2022 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每小题给出的四个选项
中,选出符合要求的一项)
1.(2022湖南岳阳,1,3分)8的相反数是 ( )
1 1
A. B.8 C.- D.-8
8 8
2.(2022湖南岳阳,2,3分)某个立体图形的侧面展开图如图所示,它的底面是正
三角形,那么这个立体图形是 ( )
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.四棱柱
3.(2022湖南岳阳,3,3分)下列运算结果正确的是 ( )
A.a+2a=3aB.a5÷a=a5
C.a2·a3=a6 D.(a4)3=a7
4.(2022湖南岳阳,4,3分)某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售,连
续7天的销量(单位:袋)分别为105,103,105,110,108,105,108,这组数据的众
数和中位数分别是 ( )
A.105,108 B.105,105
C.108,105 D.108,108
5.(2022湖南岳阳,5,3分)如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的
度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.(2022湖南岳阳,6,3分)下列命题是真命题的是 ( )
A.对顶角相等
B.平行四边形的对角线互相垂直
C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形7.(2022湖南岳阳,7,3分)我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原
文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何?大
意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰
好取完,问:城中有多少户人家?在这个问题中,城中人家的户数为 ( )
A.25 B.75 C.81 D.90
8.(2022湖南岳阳,8,3分)已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数,m≠0),点
P(x,y)是该函数图象上一点,当0≤x≤4时,y≤-3,则m的取值范围是( )
P P P P
A.m≥1或m<0 B.m≥1
C.m≤-1或m>0 D.m≤-1
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)
9.(2022湖南岳阳,9,4分)要使√x-1有意义,则x的取值范围是 .
10.(2022湖南岳阳,10,4分)2022年5月14日,编号为B-001J的C919大飞机首
飞成功.数据显示,C919大飞机的单价约为653 000 000元,数据653 000 000用
科学记数法表示为 .
11.(2022湖南岳阳,11,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若
BC=6,则CD= .
3x
12.(2022湖南岳阳,12,4分)分式方程 =2的解为x= .
x+1
13.(2022湖南岳阳,13,4分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相
等的实数根,则实数m的取值范围是 .
14.(2022湖南岳阳,14,4分)聚焦“双减”政策落地,凸显寒假作业特色.某学校
评选出的寒假优质特色作业共分为四类:A(节日文化篇),B(安全防疫篇),C(劳
动实践篇),D(冬奥运动篇).下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图,则
B类作业有 份.15.(2022湖南岳阳,15,4分)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国
际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,赛道AB为东西方
向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向
上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 米(结果保留整数,参考数
据:√3≈1.732).
16.(2022湖南岳阳,16,4分)如图,在☉O中,AB为直径,AB=8,BD为弦,过点A
的切线与BD的延长线交于点C,E为线段BD上一点(不与点B重合),且OE=DE.
(1)若∠B=35°,则A´D的长为 (结果保留π);
DE
(2)若AC=6,则 = .
BE
三、解答题(本大题共8小题,满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
17.(2022湖南岳阳,17,6分)计算:|-3|-2tan 45°+(-1)2 022-(√3-π)0.
18.(2022湖南岳阳,18,6分)已知a2-2a+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1
的值.
19.(2022湖南岳阳,19,8分)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,BC上,AE=CF,
连接DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中,选择一个
合适的作为已知条件,使▱ABCD为菱形.
(1)你添加的条件是 (填序号);
(2)添加了条件后,请证明▱ABCD为菱形.20.(2022湖南岳阳,20,8分)守护好一江碧水,打造长江最美岸线.江豚,麋鹿,天
鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片.某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡
片,正面图案如图所示,它们除此之外完全相同.
(1)将这3张卡片背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,则抽取的卡片正面图案恰
好是“麋鹿”的概率为 ;
(2)将这3张卡片背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,不放回,再从剩余的两张卡
片中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法,求抽取的卡片正面图案恰好是
“江豚”和“天鹅”的概率.
k
21.(2022湖南岳阳,21,8分)如图,反比例函数y= (k≠0)与正比例函数
x
y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B,点C是点A关于y轴的对称点,连接
AC,BC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求△ABC的面积;
k
(3)请结合函数图象,直接写出不等式 <mx的解集.
x
22.(2022湖南岳阳,22,8分)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行,某班组
织学生参加全民健身线上跳绳活动,需购买A,B两种跳绳若干.若购买3根A种
跳绳和1根B种跳绳共需140元;若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300
元.
(1)求A,B两种跳绳的单价各是多少元;
(2)若该班准备购买A,B两种跳绳共46根,总费用不超过1 780元,那么至多可
以购买B种跳绳多少根?
