2022 年湖南省张家界市中考数学真题
—、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,满分24分,在每个小题的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022湖南张家界,1,3分)-2 022的倒数是 ( )
1 1
A.2 022 B.- C.-2 022 D.
2 022 2 022
2.(2022湖南张家界,2,3分)我国是世界人口大国,中央高度重视粮食安全,要求
坚决守住1 800 000 000亩耕地红线.将 数据1 800 000 000用科学记数法表示
为 ( )
A.18×108 B.1.8×109
C.0.18×1010 D.1.8×1010
3.(2022湖南张家界,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的
是 ( )
A B C D
4.(2022湖南张家界,4,3分)下列计算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.2a2+3a3=5a5
C.(2a)2=4a2D.(a-1)2=a2-1
{x+1>0,
5.(2022湖南张家界,5,3分)把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选
x+3≤4
项正确的是( )
A B C
D
6.(2022湖南张家界,6,3分)某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优
秀的参加禁毒知识比赛,下表记录了四人3次选拔测试的相关数据:
甲 乙 丙 丁
平均分 95 93 95 94
方差 3.23.24.85.2
根据表中数据,应该选择 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.(2022湖南张家界,7,3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1(k≠0)和y=
k
(k≠0)的图象大致是 ( )
x
A B
C D
8.(2022湖南张家界,8,3分)如图,点O是等边三角形ABC内一点,
OA=2,OB=1,OC=√3,则△AOB与△BOC的面积之和为 ( )
√3 √3 3√3
A. B. C. D.√3
4 2 4
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)
9.(2022湖南张家界,9,3分)因式分解:a2-25= .
10.(2022湖南张家界,10,3分)从√2,-1,π,0,3这五个数中随机抽取一个数,恰
好是无理数的概率是 .
11.(2022湖南张家界,11,3分)如图,已知直线a∥b,∠1=85°,∠2=60°,则∠3=
.
5 3
12.(2022湖南张家界,12,3分)已知方程 = ,则x= .
x-2 x13.(2022湖南张家界,13,3分)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周
髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方
形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就.如图,已知大正方形
ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan∠ADF= .
3 5
14.(2022湖南张家界,14,3分)有一组数据:a= ,a= ,a=
1 2 3
1×2×3 2×3×4
7 2n+1
,……,a= .记S=a+a+a+…+a,则S = .
3×4×5 n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
三、解答题(本大题共9个小题,满分58分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的
题号后的答题区域内作答,必须写出运算步骤、推理过程或文字说明,超出答题
区域的作答无效.)
15.(2022湖南张家界,15,5分)计算:2cos 45°+(π-3.14)0+|1- |+(1) -1.
√2
2
16.(2022湖南张家界,16,5分)先化简( 1 )÷a-2+ a-1 ,再从1,2,3中
1-
a-1 2 a2-2a+1
选一个适当的数代入求值.
17.(2022湖南张家界,17,6分)如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中,
△AOB的顶点坐标分别为A(3,0),O(0,0),B(3,4).
(1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位,画出平移后的△AOB(不写作法,但要
1 1 1
标出顶点字母);
(2)将△AOB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△AOB(不写作法,但要标
2 2 2
出顶点字母);
(3)在(2)的条件下,求点B绕点O旋转到点B所经过的路径长(结果保留π).
218.(2022湖南张家界,18,5分)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开
通后,张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时,运行里程缩短了
40千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米,求高铁
的平均速度.
19.(2022湖南张家界,19,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
点E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF.
(1)求证:△ODE≌△FCE;
(2)试判断四边形ODFC的形状,并写出证明过程.
