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2018 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分）
1.﹣2018的相反数是（ ）
A. 2018 B. ﹣2018 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行求解即可.
【详解】-2018与2018只有符号不同，
所以-2018的相反数是2018，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较
高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、 轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后
可重合．
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A. x≥3 B. x＜3 C. x≠3 D. x＝3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：x-3≠0，
解得：x≠3，
故选C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
4.如图几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．
【详解】由图可得，几何体的主视图如图所示：
故选B.
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两个闭合线框常不在一个平面上．
5.下列运算正确的是（ ）
A. m2+2m3＝3m5 B. m2•m3＝m6 C. （﹣m）3＝﹣m3 D. （mn）3＝mn3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．
【详解】A. m2与2m3不是同类项，不能合并，故错误；
B. m2•m3＝m5，故错误；
C. (﹣m)3＝﹣m3，正确；
D. (mn)3＝m3n3，故错误，
故选C.
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的
乘方的运算法则．
6.已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A. 45，48 B. 44，45 C. 45，51 D. 52，53
【答案】A
【解析】
【分析】
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
【详解】数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，
所以这组数据的众数为45，中位数为 ×(45+51)=48，
故选A.
【点睛】本题考查了众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键.一组数据中
出现次数最多的数据叫做众数．一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的数(或中间两个数的平均
数)叫做这组数据的中位数．
7.下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
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D. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判
断；根据三角形中位线性质对D进行判断．
【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；
D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题，
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式． 有些
命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形的判定方
法、三角形中位线的性质等.
8.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴ ADC∽ ACB，
△ △
∴ ，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
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∴AC=4，
故选B.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
9.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y （b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于 轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所
以反比例函数y 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于 轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例
函数y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于 轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 5函数y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于 轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例
函数y 的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与
图象位置之间关系．
10.甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比
为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，
这是因为（ ）
A. 商贩A的单价大于商贩B的单价
B. 商贩A的单价等于商贩B的单价
C. 商版A的单价小于商贩B的单价
D. 赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
【答案】A
【解析】
【分析】
设商贩A处西瓜的单价为a，商贩B处西瓜的单价为b，根据题意列出不等式进行求解即可得.
【详解】设商贩A处西瓜的单价为a，商贩B处西瓜的单价为b，
则甲的利润=总售价﹣总成本= ×5﹣(3a+2b)=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0，
∴0.5b﹣0.5a＜0，
∴a＞b，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11.截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表
示为_____．
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【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝
对值<1时，n是负数．
【详解】2.4亿=240000000，240000000的小数点向左移动8位得到2.4，
所以2.4亿用科学记数法表示为2.4×108，
故答案为2.4×108．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.因式分解：x2﹣1＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式分解即可．
详解】x2﹣1
=(x+1)(x﹣1)，
故答案为(x+1)(x﹣1).
【点睛】本题考查了因式分解 运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝_____．
【答案】75°．
【解析】
【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 7【详解】∵∠CEA＝60°，∠BAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠CEA﹣∠BAE＝75°，
∴∠BDC＝∠ADE＝75°，
故答案为75°．
【点睛】本题考查了三角板的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键.
14.化简：（1 _____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】(1+ )÷
=
=
= ，
故答案为 .
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
15.在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球
前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到
红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____．
【答案】100．
【解析】
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在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出
方程求解．
【详解】由题意可得， =0.03，
解得，n=100，
故估计n大约是100，
故答案为100.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位
置，则 的长为_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
由点A(1，1)，可得OA的长，点A在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即
可．
【详解】∵A(1，1)，
∴OA= ，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB=45°，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 9∴ 的长为 = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.
本题中求出OA= 以及∠AOB=45°也是解题的关键．
17.对于任意大于0的实数x、y，满足：log （x•y）＝log x+log y，若log 2＝1，则log 16＝_____．
2 2 2 2 2
【答案】4．
【解析】
【分析】
利用log (x•y)＝log x+log y，得到log 16＝log 2+ log 2+ log 2+ log 2，然后根据log 2进行计算即可．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
【详解】∵log (x•y)＝log x+log y，
2 2 2
∴log 16= log (2×2×2×2)＝log 2+ log 2+ log 2+ log 2，
2 2 2 2 2 2
∵log 2＝1，
2
∴log 16=1+1+1+1=4，
2
故答案为4．
【点睛】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
18.现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到
输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有_____种．
【答案】4．
【解析】
【分析】
根据点A、B可以在直线的同侧或异侧两种情形讨论即可.
【详解】当A、B位于输出油管道的同侧时，若输油管道与AB平行，且到AB的距离为0.5km，则符合题
目要求，有两种方案，如解图中直线a和b所示；
当A、B在输油管道的两侧时，有两种情况，如图所示，输油管道经过线段AB的中点且与AB的夹角为
30°时，点AB到输油管道的距离为0.5km符合要求，有两种方案，如图中的直线c和d所示，
综上所述，有4种符合题目要求的设计方案，
故答案为4.