23.(2022湖南岳阳,23,10分)如图,△ABC和△DBE的顶点B重合,
∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2.AD
(1)特例发现:如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,可以得出结论: =
CE
,直线AD与直线CE的位置关系是 ;
(2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点D恰好落在线
段AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明
理由;
(3)拓展运用:如图3,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°),连接
AD、EC,它们的延长线交于点F,当DF=BE时,求tan(60°-α)的值.
图1 图2
图3
24.(2022湖南岳阳,24,10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
F:y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(1,0).
1
(1)求抛物线F的解析式;
1
(2)如图2,作抛物线F,使它与抛物线F关于原点O成中心对称,请直接写出抛
2 1
物线F的解析式;
2
(3)如图3,将(2)中抛物线F向上平移2个单位,得到抛物线F,抛物线F与抛物
2 3 1
线F相交于C,D两点(点C在点D的左侧).
3
①求点C和点D的坐标;
②若点M,N分别为抛物线F和抛物线F上C,D之间的动点(点M,N与点C,D
1 3
不重合),试求四边形CMDN面积的最大值.图1
图2 图32022年湖南省岳阳市中考数学试卷
1.
D 8的相反数是-8,故选D.
2.
C 由题图可知,这个立体图形是三棱柱,故选C.
3.
A 选项A中,a+2a=3a,故本选项正确;
选项B中,a5÷a=a4,故本选项错误;
选项C中,a2·a3=a5,故本选项错误;
选项D中, =a12,故本选项错误.
(a4
)
3
故选A.
4.
B 将 数 据 105,103,105,110,108,105,108 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为
103,105,105,105,108,108,110,最中间的数据(第4个数据)为105,所以这组数据的中位数为
105.因为105出现的次数最多,所以这组数据的众数为105.故选B.
5.
C 如图,∵CD⊥l,∴∠CDE=90°,
∴∠CED=180°-∠CDE-∠C=180°-90°-40°=50°.
∵l∥AB,∴∠1=∠CED=50°.
故选C.
6.
A 选项A中,对顶角相等,故本选项正确;
选项B中,平行四边形的对角线互相平分,故本选项错误;
选项C中,三角形的内心是它的三个内角的平分线的交点,故本选项错误;
选项D中,三角分别相等的两个三角形是相似三角形,不一定是全等三角形,故本选项错误.
故选A.
7.
1
B 设城中有x户人家,依题意,得x+ x=100,
3
解得x=75.故选B.
8.
A ∵y=mx2-4m2x-3=m(x-2m)2-4m3-3,
∴二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数,m≠0)的图象的对称轴为直线x=2m.
①当m<0时,2m<0,∴图象的开口向下,对称轴在y轴左侧,
∴当0≤x ≤4时,y 随x 的增大而减小.
P P P
又当x =0时,y =-3,
P P∴当0≤x ≤4时,y ≤-3,
P P
∴m<0.
②当m>0时,2m>0,∴图象的开口向上,对称轴在y轴右侧,
∴当0≤x ≤4时,y 随x 的增大而减小或y 随x 的增大先减小后增大.
P P P P P
当x =0时,y =-3;
P P
当x =4时,y =16m-16m2-3≤-3,∴m≤0或m≥1,(利用一元二次方程的解法可得16m-16m2-3=-3的解
P P
为m=0,m=1,利用相应函数图象可得16m-16m2-3≤-3的解集为m≤0或m≥1)
1 2
∴m≥1.
综上,m<0或m≥1.
故选A.
9.
答案 x≥1
解析 ∵√x-1有意义,∴x-1≥0,∴x≥1.
10.
答案 6.53×108
解析 653 000 000=6.53×108.
11.
答案 3
解析 ∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
1 1
∴BD=CD= BC= ×6=3.
2 2
12.
答案 2
3x
解析 =2.
x+1
方程两边同乘x+1,得3x=2(x+1).
解这个整式方程得x=2.
检验:当x=2时,x+1=3≠0,
所以x=2是原分式方程的解.
13.
答案 m<1
解析 ∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=22-4×1×m>0,解得m<1,
∴实数m的取值范围是m<1.
14.
答案 20
解析 由统计图可知,C类作业有30份,占作业总份数的30%,
∴作业的总份数为30÷30%=100(份),
∴B类作业的份数为100-25-30-25=20(份).
15.
答案 87
解析 如图,过点P作PH⊥AB于点H,则∠APH=30°,∠BPH=60°.x
AH
设AH=x米,则在Rt△APH中,PH= =√3=√3x(米),
tan30°
3
在Rt△PBH中,BH=PH·tan 60°=√3x·√3=3x(米).
∵AB=AH+BH,∴x+3x=200,∴x=50,
∴PH=√3x=50√3≈50×1.732=86.6≈87(米).
16.
14π 25
答案 (1) (2)
9 39
1
解析 (1)∵AB=8,∴OA=OB= AB=4.
