2021年河南省普通高中招生考试
4
(满分:120分 考试时间:100分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的.
1.-2的绝对值是( )
1 1
A.2 B.-2C. D.-
2 2
2.河南人民济困最“给力”!据报道,2020年河南人民在济困方面捐款达到2.94亿元.数据“2.94亿”用科学记数法表示为( )
A.2.94×107 B.2.94×108 C.0.294×108 D.0.294×109
3.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体,其主视图是( )
A B C D
4.下列运算正确的是( )
A.(-a)2=-a2 B.2a2-a2=2
C.a2·a=a3 D.(a-1)2=a2-1
5.如图,a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
6.关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等B.对角线相等
C.对角线互相垂直D.是轴对称图形
7.若方程x2-2x+m=0没有实数根,则m的值可以是( )
A.-1B.0 C.1 D.√3
8.现有4张卡片,正面图案如图所示,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是( )1 1 1 1
A. B. C. D.
6 8 10 12
9.
如图,▱OABC的顶点O(0,0),A(1,2),点C在x轴的正半轴上,延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A',当点D的对应点D'落在OA上时,D'A'的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为( )
A.(2√3,0) B.(2√5,0)
C.(2√3+1,0) D.(2√5+1,0)
10.如图1,矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
1
11.若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 .
x-1
12.请写出一个图象经过原点的函数的解析式: .
13.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克,每盒红枣的质量如图所示,则产品更符
合规格要求的厂家是 (填“甲”或“乙”).
14.如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,D均在小正方形的顶点上,且点B,C在 上,∠BAC=22.5°,则 的长为 .
AD BC
⏜ ⏜15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1.第一步,在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠,点A落在A'处,如图2;第二步,将纸片沿CA'折叠,点D落在D'处,如图3.当点D'恰好在原直角
三角形纸片的边上时,线段A'D'的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
√1
16.(10分)(1)计算:3-1- +(3-√3)0;
9
(2)化简:( 1)÷2x-2.
1-
x x2
17.(9分)2021年4月,教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况,从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查,并将调查结果用
统计图描述如下.
调查问卷
1.近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时.
如果你平均每天睡眠时间不足9小时,请回答第2个问题.
2.影响你睡眠时间的主要原因是 (单选).
A.校内课业负担重 B.校外学习任务重
C.学习效率低 D.其他
平均每天睡眠时间x(时)分为5组:①5≤x<6;②6≤x<7;③7≤x<8;④8≤x<9;⑤9≤x<10.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,平均每天睡眠时间的中位数落在第 (填序号)组,达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ;
(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价,并提出两条合理化建议.k
18.(9分)如图,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数y= 的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点B.
x
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求图中阴影部分的面积.
19.(9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部
BC为4 m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 37.5°≈0.61,cos 37.5°≈0.79,tan 37.5°≈0.77).
20.(9分)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在☉O上,当点P在☉O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与☉O相切时,点B恰好落在☉O上,如图2.
请仅就图2的情形解答下列问题.
(1)求证:∠PAO=2∠PBO;20
(2)若☉O的半径为5,AP= ,求BP的长.
3
图1
图2
21.(9分)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色,猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款猕猴玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表:
类别
A款玩偶 B款玩偶
价格
进货价(元/个) 40 30
销售价(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1 100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶各购进多少个;
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?
利润
(注:利润率= ×100%)
成本
22.(10分)如图,抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.
(1)求m和b的值;
(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标x 的取值范围.
M
23.(10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.
图1
小明:如图1,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线l,l,交点为P,垂足分别为点G,H;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下:
1 2
由作图知,∠PGO=∠PHO=90°,OP=OP,OG=OH,所以Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG=∠POH,即射线OP是∠AOB的平分线.
图2
小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.
……
任务:
(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 (填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.
(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=√3+1,点C,D分别为射线OA,OB上的动点且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.
图34 2021年河南省普通高中招生考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B A C D B D A B C
1.A 负数的绝对值是它的相反数,所以|-2|=-(-2)=2.故选A.
2.B 2.94亿=294 000 000=2.94×108.故选B.
3.A 该几何体从正面看有三列,最左列有3层,中间列有2层,最右列有1层,选项A中的图形符合其主视图特征.故选A.
4.C 因为(-a)2=a2,2a2-a2=a2,(a-1)2=a2-2a+1,所以选项A,B,D错误,因为a2·a=a3,所以选项C正确.故选C.
5.D 如图,∵a∥b,∠1=60°,∴∠3=∠1=60°.
∵∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-60°=120°.故选D.
6.B 菱形的四条边相等,对角线互相垂直,是轴对称图形,所以选项A,C,D中说法正确,菱形的对角线不一定相等,所以选项B中的说法不正确.故选B.
