．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为
．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1+|﹣ |﹣2sin60°
20．（6分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ）．其中a＝ ﹣1，b＝ +1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社
会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居
民，根据采访情况制做了如统计图表：
关注程度 频数 频率
A．高度关注 m 0.4
B．一般关注 100 0.5
C．没有关注 20 n
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ，m＝ ，n＝ ．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
22．（8分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶
A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶
A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
24．（9分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的
延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE
＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D
（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019 年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的）
1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．
故选：A．
2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；
B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；
C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；
D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．
故选：B．
3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝ AC，
同理，GH∥AC且GH＝ AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，
从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，
故选：C．
5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．
故选：B．
6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；
C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；
D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选：C．
7．【解答】解：双曲线y＝ 的图象关于x轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得
到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为180°，半径为2，
所以：S ＝ ＝2π．
阴影
故选：C．
8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，
∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝ AB＝ ，
在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝ ＝tan30°，
∴OH＝ × ＝1，
即△ABC内切圆的半径为1．
故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
y＝ 的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝ ；
由“上加下减”的原则可知，
函数y＝ 的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝ +1．
故选：C．
10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），
∴ 解集为﹣2＜x＜3，
故选：D．
11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同
的交点，
∴b﹣2a＞0，b＜0；
△＝b2﹣4ac＞0；
abc＞0；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；
∴只有④是正确的；
故选：A．
12．【解答】解：点运动一个 用时为 ÷ π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与 交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝ ∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，
∴CD＝ AC＝ ×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率：P＝ ，
故答案为： ．
15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A，
∴∠2＝∠1＝28°，
故答案为：28°．
16．【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝ AB＝ ×2＝1．
故答案为1．
17．【解答】解：设方程的另一个根为c，
∵（ + ）c＝3，
∴c＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，
因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝ ＝ ＝2 ，
因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，
所以这两条平行线之间的距离为2 ．
故答案为2 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．【解答】解：原式＝1﹣2+ ﹣2×
＝1﹣2+ ﹣
＝﹣1．
20．【解答】解： ÷（ ﹣ ）
＝
＝
＝ab，当a＝ ﹣1，b＝ +1时，原式＝（ ﹣1）×（ +1）＝1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），
m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；
故答案为200，80，0.4；
（2）补全图中的条形统计图
（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），
答：高度关注新高考政策的约有600人．
22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．
∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，
∴BE＝AE＝x米．
在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，
∴BC＝ ＝ ＝24（米），
∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，
∴AF＝EC＝（x+24）米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，
∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，
∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，
∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．
故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
24．【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OB，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，
∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，
∴△ACD∽△BDE，
∴ ＝ ，
∴CD•BE＝AD•DE．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C．
∴在△AEH与△CGF中， ，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：
如图，连接AC，BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
∵E、H分别是边AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝ BD．
同理，FG＝ BD，EF＝HG＝ AC．∴ （EH+HG+GF+EF）＝ （AC+BD）＝AC．
∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．
26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S ＝ ×OG（x﹣x）＝ （3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+ m+3，
△POD D P
∵﹣1＜0，故S 有最大值，当m＝ 时，其最大值为 ；
△POD
（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝3 ，AC＝ ，
过点A作AH⊥BC与点H，S ＝ ×AH×BC＝ AB×OC，解得：AH＝2 ，
△ABC
则sin∠ACB＝ ＝ ，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x＝ （舍去负值），
故点Q（ ，﹣2 ）
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC＝ ＝3＝tan∠BOQ，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，
联立①③并解得：x＝ ，
故点Q（ ， ）；
综上，点Q（ ，﹣2 ）或（ ， ）．