2
∵∠B=35°,∴∠AOD=2∠B=70°,
70π×4 14π
∴A´D的长= = .
180 9
(2)如图,连接AD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
∵AC与圆O相切,
∴∠BAC=90°.
∵AB=8,AC=6,
∴BC= = =10,
√AB2+AC2 √82+62
AB·AC 8×6
∴AD= = =4.8,
BC 10
∴BD= = =6.4.
√AB2-AD2 √82-4.82
∵OE=DE,OB=OD,
∴∠EOD=∠EDO,∠B=∠BDO,
∴∠EOD=∠B,又∠EDO=∠BDO,
∴△EOD∽△OBD,
OE OD OE 4
∴ = ,即 = ,
OB BD 4 6.4
∴OE=2.5,
∴DE=OE=2.5,
∴BE=BD-DE=6.4-2.5=3.9,
DE 2.5 25
∴ = = .
BE 3.9 3917.
解析 原式=3-2×1+1-1=1.
18.
解析 ∵a2-2a+1=0,∴a2-2a=-1,
∴a(a-4)+(a+1)(a-1)+1
=a2-4a+a2-1+1
=2a2-4a
=2(a2-2a)
=2×(-1)
=-2.
19.
解析 解法一:(1)①.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
{∠1=∠2,
在△ADE和△CDF中, ∠A=∠C,
AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
解法二:(1)③.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
{∠A=∠C,
在△ADE和△CDF中, AE=CF,
∠3=∠4,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
一题多解
(1)②.
(2)如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点F作FN⊥CD于点N,
∴∠AME=∠DME=∠CNF=∠DNF=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
{∠AME=∠CNF,
在△AME和△CNF中, ∠A=∠C,
AE=CF,
∴△AME≌△CNF(AAS),∴AM=CN,ME=NF.
{DE=DF,
在Rt△DME和Rt△DNF中,
ME=NF,
∴Rt△DME≌Rt△DNF(HL),
∴DM=DN.
∴AM+DM=CN+DN,即AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
20.
1
解析 (1) .
3
(2)根据题意,列表如下:
第一
次
江豚 麋鹿 天鹅
第二次
(麋鹿,江 (天鹅,江
江豚 —
豚) 豚)
(江豚,麋 (天鹅,麋
麋鹿 —
鹿) 鹿)
(江豚,天 (麋鹿,天
天鹅 —
鹅) 鹅)
由表格可知,共有6种等可能的情况,其中抽到的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的情
2 1
况有2种,∴P(抽到的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”)= = .
6 3
21.
k
解析 (1)∵反比例函数y= (k≠0)的图象过点A(-1,2),
x
k
∴2= ,∴k=-2,
-1
2
∴反比例函数的解析式为y=- .
x
(2)∵正比例函数y=mx(m≠0)的图象过点A(-1,2),
∴2=-m,∴m=-2,
∴正比例函数的表达式为y=-2x.{y=-2x,
联立,得 解得{x=-1,或{ x=1,
2
y=- , y=2 y=-2,
x
∴点B的坐标为(1,-2).
∵点A(-1,2)与点C关于y轴对称,
∴点C的坐标为(1,2).
由点A,B,C的坐标可知AC∥x轴,BC∥y轴,
∴AC⊥BC,
1 1
∴S = AC·BC= ×2×4=4.
△ABC
2 2
k
(3)由图象可知,不等式 <mx的解集为x<-1或0<x<1.
x
22.
解析 (1)设A种跳绳的单价为x元,B种跳绳的单价为y元.
{3x+ y=140,
根据题意,得
5x+3 y=300,
{x=30,
解得
y=50.
答:A种跳绳的单价为30元,B种跳绳的单价为50元.
(2)设购买B种跳绳a根,则购买A种跳绳(46-a)根,
根据题意,得50a+30(46-a)≤1 780,
解得a≤20,
∴至多可以购买B种跳绳20根.
23.
解析 (1)√3;垂直.
提示:∵∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2,
∴∠BCA=∠BED=60°,
∴AB=BC×tan∠BCA=3×tan 60°=3×√3=3√3,
BD=BE×tan∠BED=2×tan 60°=2×√3=2√3.
当点D,E分别在AB,BC上时,AD=AB-BD=3√3-2√3=√3,EC=BC-BE=3-2=1,
AD √3
∴ = =√3.
CE 1
当点D,E分别在AB,BC上时,直线AD与直线CE的位置关系即直线AB与直线CB的位置关系,
是垂直.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:∵∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE,
∴∠ABD=∠CBE.
AB DB √3
在△BAD和△BCE中,∵∠ABD=∠CBE, = = ,
CB EB 1
∴△BAD∽△BCE,
AD AB √3
∴ = = =√3,∠BAD=∠BCE,
CE CB 1∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠BAD=90°,
即∠ACE=90°,
∴AD⊥CE.