20.(2022湖南张家界,20,8分)为了有效落实“双减”政策,某校随机抽取部分
学生,开展了“书面作业完成时间”问卷调查.根据调查结果,绘制了如下不完整
的统计图表:
频数分布统计表
时间x(分
组别 频数
钟)
A 0≤x<20 6
B 20≤x<40 14
C 40≤x<60 m
D 60≤x<80 n
E 80≤x≤100 4扇形统计图
频数分布直方图
根据统计图表提供的信息解答下列问题:
(1)频数分布统计表中的m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)已知该校有1 000名学生,估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分
钟)的学生有多少人;
(4)若E组有两名男同学、两名女同学,从中随机抽取两名学生了解情况,请用列
表或画树状图的方法,求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
21.(2022湖南张家界,21,6分)阅读下列材料:
a b
在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,求证: = .
sin A sinB
证明:如图,过点C作CD⊥AB于点D,则
在Rt△BCD中,CD=asin B,
在Rt△ACD中,CD=bsin A,
∴asin B=bsin A,
a b
∴ = .
sin A sinB
根据上面的材料解决下列问题:
b
(1)如图1,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,求证: =
sinB
c
;
sinC(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图2,规划
中的一片三角形区域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80米,求这片区域的面
积.(结果保留根号.参考数据:sin 53°≈0.8,sin 67°≈0.9)
图1
图2
22.(2022湖南张家界,22,7分)如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C
是 的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
B´D
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=√3,求AD的长.
23.(2022湖南张家界,23,10分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x
轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标;
(2)若四边形BCEF为矩形,CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点
E运动,同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动,一点到达终点
另一点随之停止.当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时,求运动时间t
的值;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点P关于点D的对称点,点Q是x轴
下方抛物线上的动点.若过点Q的直线l:y=kx+m( 9)与抛物线只有一个公共
|k|<
4
点,且分别与线段GA、GB相交于点H、K,求证:GH+GK为定值.2022年湖南省张家界市中考数学真题
1
1.B 由“一个数与其倒数相乘等于1”得,-2 022的倒数是- .
2 022
2.B 1 800 000 000=1.8×109.
3.D 将一个图形沿某条直线对折,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称
图形;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形
叫做中心对称图形,易知选项D符合题意.
4.C a2·a3=a2+3=a5,A错误;2a2与3a3不是同类项,不能合并,B错误;(2a)2=22·a2=4a2,C正确;
(a-1)2=a2+1-2a,D错误.
5.D 解x+1>0,得x>-1,解x+3≤4,得x≤1,所以不等式组的解集为-1<x≤1,结合选项知D正确.
6.A 平均数能反映一组数据的平均水平,平均数越大,证明选手的得分越高;方差能反映一组数
据的稳定性,方差越小,证明选手发挥越稳定,易知应选择甲同学.
k
7.D 方法一:当k>0时,直线y=kx+1经过第一、二、三象限,反比例函数y= 的图象位于第一、
x
k
三象限;当k<0时,直线y=kx+1经过第一、二、四象限,反比例函数y= 的图象位于第二、四象
x
限,综上可知,选项D正确.
方法二:由y=kx+1知,直线y=kx+1一定与y轴交于正半轴,排除选项A、B;由C、D中直线
k
y=kx+1的走势可知,k<0,所以反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,所以C错误,D正确.
x
8.C 如图,将△AOB绕点B顺时针旋转60°,得到△CDB,连接OD,易知BD=BO=1,DC=OA=2.又
∠OBD=60°,∴△BOD为等边三角形,∴OD=1,∴OC2+OD2=(√3)2+12=4=CD2,∴△OCD为直角三角
形,
√3 √3 3√3
∴S +S =S +S =S +S = + = .
△AOB △BOC △BDC △OCB △OBD △OCD
4 2 4
疑难突破
当已知长度的三条线段共端点时,可通过构造全等三角形(题中出现等腰三角形时,通常通
过旋转进行构造),将已知线段集中在一个三角形中,本题中得到△OCD为直角三角形.
9.答案 (a+5)(a-5)
解析 a2-25=(a+5)(a-5).
2
10.答案
52
解析 ∵已知的五个数中,是无理数的为π,√2,共2个,∴抽到无理数的概率为 .
