2022 年湖南省株洲市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共10小题,每小题有且只有一个正确答案,每小题4分,共
40分)
1.(2022湖南株洲,1,4分)-2的绝对值等于 ( )
1 1
A.2 B. C.- D.-2
2 2
1
2.(2022湖南株洲,2,4分)在0、 、-1、√2这四个数中,最小的数是 ( )
3
1
A.0 B. C.-1 D.√2
3
3.(2022湖南株洲,3,4分)不等式4x-1<0的解集是 ( )
1 1
A.x>4 B.x<4 C.x> D.x<
4 4
4.(2022湖南株洲,4,4分)某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通
过的机动车的车速数据如下:67、63、69、55、65,则该组数据的中位数为 (
)
A.63 B.65 C.66 D.69
5.(2022湖南株洲,5,4分)下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a5 B.(a3)2=a5
C.(ab)2=ab2 D. a6=a3(a≠0)
a2
6.(2022湖南株洲,6,4分)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴
的交点的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.( 1 )
- ,0
5
C. (1 ) D.(0,1)
,0
5
{ y=x-1,①
7.(2022湖南株洲,7,4分)对于二元一次方程组 将①式代入②式,消
x+2y=7,②
去y可以得到 ( )
A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=78.(2022湖南株洲,8,4分)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB、AC
与☉O分别交于点D、E,点F是劣弧D´E上一点,且与D、E不重合,连接DF、EF,
则∠DFE的度数为( )
A.115° B.118° C.120° D.125°
9.(2022湖南株洲,9,4分)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点
O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是 ( )
1
A.OB= CE
2
B.△ACE是直角三角形
1
C.BC= AE
2
D.BE=CE
10.(2022湖南株洲,10,4分)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0、c>0,
则该函数的图象可能为 ( )
A BC D
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.(2022湖南株洲,11,4分)计算:3+(-2)= .
12.(2022湖南株洲,12,4分)因式分解:x2-25= .
13.(2022湖南株洲,13,4分)某产品生产企业开展有奖促销活动,将每6件产品
装成一箱,且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品,则
能中奖的概率是 .(用最简分数表示)
14.(2022湖南株洲,14,4分)A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防
控工作,人员结构统计如下表:
人员 领队心理医生专业医生专业护士
占总人数的百分比 4% ★ 56%
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 .
15.(2022湖南株洲,15,4分)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中
∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO=
度.
16.(2022湖南株洲,16,4分)如图所示,矩形ABCD顶点A、D在y轴上,顶点C
在第一象限,x轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数
k
y= 的图象经过点C,则k的值为 .
x
17.(2022湖南株洲,17,4分)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶
点A、B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= 度.18.(2022湖南株洲,18,4分)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有
“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:
“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均
相切)”,如图所示.
问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上
方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为 丈.
三、解答题(本大题共8小题,共78分)
19.(2022湖南株洲,19,6分)计算:(-1)2 022+√9-2sin 30°.
20.(2022湖南株洲,20,8分)先化简,再求值:( 1 )· x+1 ,其中x=4.
1+
x+1 x2+4x+4
21.(2022湖南株洲,21,8分)如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接
CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.
(1)求证:△AEF≌△DEC;
(2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
22.(2022湖南株洲,22,10分)如图(Ⅰ)所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶
点A处沿线段AC至山谷点C处,再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.
如图(Ⅱ)所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM为
0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=√2千米.
(1)求∠ACB的度数;(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
图Ⅰ 图Ⅱ
23.(2022湖南株洲,23,10分)某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动,邀请5名
老师作为专业评委,50名学生代表参与民主测评,且民主测评的结果无弃权票.某
作品的评比数据统计如下:
专业评委给分统计表
给分(单位:
专业评委
分)
① 88
② 87
③ 94
④ 91
⑤ 90
记“专业评委给分”的平均数为x.
(1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数;
(2)对于该作品,问x的值是多少?
(3)记“民主测评得分”为y,“综合得分”为S,若规定:
①y=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(-1)分;
②S=0.7x+0.3y.
求该作品的“综合得分”S的值.
24.(2022湖南株洲,24,10分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,点A、B分别
2 k
在函数y= (x<0)、y= (x>0,k>0)的图象上,点C在第二象限内,AC⊥x轴于
1 2
x x
点P,BC⊥y轴于点Q,连接AB、PQ,已知点A的纵坐标为-2.
(1)求点A的横坐标;
(2)记四边形APQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.25.(2022湖南株洲,25,13分)如图所示,△ABC的顶点A、B在☉O上,顶点C在
☉O外,边AC与☉O相交于点D,∠BAC=45°,连接OB、OD,已知OD∥BC.
(1)求证:直线BC是☉O的切线;
(2)若线段OD与线段AB相交于点E,连接BD.
①求证:△ABD∽△DBE;
②若AB·BE=6,求☉O的半径的长度.
26.(2022湖南株洲,26,13分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
(1)若a=1,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值;
(2)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,该二次函数的图象与x轴相交于不同的
两点A(x,0)、B(x,0),其中x<0<x、|x|>|x|,且该二次函数的图象的顶点在矩
1 2 1 2 1 2
形ABFE的边EF上,其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于点
3
P,且满足tan∠ABE= .