(3)∵∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE,
∴∠ABD=∠CBE.
AB DB √3
在△BAD和△BCE中,∵∠ABD=∠CBE, = = ,
CB EB 1
∴△BAD∽△BCE,
AD AB √3
∴ = = =√3,∠BAD=∠BCE,
CE CB 1
∴∠BCF+∠BCE=∠BCF+∠BAD=180°.
∵四边形ABCF中,∠BCF+∠BAD+∠ABC+∠F=360°,∠ABC=90°,
∴∠F=90°.
{DE=ED,
在Rt△BDE和Rt△FED中,
BE=FD,
∴Rt△BDE≌Rt△FED(HL),
∴BD=FE.
又∵BE=DF,∴四边形BDFE是平行四边形.
又∵∠F=90°,∴四边形BDFE是矩形,
∴∠BEF=∠BDF=∠BDA=90°,EF=BD=2√3,
∴∠BAF=90°-α,
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-α-30°=60°-α.
在Rt△BEC中,EC= = = ,
√BC2-BE2 √32-22 √5
CF EF-EC EF-EC 2√3-√5 2√3-√5 8√5-9√3
∴tan∠CAF=tan(60°-α)= = = = = = .
AF AD+DF √3EC+DF √3×√5+2 √15+2 11
关键点拨
本题第(3)问的关键点是巧妙地将tan(60°-α)转化为tan∠CAF,前提是需先求出∠CAF的度
数(用含α的式子表示).
24.
解析 (1)∵抛物线F:y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(1,0),
1
{0=9-3b+c, {b=2,
∴ 解得
0=1+b+c, c=-3,
∴抛物线F 的解析式为y=x2+2x-3.
1
(2)抛物线F 的解析式为y=-x2+2x+3.
2
理由:由(1)知,抛物线F:y=x2+2x-3经过点A(-3,0)、点B(1,0)和点(0,-3).
1
∵抛物线F 与抛物线F 关于原点O成中心对称,
2 1
∴抛物线F 经过点(3,0)、点(-1,0)和点(0,3).
2设抛物线F 的解析式为y=mx2+nx+d,
2
将(3,0),(-1,0),(0,3)分别代入,
{0=9m+3n+d, {m=-1,
得 0=m-n+d, 解得 n=2,
d=3, d=3,
∴抛物线F 的解析式为y=-x2+2x+3.
2
(3)①由题意,得抛物线F 的解析式为y=-x2+2x+5,
3
联立,得{ y=x2+2x-3, 解得{x=-2,或{x=2,
y=-x2+2x+5, y=-3 y=5,
∴点C的坐标为(-2,-3),点D的坐标为(2,5).
②连接CD,将四边形CMDN分成△CDN与△CDM.
当点M,N运动时,若△CDN的面积与△CDM的面积分别取到最大值,则四边形CMDN的面积取
到最大值.
设过点C,D的一次函数的图象的解析式为y=kx+t,
{-3=-2k+t, {k=2,
则 解得
5=2k+t, t=1,
∴过点C,D的一次函数的图象的解析式为y=2x+1.
将直线y=2x+1向上平移,得到直线y=2x+g(g≠1),使直线y=2x+g与抛物线F 相切于点N,此时
3
△CDN的面积最大,
则-x2+2x+5=2x+g,化简,得x2+g-5=0,令Δ=0,则g=5.
联立,得{ y=2x+5, 解得{x=0,∴此时点N的坐标为(0,5).
y=-x2+2x+5, y=5,
将直线y=2x+1向下平移,得到直线y=2x+h(h≠1),使直线y=2x+h与抛物线F 相切于点M,此时
1
△CDM的面积最大,
则x2+2x-3=2x+h,化简,得x2-h-3=0,令Δ=0,则h=-3.
联立,得{ y=2x-3, 解得{ x=0, ∴此时点M的坐标为(0,-3).
y=x2+2x-3, y=-3,
∴当四边形CMDN的面积取到最大值时,点M的坐标为(0,-3),点N的坐标为(0,5),
又∵点C的坐标为(-2,-3),点D的坐标为(2,5),
∴CM∥x轴,DN∥x轴,∴CM∥DN.
又∵CM=DN=2,∴四边形CMDN是平行四边形,
∴四边形CMDN的最大面积为CM×(y -y )=2×(5+3)=16.
D C
方法总结
割补法是数学中重要的思想方法之一,主要分为“割形”与“补形”,是将复杂的、不规则
的、不易认识的几何图形,切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何图形,从而达到解决
问题的目的(求几何图形的面积).割补法重在割与补,巧妙地对几何图形实施割与补,变整体为
局部,化不规则为规则,化陌生为熟悉,化抽象为直观.