5
11.答案 35°
解析 如图,∵a∥b,∴∠5=∠2=60°,又∠4=∠1=85°,∴∠3=180°-∠5-∠4=35°.
12.答案 -3
解析 方程两边同乘x(x-2)得,5x=3(x-2),
解得x=-3.
经检验,x=-3是原方程的解.
3
13.答案
4
解析 由题意得AD=10,EF=2,设AF=x,则DE=x,
在Rt△ADF中,AF2+DF2=AD2,即x2+(x+2)2=102,
解得x=6(x=-8舍去).
AF 3
∴tan∠ADF= = .
DF 4
201
14.答案
182
2n+1 a b c
解析 将a 分成若干个分式的和,设 = + + ,
n n(n+1)(n+2) n n+1 n+2
去分母得2n+1=a(n+1)(n+2)+bn(n+2)+cn(n+1),
1 3
取n=0,得a= ;取n=-1,得b=1;取n=-2,得c=- ,
2 2
∴S=a+a+a+…+a
n 1 2 3 n
1 3 1 3 1 3
( ) ( ) ( )
= + + +…+a +a +a,
2 1 2 2 1 2 2 1 2 n-2 n-1 n
+ - + - + -
1 2 3 2 3 4 3 4 5
注意到,在连续的3项(每个小括号为一项)之间有如下关系:
第1项中第3个数恰好与第2项中第2个数及第3项中第1个数相抵消(可利用相同的分母进行
验证),依此类推下去,可得
1 1 3 3
S= ( ) + + ( ) + ( ) =5- 1 - 3 .
n 2 1 2 2 1 2
+ - - 4 2(n+1) 2(n+2)
1 2 2 n+1 n+1 n+2
5 1 3 201
将n=12代入得,S = - - = .
12
4 2×13 2×14 182
√2
15.解析 原式=2× +1+√2-1+2=2√2+2.
2a-2 2 a-1 3
16.解析 原式= · + = ,
a-1 a-2 (a-1) 2 a-1
因为a=1,2时分式无意义,所以a=3,
3
当a=3时,原式= .
2
易错警示
有关分式的化简求值问题,在题目要求从给出的几个数中任选其一代入求值时,一定要注意
所选数不是任意的,而是需满足所选数使得原分式有意义.
17.解析 (1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)在Rt△AOB中,OB= =5,
√OA2+AB2
90 5
∴路径长= ×2π×5= π.
360 2
18.解析 设高铁的平均速度为x km/h,则普通列车的平均速度为(x-200)km/h,
由题意得x+40=3.5(x-200),
解得x=296.
答:高铁的平均速度为296 km/h.
19.解析 (1)证明:∵点E是CD的中点,
∴CE=DE.
∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE.
又∵∠DEO=∠CEF,
∴△ODE≌△FCE(ASA).
(2)四边形ODFC为矩形,证明如下:
∵△ODE≌△FCE,∴OE=FE.
又∵CE=DE,
∴四边形ODFC为平行四边形.
又∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,即∠DOC=90°,∴四边形ODFC为矩形.
20.解析 (1)m=18,n=8.提示:调查人数为14÷28%=50,∴m=50×36%=18,n=50-18-6-14-4=8.
(2)频数分布直方图补全如下:
8+4
(3)1 000× =240(人).
50
(4)列表如下:
男1 男2 女1 女2
(男1,男 (男1,女 (男1,女
男1
2) 1) 2)
(男2,男 (男2,女 (男2,女
男2
1) 1) 2)
(女1,男 (女1,男 (女1,女
女1
1) 2) 2)
(女2,男 (女2,男 (女2,女
女2
1) 2) 1)
由表可知,共有12种等可能的结果,其中恰好一男一女的有8种,
8 2
∴P(恰好一男一女)= = .
12 3
21.解析 (1)证明:如图1,过点A作AN⊥BC于点N,
在Rt△ABN中,AN=csin B,
在Rt△ACN中,AN=bsin C,
∴csin B=bsin C,
b c
∴ = .
sinB sinC
图1
图2
(2)∵∠BAC=67°,∠B=53°,∴∠C=60°.
