12
2019年广州市初中毕业生学业考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.|-6|=( )
1 1
A.-6 B.6 C.- D.
6 6
2.广州正稳步推进碧道建设,营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道,使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年年底各区完成碧道试点建设的长度分别为(单位:千米)5,5.2,5,5,5,6.4,6,5,6.68,48.4,6.3.这组数据的众数是( )
A.5 B.5.2 C.6 D.6.4
2
3.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC= ,则此斜坡的水平距离AC为( )
5
A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m
4.下列运算正确的是( )
A.-3-2=-1 B.3×( 1) 2=-1
-
3 3
C.x3·x5=x15 D.√a·√ab=a√b
5.平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线的条数为( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
6.甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是( )
120 150 120 150
A. = B. =
x x-8 x+8 x
120 150 120 150
C. = D. =
x-8 x x x+8
7.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点.则下列说法正确的是( )
A.EH=HG
B.四边形EFGH是平行四边形
C.AC⊥BD
D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
6
8.若点A(-1,y ),B(2,y ),C(3,y )在反比例函数y= 的图象上,则y,y,y 的大小关系是( )
1 2 3 1 2 3
x
A.y <y<y B.y <y<y C.y <y<y D.y <y<y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3
9.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )A.4 B.4 C.10 D.8
√5 √3
10.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x,x,若(x-x+2)·(x-x-2)+2x x=-3,则k的值为( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A.0或2B.-2或2 C.-2 D.2
第二部分 非选择题(共120分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6 cm,PB=5 cm,PC=7 cm,则点P到直线l的距离是 cm.
1
12.代数式 有意义时,x应满足的条件是 .
√x-8
13.分解因式:x2y+2xy+y= .
14.一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为 .
15.如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 .(结果保留π)
16.如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF= BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG.则下列结论:
√2
( √2)
①∠ECF=45°;②△AEG的周长为 1+ a;
2
1
③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值是 a2.
8
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
{ x- y=1,
解方程组:
x+3 y=9.18.(本小题满分9分)
如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:△ADE≌△CFE.
19.(本小题满分10分)
2a 1
已知P= - (a≠±b).
a2-b2 a+b
(1)化简P;
(2)若点(a,b)在一次函数y=x-√2的图象上,求P的值.
20.(本小题满分10分)
某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
组别 时间/小时 频数/人数
A组 0≤t<1 2
B组 1≤t<2 m
C组 2≤t<3 10
D组 3≤t<4 12
E组 4≤t<5 7
F组 t≥5 4
扇形统计图请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求频数分布表中m的值;
(2)求B组,C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;
(3)已知F组的学生中,只有1名男生,其余都是女生.用列举法求以下事件的概率:从F组中随机选取2名学生,恰好都是女生.
21.(本小题满分12分)
随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约为1.5万座,计划到2020年年底,全省5G基站数量是目前的4倍;到2022年年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划到2020年年底,全省5G基站的数量是多少万座?
(2)按照计划,求2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
22.(本小题满分12分)
n-3
如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y= 的图象相交于A,P两点.
x
(1)求m,n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.23.(本小题满分12分)
如图,☉O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.
(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.
24.(本小题满分14分)
如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE对称的图形为△FDE.
(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB;
(2)设△ACD的面积为S,△ABF的面积为S,记S=S -S ,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;
1 2 1 2
(3)当B,F,E三点共线时,求AE的长.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G 顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
1 1
(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.122019年广州市初中毕业生学业考试(参考答案)
一、选择题
1.B 因为负数的绝对值是其相反数,所以|-6|=6.故选B.
2.A 因为5出现的次数最多,所以这组数据的众数是5.故选A.
2 BC 30 2
3.A ∵∠C=90°,tan∠BAC= ,BC=30 m,∴tan∠BAC= = = .∴AC=75 m.故选A.
5 AC AC 5
4.D ∵-3-2=-5,∴A选项错误;∵3×( 1) 2 =3×1=1,∴B选项错误;∵x3·x5=x3+5=x8,∴C选项错误;∵ · = =a ,∴D选项正确.故选D.
- √a √ab √a2b √b
3 9 3
5.C ∵点P到点O的距离为2,☉O的半径为1,∴点P到圆心的距离大于半径,∴点P在☉O外.∵过圆外一点可以作圆的两条切线,∴过点P可以作☉O的两条切线.故选C.
120 150
6.D 因为甲每小时做x个零件,所以乙每小时做(x+8)个零件,由题意得 = .故选D.
x x+8
1 1
7.B ∵点E,H,G分别为OA,OD,OC的中点,∴EH,HG分别是△OAD,△OCD的中位线,∴EH= AD,HG= CD,∵AD=4,CD=AB=2,∴EH=2,HG=1,∴EH≠HG,∴A选项错误;
2 2
1 1 1 1
∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EF,FG,GH,HE分别是△OAB,△OBC,△OCD,△OAD的中位线,∴EF= AB,FG= BC,GH= CD,HE= AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∴EF=GH,HE=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,∴B选
2 2 2 2
项正确;无法根据已知判断出AC⊥BD,∴C选项错误;∵E,F分别是OA,OB的中点,∴EF是△ABO的中位线,∴EF=1AB,EF∥AB,∴△EFO∽△ABO,∴ S
△EFO
=(EF) 2 =(1) 2 =1,∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,∴D选项错误.故选B.