4
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
1 16
②若NP=2BP,令T= + c,求T的最小值.
a2 5
阅读材料:十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系
数之间的关系,可表述为“当判别式Δ≥0时,关于x的一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x、x有如下关系:x+x=- ,xx= ”.此关系通常
1 2 1 2 1 2
a a
被称为“韦达定理”.2022年湖南省株洲市初中学业水平考试
1.
A 由负数的绝对值是它的相反数知,-2的绝对值等于2.
2.
C 根据“正数大于0,负数小于0,正数大于负数”知,题中四个数中,最小的数是-1.
3.
1
D 移项,得4x<1;系数化为1,得x< .
4
4.
B 将这组数据由小到大排列为55,63,65,67,69,所以这组数据的中位数是65.
易错警示
确定中位数时,一定要先将已知数据按照大小顺序排
列.
方法总结
中位数的确定方法
5.
A 因为a2·a3=a2+3=a5,所以A选项运算正确;因为(a3)2=a3×2=a6,所以B选项运算不正确;因为
(ab)2=a2b2,所以C选项运算不正确;因为a6 =a6-2=a4,所以D选项运算不正确.
a2
6.D ∵当x=0时,y=1,∴一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为(0,1).
解后反思
一次函数图象与x轴交点的纵坐标为0,与y轴交点的横坐标为0.
7.
B 将①式代入②式,得x+2(x-1)=7,所以x+2x-2=7.
8.
C ∵四边形EFDA是☉O的内接四边形,
∴∠EFD+∠A=180°,
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,
∴∠EFD=180°-60°=120°.
9.
D ∵四边形ABCD是菱形,
1
∴AO=CO= AC,AC⊥BD,∵CE∥BD,
2
1
∴∠ACE=∠AOB=90°,BO= CE.
2
∴△ACE为直角三角形,
1
∴BC= AE.
2
∴选项A、B、C均正确,D无法判断.
10.
C ∵c>0,∴-c<0,∴二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)的图象与y轴的交点位于y轴的负半轴,故排除A、
b
D;对于B,由函数图象易知a>0,∵b>0,∴- <0,所以对称轴位于y轴左侧,易知B错误;同理,易
2a
知C正确.
疑难突破
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a的符号决定抛物线的开口方向,ab的符号决定抛物线对称
轴的大致位置,c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置.
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b
ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c
c<0 与y轴负半轴相交
11.
答案 1
解析 3+(-2)=+(3-2)=1.
12.
答案 (x+5)(x-5)
解析 利用平方差公式,得x2-25=(x+5)(x-5).
13.
1
答案
3
解析 ∵所有可能出现的结果数为6,其中能中奖的结果数为2,每种结果出现的可能性相同,
2 1
∴P(能中奖)= = .
6 3
14.
答案 40%
解析 根据各种人员占总人数的百分比之和为1,得该批医护工作人员中“专业医生”占总人数
的百分比为1-4%-56%=40%.
15.
答案 15°
解析 ∵OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON,
∴BO平分∠ABC,
∴∠OBM=∠OBN,
∵∠ABC=30°,∴∠ABO=15°.
小题突破
由到角两边距离相等的点在角的平分线上知,BO为∠ABC的平分线,所以∠ABO=15°.
16.
答案 3解析 如图所示,设BC与x轴交于点E,
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,
∴四边形DOEC是矩形,且矩形DOEC的面积是3.
设C(m,n),则OE=m,CE=n,∴mn=3,
k
∵点C在反比例函数y= 的图象上,
x
k
∴n= ,∴k=mn,
m
∴k=3.
17.
答案 48
解析 ∵五边形ABCDE是正五边形,
180°
∴∠EAB=(5-2)× =108°,
5
∵∠EAB是△AEO的外角,
∴∠AEO=∠EAB-∠MON=108°-60°=48°.
18.
答案 (8-2√2)
解析 如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连接OC,则OC⊥AC,
∵四边形是正方形,AB是对角线,
∴∠OAC=45°,
∴OA=√2OC=2√2(丈),
∴BN=AB-AN=10-2√2-2=(8-2√2)丈.
19.
1
解析 原式=1+3-2× =1+3-1=3.
2
20.解析 原式=(x+1 1 )· x+1
+
x+1 x+1 (x+2) 2
x+2 x+1
= ·
x+1 (x+2) 2
1
= ,
x+2
1 1
把x=4代入得,原式= = .
4+2 6
21.
证明 (1)在△AEF和△DEC中,
{
AE=DE,
∠AEF=∠DEC,
FE=CE,
∴△AEF≌△DEC(SAS).
(2)∵△AEF≌△DEC,
∴∠AFE=∠DCE,∴AB∥CD,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
22.
解析 (1)∵山坡②的坡度i=1∶1,
∴CN=BN,
又∵BN⊥CN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.
(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米.
在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=√2千米,∴BC=√2CN=2千米,
∴该登山运动爱好者走过的路程为AC+BC=1.2+2=3.2(千米).