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 10【点睛】本题考查整体 应用与设计，涉及了点到直线的距离和30°角的直角三角形的性质，关键是灵活
画图确定点到直线的距离，有一定的难度，容易漏答案.
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19.计算：2﹣1 sin60°+|1 |．
【答案】1．
【解析】
【分析】
按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、立方根运算以及化简绝对值，然后再按运算顺
序进行计算即可.
【详解】2﹣1 sin60°+|1 |
= 2
＝1．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简等知识，熟练掌握
相关的运算法则是解题的关键.
20.解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中每个不等式的解集，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出来．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 11【详解】 ，
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，在数轴上表示出来为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
21.永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生
到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、
“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形
统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概
率为 ．
【答案】（1）40；（2）15%；（3）作图见解析；（4） ．
【解析】
【分析】
(1)依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；
(2)依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 12(3)依据“德文化”的学生数为40-12-8-10-6=4，即可补全条形统计图；
(4)设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概
率．
【详解】(1)参观的学生总人数为12÷30%＝40(人)，
故答案为40；
(2)喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 100%＝15%，
故答案为15%；
(3)“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6＝4，条形统计图如下：
(4)设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况，
∴甲同学被选中的概率是： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率，仔细识图，从中找到必要的解
题信息是关键.本题也用到了知识点：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的
中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 13（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）9 ．
【解析】
分析】
(1)在 Rt ABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE AB，BE AB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由
△
AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因为
△∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四边形BCFD是平行四边形；
(2)在Rt ABC中，求出BC，AC即可解决问题.
【详解】△(1)在 ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°△，
在等边 ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∵E为△AB的中点，∴AE＝BE，
又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，
在 ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，
△
∴CE AB，BE AB，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，
又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，
又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，
又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 14(2)在Rt ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
△
∴BC AB＝3，AC= =3 ，
∴S ＝3 ．
平行四边形BCFD
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、勾股定理
等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
23.在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和
妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
【答案】小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．
【解析】
【分析】
设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=55、男生
人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．
【详解】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，
依题意得： ，
解得 ，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．弄清题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
24.如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦
BE与线段CD相交于点F．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 15（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE ，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O
的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到 ，则可证明 ，然后根据圆周角定理
得∠CBE＝∠GCB，从而得到CF＝BF ；
(2)连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE ，再在Rt OBH中利用解直角三角形得到BH
△
，OH ，接着证明 OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结
△
论．
【详解】(1)延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，∴ ，
，∴ ，
∴∠CBE＝∠GCB，
∴CF＝BF；
(2)连接OC交BE于H，如图，
∵ ，∴OC⊥BE，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 16在Rt OBH中，cos∠OBH ，
△
∴BH ，
∴OH
，
∴ ，而∠HOB＝∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM＝∠OHB＝90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练
运用相关知识是解题的关键.
25.如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，
3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点
G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线
相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 17【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．
【解析】
分析】
(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；
(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值
最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N(m，﹣
m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明 QMN∽△ADB，列比例式可得
MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明 NGP∽△△ADB，同理得PG的长，从而得
OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即△可．
【详解】(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；
(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k′x+b′，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得 ，解得 ，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 18把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得 ，解得 ，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴ ，∴ ，
∴MN (m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴ ，∴PG NG m，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3 m＝﹣m2 m+3，
∴S OP•GN (﹣m2 m+3)•m，
PON
△
当m＝2时，S 2(﹣4+3+3)＝2．
PON
△
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 19【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次
函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于
m的方程是解题答问题(3)的关键．
26.如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上
的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD ．矩形DFGI恰好为正方形．
（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上
时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形
DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．
【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．
【解析】
【分析】
(1)由HI∥AD，得到 ，求出AD即可解决问题；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 20(2)如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；
(3)如图3中，如图将 DMI′绕点D逆时针旋转90°得到 DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′
+NF′，即可解决问题.△ △
详解】(1)∵HI∥AD，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝6，
∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的边长为2；
(2)三角形，理由如下：
如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．
∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，
∵HG′∥PA，
∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，
∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，
∴IH＝IG′＝DF′＝3，
∵IG∥DB，∴ ，
∴ ，∴DB＝3，
∴DB＝DF′＝3，∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与 CBP重叠部分是 BGG′，
△ △
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 21∴移动后的矩形与 CBP重叠部分的形状是三角形；
(3)如图3中，如图△将 DMI′绕点D逆时针旋转90°得到 DF′R，此时N、F′、R共线．
△ △
∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，
∵DN＝DN，DM＝DR，
∴△NDM≌△NDR，
∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，
∴△MNG′的周长＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造
全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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