2 S AB 2 4
△ABO
6 6 6 6
8.C 将点A(-1,y ),B(2,y ),C(3,y )分别代入y= 中,得y= =-6,y= =3,y= =2,∵-6<2<3,∴y <y<y.故选C.
1 2 3 x 1 -1 2 2 3 3 1 3 2
9.A 如图,连接AE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO.
{∠FAO=∠ECO,
∵EF垂直平分线段AC,∴OA=OC,在△FAO和△ECO中, OA=OC, ∴△FAO≌△ECO(ASA),∴CE=AF=5.
∠AOF=∠COE,
∵EF垂直平分线段AC,∴EA=EC=5,
∴BC=BE+EC=3+5=8.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°.在Rt△ABE中,AB= = =4.在Rt△ABC中,AC= = =4 .故选A.
√AE2-BE2 √52-32 √AB2+BC2 √42+82 √5
10.D ∵x,x 是一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根,
1 2
∴x+x=k-1,xx=-k+2,
1 2 1 2
∵(x -x+2)(x -x-2)+2x x=(x -x)2-4+2x x=(x +x)2-2xx-4=-3,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴(k-1)2-2(-k+2)-4=-3,即k2=4,解得k=±2.
当k=-2时,方程为x2+3x+4=0,Δ=32-4×1×4=9-16<0,此时方程没有实数根;
当k=2时,方程为x2-x=0,Δ=1>0,此时方程有两个实数根,∴k=2,故选D.
二、填空题
11. 答案 5
解析 ∵PB⊥l,PB=5 cm,∴点P到直线l的距离为5 cm.
12. 答案 x>8
1
解析 ∵代数式 有意义,∴x-8>0,∴x>8,故x应满足的条件是x>8.
√x-813. 答案 y(x+1)2
解析 x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.
14. 答案 15°或60°
解析 由于是三角板ADE的一条边所在的直线与BC垂直,所以需要分情况讨论.
①当DE⊥BC时,如图,∵∠AFE=∠CFD=90°-∠C=90°-30°=60°,
∴∠FAE=180°-∠AFE-∠E=180°-60°-45°=75°,
∴∠DAC=∠DAE-∠FAE=90°-75°=15°,
∴α=15°.
②当AD⊥BC时,如图,∵∠C=30°,AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-∠C=60°,
∴α=60°.
综上所述,α的度数为15°或60°.
图
15. 答案 2√2π
解析 ∵主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,
∴此等腰直角三角形的斜边长为 =2 ,
√22+22 √2
∴此圆锥的底面圆的直径为2√2,
∴圆锥的底面圆的周长为2√2π,
∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2√2π.
16. 答案 ①④
解析 如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH,
∵∠B=90°,BE=BH,
∴EH= = = BE,∠EHB=∠BEH=45°,
√BE2+BH2 √BE2+BE2 √2
∴∠EHC=180°-∠EHB=180°-45°=135°,
∵FA=√2BE,
∴FA=EH,
∵∠DAM=45°,∠DAB=90°,
∴∠FAE=∠DAM+∠DAB=45°+90°=135°,
∴∠FAE=∠EHC,
∵BA=BC,BE=BH,
∴BA-BE=BC-BH,
∴AE=HC,
{
FA=EH,
在△FAE和△EHC中, ∠FAE=∠EHC,
AE=HC,
∴△FAE≌△EHC(SAS),
∴EF=EC,∠AEF=∠HCE,
∴∠HEC+∠AEF=∠HEC+∠HCE=∠EHB=45°,
∴∠FEC=180°-(∠AEF+∠HEC)-∠BEH=180°-45°-45°=90°,
180°-90°
∴∠ECF=∠EFC= =45°,故①正确.
2图1
如图2,延长AD至点H,使得DH=BE,连接CH,
∵CB=CD,∠B=∠CDH=90°,BE=DH,
∴△CBE≌△CDH(SAS),
∴∠ECB=∠HCD,CE=CH,
由①的证明可知∠ECF=45°,
∴∠ECB+∠GCD=45°,
∴∠GCH=∠GCD+∠DCH=∠GCD+∠ECB=45°,
∴∠ECG=∠HCG,
又∵CG=CG,
∴△CEG≌△CHG(SAS),
∴EG=GH=GD+DH=GD+BE,故③错误.
C =AE+AG+EG=AE+AG+GH
△AEG
=AE+AG+GD+DH=AE+AG+GD+EB
=(AE+EB)+(AG+GD)=AB+AD=2a.
故②错误.
图2
设BE=x(0<x<a),则AE=a-x,AF=√2x,易知点F到AE的距离为x.
∴S △AEF =1(a-x)·x=-1x2+1ax=-1( x- 1 a ) 2+1a2,
2 2 2 2 2 8
1
∵- <0,
2
1 1
∴当x= a时,S 有最大值 a2,
2
△AEF
8
故④正确.
故正确的结论是①④.