答:该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.
易错警示
注意坡度是垂直高度与水平宽度的比,非垂直高度与坡面长度的
比.
23.
解析 (1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数为50-40=10(张).
答:该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数是10张.
88+87+94+91+90
(2)x= =90(分).
5
答:x的值是90分.
(3)y=40×3+10×(-1)=110(分).
S=0.7x+0.3y=0.7×90+0.3×110=96(分).
答:该作品的“综合得分”S的值为96分.
24.
2
解析 (1)将y=-2代入y= (x<0)中,
1
x
2
得-2= ,解得x=-1,
x
∴点A的横坐标为-1.
(2)由题意可得B( k),
2,
2
∵AC⊥x轴,BC⊥y轴,
∴C( k),
-1,
2
∴S=S -S
△ABC △PCQ
1 1
= AC·BC- PC·CQ
2 2
=1( k)(2+1)-1×k×1
2+
2 2 2 2
3k k
=3+ -
4 4
k
=3+ .
2
25.
解析 (1)证明:∵∠BAC=45°,
∴∠BOD=2∠BAC=90°,∴OD⊥OB,
∵OD∥BC,∴CB⊥OB,
∵OB为☉O的半径,
∴直线BC是☉O的切线.
(2)①证明:∵∠BOD=90°,OB=OD,
∴∠ODB=45°,∴∠BAC=∠ODB,
∵∠ABD=∠DBE,
∴△ABD∽△DBE.
②∵△ABD∽△DBE,
AB BD
∴ = ,∴BD2=AB·BE,
BD BE
∵AB·BE=6,∴BD2=6,
∵OD2+OB2=2OB2=BD2,
∴OB2=3,
∴OB=√3或-√3(舍去),
即☉O的半径的长度为√3.解后反思
(1)根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°,再由OD∥BC,可得CB⊥OB,即可求证;
(2)① 根据∠BOD=90°,OB=OD,可得∠BAC=∠ODB,即可求证;② 根据△ABD∽△DBE,可得
BD2=AB·BE,即BD2=6,再由勾股定理即可求解.
26.
分析 (1)将点(1,1)代入y=x2+3x+c.从而求出结果;
AE 3
(2)①(解法一)根据题意,表示出AE、AB,根据tan∠ABE= = 即可得出结果;②根据OP∥MN
AB 4
NP OM 1 16
得 = ,从而求出b的值,进而得到a、c之间的关系,代入T= + c即可求出T的最小
BP OB a2 5
值.
解析 (1)将a=1,b=3代入y=ax2+bx+c(a>0),
得y=x2+3x+c,
将(1,1)代入y=x2+3x+c,
得1=12+3×1+c,解得c=-3.
(2)①∵(x-x)2=(x+x)2-4xx=b2-4ac,
2 1 1 2 1 2
a2
∴x-x=√b2-4ac,
2 1
a
∴AB=√b2-4ac.
a
∵抛物线的顶点坐标为( b 4ac-b2 ),
- ,
2a 4a
b2-4ac
∴AE= ,
4a
b2-4ac
∴tan∠ABE=AE= 4a =3.
AB √b2-4ac 4
a
∴ =3,
√b2-4ac
∴b2-4ac=9.
②解法一:∵b2-4ac=9,
-b+3
∴x= =OB,
2
2a∵OP∥MN,
NP OM
∴ = =2,
BP OB
b -b+3
∴OM∶OB= ∶ =2,∴b=2,
2a 2a
∴b2-4ac=22-4ac=9,
5
∴c=- ,
4a
∴T= 1 +16·( 5 )=(1 ) 2 -4,
- -2
a2 5 4a a
1
∴当a= 时,T取得最小值,最小值为-4.
2
NP OM
解法二:设B(t,0),∵OP∥MN,∴ = =2,
BP OB
∴OM=2OB.
由二次函数图象的性质可知MA=MB,
∴MA=MB=OM+OB=3OB,
∴OA=MA+OM=5OB,则A(-5t,0),
∴y=a(x-t)(x+5t)=a(x+2t)2-9at2,
即顶点坐标为(-2t,-9at2),
3 3 9
∴|-9at2|=AE= AB= ·[t-(-5t)]= t,
4 4 2
1
解得 =2t,
a
c
又∵xx= =t·(-5t)=-5t2,
1 2
a
1 5
∴c=-5t2·a=-5t2· =- t,
2t 2
∴T= 1 +16c=(2t)2+16·( 5 )=4(t-1)2-4,
- t
a2 5 5 2
∴当t=1时,T取得最小值,最小值为-4.
方法总结
在实数范围内求二次函数y=ax2+bx+c最值的方法:
b 4ac-b2
(1)公式法,即当x=- 时,y = ;
2a 最值 4a
( b ) 2 4ac-b2 b
(2)配方法,即把二次函数y=ax2+bx+c配方成y=a x+ + 的形式,则当x=- 时,y
2a 4a 2a
4ac-b2
= ;
最值 4a
b
(3)代入法,即将x=- 求出后代入y=ax2+bx+c可得y的最值.
2a