7.D 由题意得Δ=4-4m<0,解得m>1,所以m的值可以是√3.故选D.
8.A 将“北斗”“天问”“高铁”“九章”分别用字母A,B,C,D表示,画树状图如图:
2 1
共有12种等可能结果,抽到两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”(记为事件M)的结果有2种,所以P(M)= = .故选A.
12 6
9.B 如图,延长D'A'到点C,
∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥x轴,
∴∠ADO=90°,∠DAO=∠AOC,
∴ AD(O1=,22),,A∵D=1,
由勾股定理得AO= = ,
√DO2+AD2 √5
由旋转得∠OD'C=∠ODA=90°,AD AO
OD'=OD=2,∴△ADO∽△OD'C,∴ = ,
OD' OC
1 √5
∴ = ,∴OC=2√5,∴点C的坐标为(2√5,0).故选B.
2 OC
10.C 由题图2得,当x=0时,y=1,即点P与点B重合时,AB-BE=1,设BE=m(m>0),则AB=m+1,
∵点E为BC的中点,∴BC=2m,
连接AE.在△APE中,PA-PE=y<AE,
当点P与点E重合时,y取得最大值,为AE的长.
此时y=AE=5,
在矩形ABCD中,∠B=90°,
在Rt△ABE中,由勾股定理得m2+(m+1)2=52,解得m=3,m =-4(舍),∴BC=2m=6.故选C.
1 2
二、填空题
11.答案 x≠1
1
解析 若代数式 有意义,则x-1≠0,即x≠1.
x-1
12.答案 y=x(答案不唯一)
解析 图象经过原点的函数的解析式不唯一,满足当x=0时,y=0即可.
13.答案 甲
解析 由折线统计图可知,从甲、乙两厂抽取的红枣样品质量都在规格200克/盒上下波动,但甲厂样品质量的波动幅度明显小于乙厂,所以产品更符合规格要求的厂家是甲.
5π
14.答案
4
解析 如图,连接AD,取AD的中点E,易知点B为 的中点,
AD
⏜
则圆心在射线BE上,记圆心为点O,连接OD,OC,
1
则OE⊥AD,DE= AD=4,BE=2,
2
设☉O的半径为r,在Rt△ODE中,OD2=OE2+DE2,
∴r2=(r-2)2+42,∴r=5,
∵∠BOC=2∠BAC,∠BAC=22.5°,∴∠BOC=45°,
45π×5 5π
∴l = = .
BC 180 4
⏜
1
15.答案 2-√3或
2
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,∴∠A=60°.由折叠知A'C=1.
√3
①当点D'落在边AB上时,如图1,由对称性可知,A'D=A'D',CD=CD',∴A'C⊥AB,∴CE=AC·sin A= ,
2
√3
∴A'E=A'C-CE=1- .
2∵∠DA'C=∠A=60°,∴A'D= A'E =2( √3)=2- ,
1- √3
cos60° 2
即A'D'=2-√3.
1
②当点D'落在边CB上时,如图2,由对称性可知,∠1=∠2=∠3= ∠ACB=30°,
3
∴CD⊥AB,∴∠A'D'C=∠ADC=90°,
1 1
∴在Rt△A'D'C中,A'D'= A'C= .
2 2
1
综上,A'D'的长为2-√3或 .
2
三、解答题
1 1
16.解析 (1)原式= - +1(3分)
3 3
=1.(5分)
x-1 x2
(2)原式= · (3分)
x 2(x-1)
x
= .(5分)
2
17.解析 (1)③;17%.(6分)
85
详解:根据频数分布直方图可知,平均每天睡眠时间从小到大排列,第250和251个数据在第③组,即平均每天睡眠时间的中位数落在第③组;达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ×100%=17%.
500
(2)多数学生平均每天的睡眠时间没有达到9小时.建议学校加强管理,减轻学生的校内课业负担;建议家长不要给孩子增加过多的校外学习任务.(注:答案不唯一,合理即可)(9分)
k
18.解析 (1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(1,2),
x
∴k=1×2=2.(3分)
2
∴反比例函数的解析式为y= .(4分)
x
2
(2)如图,∵反比例函数y= 的图象过点B,
x
∴正方形OCBD的面积为2.(6分)
由题意可知,OE=2,
∴正方形OEFG的面积为2×2=4.(8分)∴阴影部分的面积为4×(4-2)=8.(9分)
19.解析 设BD=x m,在Rt△BDA中,∠BDA=90°,∠BAD=45°,
∴AD=BD=x.(3分)
在Rt△CDA中,∠CAD=37.5°,
∴CD=AD·tan 37.5°≈0.77x.(6分)
∵BC=4,
∴BD-CD=4,
即x-0.77x=4.
解得x≈17.4.