如图2,过点A作AH⊥BC于点H.
√3
在Rt△ACH中,AH=ACsin 60°=80× =40√3 m.
2
AC BC 80 BC
又∵ = ,即 = ,
sinB sin∠BAC 0.8 0.9
∴BC=90 m,
1
∴S = ×90×40√3=1 800√3 m2.
△ABC
2
22.解析 (1)证明:连接AC(图略),
∵AB为直径,∴∠ACB=∠ACE=90°.
∵点C是B´D的中点,
∴∠CAE=∠CAB,CD=CB.
又∵AC=AC,∴△ACE≌△ACB(ASA),
∴CE=CB,∴CE=CD.
(2)∵△ACE≌△ACB,AB=3,
∴AE=AB=3.
∵BC=√3,∴CD=CE=CB=3,
∴BE=2√3.
∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
又∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠CDE=∠ABE.
又∵∠E=∠E,
∴△EDC∽△EBA,
DE CD DE √3
∴ = ,即 = ,解得DE=2,
BE AB 2√3 3
∴AD=AE-DE=1.
23.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,
∴将A(1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+3,
3
{ a= ,
得{ 0=a+b+3, 解得 4 (1分)
0=16a+4b+3, 15
b=- ,
4
3 15
∴抛物线的函数表达式为y= x2- x+3. (2分)
4 4
15 3 ( 15) 2
- 4× ×3- -
b 4 5 4ac-b2 4 4 27
又∵- =- = , = =- ,
2a 3 2 4a 3 16
2× 4×
4 4
∴顶点D的坐标为(5 27). (3分)
,-
2 16(2)依题意,t秒后点M的运动距离为CM=t,则ME=3-t,点N的运动距离为EN=2t.
①当Rt△EMN∽Rt△OBC时,
ME EN 3-t 2t 9
= ,即 = ,解得t= ; (5分)
OB OC 4 3 11
②当Rt△EMN∽Rt△OCB时,
ME EN 3-t 2t 6
= ,即 = ,解得t= . (7分)
OC OB 3 4 5
9 6
综上,当t= 或t= 时,以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似.
11 5
(3)证明:∵点P(5 )关于点D(5 27)的对称点为点G,∴G(5 27),
,0 ,- ,-
2 2 16 2 8
联立
{ y= 3 x2- 15 x+3,
4 4
y=kx+m,
∵直线l:y=kx+m( 9)与抛物线只有一个公共点,即3x2-15x+3=kx+m有两个相等的实数根,
|k|<
4 4 4
∴Δ=0,
2
即 [ - (15 +k )] -4× 3 ·(3-m)=0,
4 4
144-(4k+15) 2
化简得m= ,
48
9 9
易知直线GA的解析式为y=- x+ ,
4 4
9
直线GB的解析式为y= x-9, (8分)
4
9 9
{ y=- x+ ,
联立
4 4
结合已知|k|<
9,
144-(4k+15) 2 4
y=kx+ ,
48
4k+21 4k+39
解得x = ,同理得x = ,(9分)
H K
12 12
(5 )
-x (5 4k+21) √97
则GH= 2 H = - × ,
2 12 4
sin∠AGP
( 5)
x - (4k+39 5) √97
GK= K 2 = - × ,
12 2 4
sin∠BGP∴GH+GK=(5 4k+21)×√97+(4k+39 5)×√97=3√97,
- -
2 12 4 12 2 4 8
∴GH+GK为定值. (10分)
解后反思
本题第(2)问两个三角形并没有用“∽”连接,说明对应关系不确定,故需考虑多种情况,即
进行分类讨论;解本题第(3)问的关键是明确直线与抛物线只有一个公共点可转化为二者解析式
联立、整理后所得的一元二次方程有两个相等的实数根,即Δ=0.
