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2018 年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 8 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判
断.
【详解】设第三边长为x，则有
7-3<x<7+3，
即4<x<10，
观察只有C选项符合，
故选C.
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键.
3. 已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，根据a、b的范围，即可判断各选项的对错.
【详解】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，则有
A、a＜b，故A选项错误；
B、|a|>|b|，故B选项错误；
C、ab＜0，故C选项错误；
D、-a＞b，故D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断．
4. 若一次函数 的函数值 随 的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．
【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大
而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
5. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别
是 ， ， ， ，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，
数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定.
【详解】∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵平均数一样，∴派甲去参赛更合适，
故选A.
【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键.
6. 如图，已知 是 的角平分线， 是 的垂直平分线， ， ，则 的长为（
）
A. 6 B. 5 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得
CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是 ABC的角平分线，
∴∠ABD△=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3 ，
故选D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余
弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
7. 把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．
【详解】从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
观察只有D选项符合，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从
上面看到的图叫做俯视图．
8. 阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定： ，
例如： .二元一次方程组 的解可以利用 阶
行列式表示为： ；其中 ， ， .问题：对于用上面的方法解二
元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
A. B. C. D. 方程组的解为【答案】C
【解析】
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【详解】A、D= =2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、D= =﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
x
C、D= =2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
y
D、方程组的解：x= =2，y= =﹣3，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材
料中提供的方法进行解答是关键.
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8 的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.
10. 分式方程 的解为 __________．
【答案】-1
【解析】
【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.
【详解】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，
解得：x=-1，
检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=-1是分式方程的解，
故答案为-1.
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
11. 已知太阳与地球之间的平均距离约为 千米，用科学记数法表示为______千米．
【答案】1.5×108
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数
点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，
n是负数．
【详解】150 000 000将小数点向左移8位得到1.5，
所以150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108，
故答案为1.5×108．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 一组数据是3， ，2，4，1，0， 的中位数是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据中位数的定义进行求解即可得．
【详解】解：将数据从小到大进行排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，
所以这组数据的中位数为1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的
数（或中间两数的平均数）是解题的关键．
13. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可能是__________（只写一
个）．
【答案】6
【解析】
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式 =b2-4ac＞0，建立关于b的不等式，求出b的取值范围，
△然后在b的取值范围内任意写一个数即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
解得：b＜﹣2 或b＞2 ，
故答案可以为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：
（1） ＞0 方程有两个不相等的实数根； △
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
△
14. 某校对初一全体学生进行一次视力普查，得到如下统计表，视力在 这个范围的频率为
__________．
【答案】0.35
【解析】
【分析】先求出视力在4.9≤x<5.5这个范围内的频数，然后根据“频率=频数÷总数”进行计算即可得答案.
【详解】视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，
则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为： =0.35，
故答案为0.35．
【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义是解题的关键.
15. 如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，点 落在点 处，已知 ，
连接 ，则 __________．【答案】75°
【解析】
【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH
﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证
∠AGB=∠BGH，据此可得答案．
【详解】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠EGB，
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠AGB=∠BGH，
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB= ∠AGH=75°，
故答案为75°．
【点睛】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16. 5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉
他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报4
的人心里想的数是__________．
【答案】9
【解析】【分析】
设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即
可．
【详解】设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数
是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，
所以有x﹣12+x=2×3，
解得x=9，
故答案为：9．
【点睛】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．一般地，当
数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进
行整合，问题即可解决．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17. 计算： .
【答案】-2.
【解析】
【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂 的运算，然后再按运算顺序
进行计算即可得.
【详解】原式=1﹣（2 ﹣1）+2 ﹣4，
=1﹣2 +1+2 ﹣4，
=﹣2．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、
二次根式、绝对值等的运算．
18. 求不等式组 的正整数解.
【答案】正整数解是1，2，3，4．
【解析】
【分析】
先分别求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法得到解集，即可得到正整数解．【详解】解： ，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤ ，
不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“大大取大，小小取小，大
小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19. 先化简，再求值： ，其中 .
【答案】
【解析】
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后把数值代入化简后的结果进行
计算即可得.
【详解】原式=[ + ]×（x﹣3）2
= ×（x﹣3）2
=x﹣3，
当x= 时，原式= ﹣3=﹣ ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20. 如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2） 请根据图象直接写出 时 的取值范围.
【答案】反比例函数的解析式为y= ．一次函数的解析式为y= x﹣1．（2）x＜﹣2或0＜x＜4．
2
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 的值，进而可得出反比例函数的解
2
析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待
定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y＜y 时x的取值范围．
1 2
【详解】（1）∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（4，1），
2 2
∴k=4×1=4，
2
∴反比例函数的解析式为y= ，
2
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y= 的图象上，
2
∴n=4÷（﹣2）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y=kx+b，
1 1
，解得： ，∴一次函数的解析式为y= x﹣1；
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴y＜y 时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
1 2
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关
键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置
关系，找出不等式y＜y 的解集．
1 2
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21. 某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月
份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两
种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需
要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【答案】（1）该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．（2）需要支付这两种水果的货款最少
应是1500元．
【解析】
【分析】
（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进
数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不
等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题
【详解】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得： ，
解得： ，
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400，∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90，
∵k=﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500，
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，弄清题意，找准等
量关系列出方程组，找出各数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.