答:佛像BD的高度约为17.4 m.(9分)
20.解析 (1)证明:连接OP.(1分)
∵AP是☉O的切线,
∴OP⊥AP,∴∠OPA=90°.
∴∠PAO+∠POA=90°.
∵OA⊥OB,∴∠POA+∠1=90°,∴∠PAO=∠1.(3分)
∵OP=OB,∴∠OPB=∠PBO.∴∠1=2∠PBO.
∴∠PAO=2∠PBO.(5分)
(2)过点P作PC⊥直线ON,垂足为C.(6分)
20
在Rt△POA中,OP=5,AP= ,
3
3
∴tan∠PAO= .
4
PC 3
∵∠1=∠PAO,∴tan∠1= = ,
OC 4
设PC=3x,OC=4x,则OP= =5x.
√OC2+PC2
∴x=1,∴PC=3,OC=4.∴BC=5+4=9.
在Rt△PBC中,BP= = =3 .(9分)
√PC2+BC2 √32+92 √10
21.解析 (1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进y个,(1分)
{ x+ y=30, {x=20,
根据题意,得 解得
40x+30 y=1 100. y=10.
答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个.(4分)
(2)设A款玩偶购进a个,则B款玩偶购进(30-a)个,
1
根据题意,得a≤ (30-a).
2
解得a≤10.(6分)
设利润为w元,则w=(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450.
∴ 1w>随0,∵a的增大而增大.
∴当a=10时,w有最大值,w =10+450=460.
最大
30-a=30-10=20.
答:应购进A款玩偶10个,B款玩偶20个才能获得最大利润,最大利润为460元.(8分)
(3)∵第一次销售利润为(56-40)×20+(45-30)×10=470,
470
∴利润率为 ×100%≈43%.
1 100460
第二次销售利润率为 ×100%=46%.
10×40+20×30
∵43%<46%,
∴从利润率的角度分析,第二次更合算.(9分)
22.解析 (1)∵抛物线y=x2+mx经过点A(2,0),
∴4+2m=0,∴m=-2.(2分)
∵直线y=-x+b经过点A(2,0),
∴-2+b=0,∴b=2.(4分)
(2)当x2-2x=-x+2时,x=-1,x=2.
1 2
∴点B的坐标为(-1,3).(6分)
结合图象可知,不等式x2+mx>-x+b的解集为x<-1或x>2.(8分)
(3)-1≤x <2或x =3.(10分)
M M
提示:抛物线y=x2-2x的顶点坐标为(1,-1),过点M作直线y=t,则点N在直线y=t上,由图象可知,当t=-1时,x =3,x =3-3=0.此时线段MN与抛物线只有一个公共点(1,-1);当t=0时,x =2,x =2-3=-1,-1<0,线段MN与抛物线有两个公共点(0,0)
M N M N
和(2,0);当t=3时,x =-1,线段MN与抛物线只有一个公共点(-1,3).综上,当x <-1或x >3时,线段MN与抛物线无公共点,当2≤x <3时,线段MN与抛物线有两个公共点,当-1≤x <2或x =3时,线段MN与抛物线只有一个公共点.
M M M M M M
23.解析 (1)⑤(2分)
(2)是.(注:若没写出判断结果,但后续证明正确,不扣分)(3分)
理由如下:
由作图可知,OC=OD,OF=OE.
又∵∠COF=∠DOE,∴△COF≌△DOE.
∴∠OFC=∠OED.(5分)
连接EF.∵OF=OE,∴∠OFE=∠OEF.
∴∠PFE=∠PEF,∴PF=PE.
又∵OP=OP,OF=OE,∴△FOP≌△EOP.
∴∠FOP=∠EOP,即射线OP是∠AOB的平分线.(8分)
(3)2或2+√3.(10分)
1 1
提示:连接OP.由(1)(2)可知,图形关于直线OP对称,分情况讨论:①如图1,当点C在线段OE上时,连接EF,过点C作CG⊥OB于点G,∵∠COB=60°,OE=OF=√3+1,∴△OEF为等边三角形,∴∠OFE=60°,∵PE=PF,∴∠EFP= ∠2=
2 2
×30°=15°,∴∠1=∠OFE-∠EFP=45°,设OG=x,则CG=√3x,GF=CG=√3x,∴OG+GF=x+√3x=√3+1,∴x=1.
√3 3 √3 1 √3 1 3 √3
∴OC=2x=2;②如图2,当点C在线段OE的延长线上时,连接CD,过点E作EH⊥OB于点H,同①可证∠1=45°,在Rt△EOH中,EH=OE·sin 60°= (√3+1)= + ,OH= OE= + ,在Rt△EHD中,HD=EH= + ,∴OD=OH+HD=2+√3
2 2 2 2 2 2 2 2
,∴OC=2+√3.综上,线段OC的长为2或2+√3.
图1图2