三、解答题
{ x- y=1,①
17. 解析
x+3 y=9,②
②-①得,4y=8,解得y=2,
将y=2代入①,得x-2=1,解得x=3,
{x=3,
所以方程组的解为
y=2.
18. 证明 ∵FC∥AB,
∴∠A=∠ECF,
{
∠A=∠ECF,
在△ADE和△CFE中, ∠AED=∠CEF,
DE=FE,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
2a 1
19. 解析 (1)P= -
a2-b2 a+b
2a a-b
= -
(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)
2a-(a-b) a+b
= =
(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)
1
= .
a-b
(2)∵点(a,b)在一次函数y=x-√2的图象上,
∴b=a-√2,
∴a-b=√2,
1 1 √2
∴P= = = .
a-b √2 220. 解析 (1)m=40-(2+10+12+7+4)=5.
5
(2)B组所对应扇形的圆心角度数为360°× =45°,
40
10
C组所对应扇形的圆心角度数为360°× =90°,
40
补全扇形统计图,如图.
(3)易知F组的学生中,有1名男生,3名女生.记3名女生分别为女 ,女 ,女 .从F组中随机选取2名学生的所有可能情况有男女 ,男女 ,男女 ,女 女 ,女 女 ,女 女 ,共6种.恰好都是女生的情况有女 女 ,女 女 ,女 女 ,共3种.
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3
3 1
所以P(恰好都是女生)= = .
6 2
1
答:恰好都是女生的概率是 .
2
21. 解析 (1)1.5×4=6(万座).
答:计划到2020年年底,全省5G基站的数量是6万座.
(2)设从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x.由题意可得6(1+x)2=17.34,解得x=0.7=70%,x =-2.7(舍去).
1 2
答:从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
n-3 2
22. 解析 (1)将点P(-1,2)代入y=mx,得2=-m,解得m=-2,所以正比例函数解析式为y=-2x.将点P(-1,2)代入y= ,得2=-(n-3),解得n=1,所以反比例函数解析式为y=- .由于正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称,所以点A的坐标为(1,-2).
x x
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB∥CD,∴∠CPD=90°,∠DCP=∠OAE,∵AB⊥x轴,∴∠AEO=90°,∴∠AEO=∠CPD,∴△CPD∽△AEO.
AE 2 2√5 2√5
(3)∵点A的坐标为(1,-2),∴AE=2,OE=1,∴AO=√AE2+OE2=√5,∴sin∠AOE= = = ,∵△CPD∽△AEO,∴∠CDB=∠AOE,∴sin∠CDB=sin∠AOE= .
AO √5 5 5
23. 解析 (1)如图,线段CD即为所求.
(2)连接BD,OC,交于点E,设OE=x.
∵AB是直径,
1
∴∠ACB=90°,OB= AB=5,
2
∴BC= = =6,
√AB2-AC2 √102-82
∵BC=CD,∴ = ,
BC CD
⏜ ⏜
∴OC⊥BD,BE=DE,
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2,
7
∴62-(5-x)2=52-x2,解得x= ,
5
∵BE=DE,BO=OA,
14
∴OE是△ABD的中位线,∴AD=2OE= ,
5
14 124
∴四边形ABCD的周长=6+6+10+ = .
5 524. 解析 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
由△CDE关于DE对称的图形为△FDE可知DF=DC,又点F在AC上,
∴∠DFC=∠C=60°,
∴∠DFC=∠A,∴DF∥AB.
(2)存在.
如图,过点D作DM⊥AB,交AB于点M,
∵BC=AB=6,BD=4,∴CD=2,∴DF=2,
∴点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,
∴当点F在DM上时,S 最小,
2
∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,∴MD=2√3,
1
∴S 的最小值= ×6×(2√3-2)=6√3-6,
2
2
1
∵S = ×2×3√3=3√3,
1
2
∴S =3√3-(6√3-6)=6-3√3.
最大值
(3)如图,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,
∵GD⊥EF,∴FG=1,DG=√3,
∵BD2=BG2+DG2,∴16=BG2+3,
∴BG=√13,
EC √3
∵EH⊥BC,∠C=60°,∴CH= ,EH= EC,
2 2
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°,
√3
EC
DG EH √3 2
∴△BGD∽△BHE,∴ = ,∴ = ,
BG BH √13 EC
6-
2
∴EC=√13-1,∴AE=AC-EC=7-√13.
25. 解析 (1)∵抛物线y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3有最低点,
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
(2)∵抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,
∴平移后的抛物线G:y=m(x-1-m)2-m-3,
1
∴抛物线G 的顶点坐标为(m+1,-m-3),
1
∴x=m+1,y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2,
即x+y=-2,变形得y=-x-2,
∵抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点,∴m>0,
∵x=m+1,∴x>1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2(x>1).
(3)函数H:y=-x-2(x>1)的图象如图,
x=2时,y=-2-2=-4,
∴函数H的图象过点B(2,-4),
∵抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,
x=2时,y=m-m-3=-3,
∴抛物线G恒过点A(2,-3),
由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则y <y <y ,
B P A
∴点P纵坐标的取值范围为-4<y <-3.
P
