7
2019年河南省普通高中招生考试试卷
(满分:120分 考试时间:100分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.
1
1.- 的绝对值是( )
2
1 1
A.- B. C.2 D.-2
2 2
2.成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为( )
A.46×10-7 B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
3.如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为( )
A.45° B.48° C.50° D.58°
4.下列计算正确的是( )
A.2a+3a=6a B.(-3a)2=6a2
C.(x-y)2=x2-y2 D.3√2-√2=2√2
5.图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )
A.主视图相同 B.左视图相同
C.俯视图相同 D.三种视图都不相同
6.一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.某超市销售A,B,C,D四种矿泉水,它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是( )
A.1.95元 B.2.15元
C.2.25元 D.2.75元
8.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( )
A.-2 B.-4 C.2 D.4
1
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于 AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为( )
2A.2√2 B.4 C.3 D.√10
10.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转.每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为( )
A.(10,3)B.(-3,10) C.(10,-3) D.(3,-10)
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.计算:√4-2-1= .
{ x
12.不等式组 ≤-1, 的解集是 .
2
-x+7>4
13.现有两个不透明的袋子,一个装有2个红球、1个白球,另一个装有1个黄球、2个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球,摸出的两个球颜色相同的概率是 .
14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.若OA=2√3,则阴影部分的面积为 .
3
15.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .
5
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:(x+1 )÷ x2-2x ,其中x= .
-1 √3
x-2 x2-4x+417.(9分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
BD
⏜
(1)求证:△ADF≌△BDG;
(2)填空:
①若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ;
BD
⏜
②取 的中点H,当∠EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.
AE
⏜
18.(9分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:
a.七年级成绩频数分布直方图:
b.七年级成绩在70≤x<80这一组的是:
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下:
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人;
(2)表中m的值为 ;
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由;
(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试.请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.
19.(9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.
(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67,√3≈1.73)20.(9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
(1)求A,B两种奖品的单价;
1
(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
3
21.(10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
4 m
设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y= ;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+ ,满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标.
x 2
(2)画出函数图象
4 m
函数y= (x>0)的图象如图所示,而函数y=-x+ 的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.
x 2(3)平移直线y=-x,观察函数图象
4
①当直线平移到与函数y= (x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ;
x
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 .
22.(10分)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
BD
如图1,当α=60°时, 的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 .
CP
(2)类比探究
BD
如图2,当α=90°时,请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
CP
(3)解决问题
AD
当α=90°时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值.
CP1 1
23.(11分)如图,抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- x-2经过点A,C.
2 2
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
72019年河南省普通高中招生考试试卷
一、选择题
1.B 负数的绝对值是它的相反数,所以| 1|=1,故选B.
-
2 2
2.C 0.000 004 6用科学记数法表示为4.6×10-6,故选C.
3.B ∵AB∥CD,∴∠1=∠B=75°.∵∠1=∠D+∠E,∠E=27°,∴∠D=∠1-∠E=48°.故选B.
4.D 选项A,2a+3a=5a,错误;选项B,(-3a)2=9a2,错误;选项C,(x-y)2=x2-2xy+y2,错误;选项D,3√2-√2=2√2,正确,故选D.
5.C 根据题图①,图②中几何体的特征可知,它们的俯视图的形状均为“ ”,即平移前后几何体的俯视图相同.故选C.
6.A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,Δ=b2-4ac=20>0,所以此一元二次方程有两个不相等的实数根,故选A.1
7.C 设这天超市共售出m瓶矿泉水,则矿泉水的平均单价为 (5m×10%+3m×15%+2m×55%+m×20%)=2.25(元).故选C.
m
{n=-4-2b+4, { b=2,
8.B ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴ 解得 故选B.
n=-16+4b+4, n=-4.
9.A 连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,∴AF=CF,AB=CB,易得∠1=∠2,∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=AF,∴BC=CF=AF=3,∴FD=AD-AF=1.在Rt△DCF中,由勾股定理得CD= =2 ,故选A.
√FC2-DF2 √2
10.D 由题意得,五边形AOBCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,经过4次旋转可回到初始位置,即每4次旋转为一个循环.70÷4=17……2,即第70次旋转结束时与第2次旋转结束时位置相同.易得初始位置时点D的坐标为(-3,10),又∵点D旋转2次,即
顺时针旋转了180°后的点D与点(-3,10)关于原点对称,所以第70次旋转结束时,点D的坐标为(3,-10),故选D.