22. 图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 米，且两扇门的大小相同（即 ），将左边的门
绕门轴 向里面旋转 ，将右边的门 绕门轴 向外面旋转 ，其示意图如图2，求
此时 与 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据： ， ， ）
【答案】1.4米.
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在
Rt ABE、Rt CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt MEF中利用勾股定理
即△可求出EM△的长，此题得解． △
【详解】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE△=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8，在Rt CDF中，CD=1，∠D=45°，
.
∴CF△=CD•sin∠D≈07，DF=CD•cos∠D≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
△
∴EM= ≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直
角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23. 校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查
结果绘制的不完整的统计图：
请你根据统计图回答下列问题：
（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图；
（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
【答案】（1）28%，补图见解析；（2）60名；（3）144°；（4） .
【解析】
【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然
后补全条形统计图；
（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生
数；
（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；
（4）画树状图可得所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据
概率公式求解．
【详解】（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比= ×100%=28%，
补全条形统计图如下：
（2）500×12%=60，
所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；
（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= ．【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图，列表法与树状图法求概率，准确识图，从图中找到相
关必要的信息是解题的关键.
24. 如图，已知 是等边三角形 的外接圆，点 在圆上，在 的延长线上有一点 ,使 ,
交 于 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得
ADF是等边三角形，证明 BAD≌△CAF，可得结论．
△【详解】（1）连接OD， △
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在 BAD和 CAF中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，熟练掌握等边
三角形的性质是关键．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25. 如图，已知二次函数的图像过点 , ,与 轴交于另一点 ,且对称轴是直线 .
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若 是 上的一点，作 交 于 ,当 面积最大时，求 的坐标；
（3） 是 轴上的点，过 作 轴，与抛物线交于 ,过 作 轴于 .当以 、 、 为顶点的三角形与 、 、 为顶点的三角形相似时，求 点的坐标.
【答案】（1）y= x2﹣ x；（2）M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y= x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为
y=2x﹣2t，再通过解方程组 得N（ t， t），接着利用三角形面积公式，利用S =S ﹣
AMN AOM
△ △
S 得到S = •4•t﹣ •t• t，然后根据二次函数的性质解决问题；
NOM AMN
△ △
（3）设Q（m， m2﹣ m），根据相似三角形的判定方法，当 = 时， PQO∽△COA，则| m2﹣ m|
△
=2|m|；当 = 时， PQO∽△CAO，则| m2﹣ m|= |m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对
△
应的P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x﹣6），即y= x2﹣ x；
（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y= x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组 得 ，则N（ t， t），
∴S =S ﹣S
△AMN △AOM △NOM
= •4•t﹣ •t• t
=﹣ t2+2t
=﹣ （t﹣3）2+3，
当t=3时，S 有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
△AMN
（3）设Q（m， m2﹣ m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当 = 时，△PQO∽△COA，即 = ，
∴PQ=2PO，即| m2﹣ m|=2|m|，解方程 m2﹣ m=2m得m=0（舍去），m=14，此时P点坐标为（14，28）；
1 2
解方程 m2﹣ m=﹣2m得m=0（舍去），m=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
1 2
∴当 = 时，△PQO∽△CAO，即 = ，
∴PQ= PO，即| m2﹣ m|= |m|，
解方程 m2﹣ m= m得m=0（舍去），m=8（舍去），
1 2
解方程 m2﹣ m=﹣ m得m=0（舍去），m=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
1 2
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法
求函数解析式、坐标与图形性质、运用相似比表示线段之间的关系等，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思
想解决问题是解题的关键．
26. 已知正方形 中 与 交于 点，点 在线段 上，作直线 交直线 于 ,过 作
于 ,设直线 交 于 .（1）如图，当 在线段 上时，求证： ；
（2）如图2，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： ；
（3）在图3，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先判断出 OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出
△DON≌△AOM即可得出结论；
（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得
出结论；
（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN= a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，
AC= （a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出
△DEN∽△ADE，得出 ，进而得出a= b，即可表示出CN= b，AC=
b，AN=AC﹣CN= b，即可得出结论．
【详解】（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
（2）连接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，
∵OD=OC，
∴DM=CN=EN，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴▱DENM是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
（3）设CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，∴CN= a，
设DE=b（b＞0），
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根据勾股定理得，AC= AD= （a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴ ，
∴ ，
∴a= b（已舍去不符合题意的）
∴CN= a= b，AC= （a+b）= b，
∴AN=AC﹣CN= b，
∴AN2=2b2，AC•CN= b• b=2b2
∴AN2=AC•CN．
【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三
角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判
断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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