二、填空题
3
11. 答案
2
1 3
解析 原式=2- = .
2 2
12. 答案 x≤-2
x
解析 解不等式 ≤-1得x≤-2,解不等式-x+7>4得x<3,所以不等式组的解集为x≤-2.
2
4
13. 答案
9
解析 画树状图如图.
4
共有9种等可能结果,摸出的两个球颜色相同(记为事件A)的结果有4种,所以P(A)= .
9
14. 答案 √3+π
1 30π×(2√3)2 1
解析 ∵OC⊥OA,∴∠AOD=90°,∵∠AOB=120°,OA=OB=2√3,∴∠OAD=∠BOC=∠ABO=30°,∴OD=AO·tan 30°=2,∴BD=2,过点O作OE⊥AD于点E,则OE=√3.S =S +S -S = ×2√3×2+ - ×2×√3=√3+π.
阴影 △AOD 扇形BOC △BOD 2 360 2
5 √5
15. 答案 或
3 3
3
解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,∠B=∠C=∠D=90°,由折叠得B'E=BE= a,∠AB'E=90°.
5
3 5
①当点B'落在边AD上时,易证四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB,即 a=1,a= ;
5 3
②当点B'落在边CD上时,如图.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,EC B'D
又∠D=∠C=90°,∴△B'CE∽△ADB',∴ = .
EB' AB'
在Rt△ADB'中,由勾股定理得B'D= = ,
√B'A2-AD2 √1-a2
2 √5
∴ =√1-a2,∴a= .
3 3
5 √5
综上所述,满足条件的a的值为 或 .
3 3
三、解答题
x+1-x+2 x(x-2)
16. 解析 原式= ÷
x-2 (x-2)2
3 x-2
= · (4分)
x-2 x
3
= .(6分)
x
3
当x=√3时,原式= =√3.(8分)
√3
17. 解析 (1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠C=45°.
∵AB为半圆O的直径,
∴∠ADF=∠BDG=90°.
∴∠DBA=∠DAB=45°,
∴AD=BD.(3分)
∵∠DAF和∠DBG都是 所对的圆周角,
DE
⏜
∴∠DAF=∠DBG.
∴△ADF≌△BDG.(5分)
(2)①4-2√2.(7分)
②30(注:若填为30°,不扣分).(9分)
详解:①如图,过F作FM⊥AB于M,∵点E是 的中点,
BD
⏜
∴∠BAE=∠DAE,
∵FD⊥AD,FM⊥AB,∴FM=FD,
FM √2
∵ =sin∠FBM=sin 45°= ,
BF 2
FD √2
∴ = ,即BF=√2FD.
BF 2
∵AB=4,∴BD=4cos 45°=2√2,
∴BF+FD=2√2,即(√2+1)FD=2√2,
2√2
∴FD= =4-2√2.
√2+1
②连接OH,EH,∵点H是 的中点,∴OH⊥AE,
AE
⏜
∵∠AEB=90°,∴BE⊥AE,∴BE∥OH,
1
∵四边形OBEH为菱形,∴BE=OH=OB= AB,
2BE 1
∴sin∠EAB= = ,∴∠EAB=30°.
AB 2
18. 解析 (1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有15+8=23人.
故答案为23.(2分)
77+78
(2)七年级抽测成绩的中位数是排序后第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分别为77、78,∴m= =77.5.
2
故答案为77.5.(4分)
(3)甲的排名更靠前.因为甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数,而乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数.(6分)
8+15+5
(4)400× =224.
50
所以估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224.(9分)
19. 解析 在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,
CE 55
∴AC= ≈ ≈82.1.
tan34° 0.67
∴BC=AC-AB=82.1-21=61.1.(4分)
在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,
∴CD=BC·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7.(7分)
∴DE=CD-CE=105.7-55≈51.
所以炎帝塑像DE的高度约为51 m.(9分)
20. 解析 (1)设A奖品的单价为x元,B奖品的单价为y元,(1分)
{3x+2y=120, {x=30,
根据题意,得 解得
5x+4 y=210. y=15.
所以A奖品的单价为30元,B奖品的单价为15元.(4分)
(2)设购买A奖品a个,则购买B奖品(30-a)个,共需w元,
根据题意,得w=30a+15(30-a)=15a+450.(6分)
∵15>0,∴当a取最小值时,w有最小值.
1
由a≥ (30-a),解得a≥7.5.
3
而a为正整数,∴当a=8时,w取得最小值,此时30-8=22.
所以当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.(9分)
21. 解析 (1)一.(1分)
(2)如图.(3分)
(3)①8.(4分)
m m
把点(2,2)代入y=-x+ 得2=-2+ ,解得m=8.
2 2
②在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况.
当有0个交点时,周长m的取值范围是0<m<8;
当有2个交点时,周长m的取值范围是m>8.(8分)
(4)m≥8.(10分)
22. 解析 (1)1;60.(注:若填为60°,不扣分)(2分)如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.
由题意得∠PAD=∠CAB=60°,∴∠CAP=∠BAD,
∵CA=BA,PA=DA,
∴△CAP≌△BAD(SAS),
∴PC=BD,∠ACP=∠ABD,
∵∠AOC=∠BOE,
∴∠BEO=∠CAO=60°,
BD
∴ =1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60.
PC
(2)√2,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.
(注:若没写出,但后续证明正确,不扣分)(4分)
理由如下:
AB
∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CAB=45°, =√2.
AC
AD
同理可得:∠PAD=45°, =√2.
AP
AB AD
∴ = ,∠CAB=∠PAD.
AC AP
∴∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC,即∠DAB=∠PAC.
∴△DAB∽△PAC.(6分)
BD AB
∴ = =√2,∠DBA=∠PCA.
CP AC
设BD交CP于点G,BD交CA于点H.
∵∠BHA=∠CHG,∴∠CGH=∠BAH=45°.(8分)
(3)AD的值为2+ 或2- .( √2 )(10分)
√2 √2 注:若把2-√2写为 ,不扣分
CP √2+1
AD
提示:分两种情况.如图①,可设CP=a,则BD=√2a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°,则DQ=BD=√2a,易得AD=√2PD=2a+√2a,所以 =2+√2.
CP
AD
如图②,可设AP=DP=b,则AD=√2b.由EF∥AB,得∠PEA=∠CAB=45°,可证∠ECD=∠EAD=22.5°,∴CD=AD=√2b,CP=√2b+b,所以 =2-√2.
CP
图①
图②
1
23. 解析 (1)∵直线y=- x-2交x轴于点A,交y轴于点C,
2
∴A(-4,0),C(0,-2).
1
∵抛物线y=ax2+ x+c经过点A,C,
2{ 1
∴{0=16a-2+c,∴ a= ,
4
-2=c.
c=-2.
1 1
∴抛物线的解析式为y= x2+ x-2.(3分)
4 2
(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为(
m,
1
m2+
1
m-2
).
4 2
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:
1 1
(i)当∠CPM=90°时,PC∥x轴, m2+ m-2=-2.
4 2
解得m=0(舍去),m =-2.
1 2
∴点P的坐标为(-2,-2).(5分)
(ii)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,
CN PN
∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ = .
AO CO
∵C(0,-2),N(
0,
1
m2+
1
m-2
),∴CN=1m2+1m,PN=m.
4 2 4 2
1 1
m2+ m m
即4 2 = ,解得m=0(舍去),m =6.
3 4
2
4
1 1
∵当m=6时, m2+ m-2=10,
4 2
∴点P的坐标为(6,10).
综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).(8分)
3 m+4 4-m
②y=x- m-2或y= x-2或y= x-2.(11分)
4 4-2m 2m+4
提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.
1 1
当y=0时, x2+ x-2=0,解得x=-4,x=2,
1 2
4 2
∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,
∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),
∴点M的坐标为( 1 ).
m,- m-2
2
m+4 m+4 -m+4 5m+4
利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线B'M的解析式为y= x- .
2m-4 m-2 2m+4 m+2
分三种情况考虑:
当直线l∥BB'且过线段CM的中点N(1 1 )时,直线l的解析式为y=x-3m-2;
m,- m-2
2 4 4
m+4
当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2;
2m-4
-m+4
当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= x-2.
2m+4
3 m+4 -m+4
综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.
4 2m-4 2m+4
