18
2019年杭州市初中毕业升学文化考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.计算下列各式,值最小的是( )
A.2×0+1-9 B.2+0×1-9
C.2+0-1×9 D.2+0+1-9
2.在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则( )
A.m=3,n=2 B.m=-3,n=2
C.m=2,n=3 D.m=-2,n=3
3.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=3,则PB=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树.设男生有x人,则( )
A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=80
C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72
5.点点同学对数据26,36,36,46,5■,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差
6.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则( )
AD AN BD MN DN NE DN NE
A. = B. = C. = D. =
AN AE MN CE BM MC MC BM
7.在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
8.已知一次函数y=ax+b和y=bx+a(a≠b).函数y 和y 的图象可能是( )
1 2 1 29.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于( )
A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x
10.在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则( )
A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2
C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分.
11.因式分解:1-x2= .
12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这(m+n)个数据的平均数等于 .
13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为12 cm,底面圆半径为3 cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2(结果精确到个位).
14.在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= .
15.某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0;当自变量x=0时,函数值y=1.写出一个满足条件的函数表达式: .
16.如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点.若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于
.
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分6分)
4x 2
化简: - -1.
x2-4 x-2
圆圆的解答如下:
4x 2
- -1=4x-2(x+2)-(x2-4)=-x2+2x.
x2-4 x-2
圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.18.(本题满分8分)
称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).
实际称量读数和记录数据统计表
序号
1 2 3 4 5
数据
甲组 48 52 47 49 54
乙组 -2 2 -3 -1 4
(1)补充完整乙组数据的折线统计图;
(2)①甲,乙两组数据的平均数分别为x ,x ,写出x 与x 之间的等量关系;
甲 乙 甲 乙
②甲,乙两组数据的方差分别为 , ,比较 与 的大小,并说明理由.
S2 S2 S2 S2
甲 乙 甲 乙
19.(本题满分8分)
如图,在△ABC中,AC<AB<BC.
(1)如图1,已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B;
(2)如图2,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
图1 图220.(本题满分10分)
方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.
(1)求v关于t的函数表达式;
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围;
②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.
21.(本题满分10分)
如图,已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S,点E在DC边上,点G在BC的延长线上,设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S,且S=S .
1 2 1 2
(1)求线段CE的长;
(2)若点H为BC边的中点,连接HD,求证:HD=HG.
22.(本题满分12分)
设二次函数y=(x-x )(x-x )(x,x 是实数).
1 2 1 2
1 1
(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x= 时,y=- .若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由;
2 2
(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x,x 的代数式表示);
1 2
1
(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x<x<1时,求证:0<mn< .
1 2
1623.(本题满分12分)
如图,已知锐角三角形ABC内接于☉O,OD⊥BC于点D,连接OA.
(1)若∠BAC=60°,
1
①求证:OD= OA;
2
②当OA=1时,求△ABC面积的最大值;
(2)点E在线段OA上,OE=OD.连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数).若∠ABC<∠ACB,求证:m-n+2=0.
182019年杭州市初中毕业升学文化考试
一、选择题
1.A 选项A,2×0+1-9=-8;
选项B,2+0×1-9=-7;
选项C,2+0-1×9=-7;
选项D,2+0+1-9=-6.
∵-6>-7>-8,∴选A.
2.B ∵点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),
∴m=-3,n=2,故选B.
3.B 连接OA,OB,OP.
∵PA,PB分别切☉O于A,B两点,
∴OA⊥AP,OB⊥BP.
∵OA=OB,OP=OP,∴△OAP≌△OBP(HL),∴PB=PA=3.故选B.
4.D 男生有x人,则女生有(30-x)人,根据题意得3x+2(30-x)=72.故选D.
36+46
5.B 平均数与每一个数据有关,故A选项不符合题意.将这组数据按大小顺序排列后,处于最中间两个数的平均数为中位数,即 =41,所以中位数与被涂污数字无关,故B选项符合题意.数“5■”的个位数字无法确定,所以无法确定本组数据的波动大
2
小,故C,D选项不符合题意.故选B.
6.C ∵DE∥BC,∴△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,
AN DN AN NE DN NE
∴ = , = ,∴ = ,故选C.
AM BM AM MC BM MC
7.D 不妨设∠A=∠B-∠C(∠B>∠C).∵△ABC的内角和为180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°.故选D.
8.A y
1
=ax+b的图象与y轴的交点为(0,b),与x轴的交点为(
-
b
,0
).
a
y
2
=bx+a的图象与y轴的交点为(0,a),与x轴的交点为(
-
a
,0
).
b
当x=1时,y=y,
1 2
∴y 与y 的图象的交点的横坐标为1.
1 2
①当a>0,b>0时,y,y 的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确.
1 2
②当a<0,b<0时,y,y 的图象与y轴的交点均在y轴的负半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故C错误.
1 2
③当a>0,b<0或a<0,b>0时,y,y 的图象与x轴的交点均在x轴的正半轴上,故B,D错误.
1 2
9.D 过点A作AH⊥OC于点H,过点B作BE⊥AH于点E.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=a,AD=BC=b.
∵OB⊥OC,∠BCO=x,∴BO=bsin x.
∵BE⊥AH,OC⊥AH,∴BE∥OC,∴∠EBC=∠BCO.
∵∠ABE+∠EBC=90°,∠BAH+∠ABE=90°,
∴∠BAH=∠EBC=∠BCO=x,∴AE=acos x.
∵BE⊥AH,AH⊥OC,OB⊥OC,
∴四边形BOHE为矩形,∴BO=EH.
∴AH=AE+EH=AE+BO=acos x+bsin x,故选D.
10.C 对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时,函数图象与x轴的交点为(-a,0),(-b,0),故M=2.
对于函数y=(ax+1)(bx+1),当y=0时,有以下3种情况:
①ab≠0时,图象与x轴的交点为( 1 ),( 1 ),此时N=2,M=N;
- ,0 - ,0
a b
②a=0时,图象与x轴的交点为( 1 ),此时N=1,M=N+1;
- ,0
b
③b=0时,图象与x轴的交点为( 1 ),此时N=1,M=N+1.
- ,0
a
综上所述,M=N或M=N+1.故选C.
二、填空题
11. 答案 (1+x)(1-x)
解析 原式=(1+x)(1-x),故答案为(1+x)(1-x).
mx+ny
12. 答案
m+n
mx+ny
解析 根据题意得这(m+n)个数据的总和为mx+ny,故这(m+n)个数据的平均数为 .
m+n
13. 答案 113
解析 由圆锥的侧面积公式S =πrl得S =π×3×12=36π≈113(cm2).
侧 侧
√3 2√5
14. 答案 或
2 5
解析 ①当AC为斜边,AB为直角边时,如图.∵2AB=AC,∴BC= = AB,
√AC2-AB2 √3
BC √3AB √3
∴cos C= = = .
AC 2AB 2
②当AB,AC均为直角边时,如图.
∵2AB=AC,∴BC= = AB,
√AB2+AC2 √5
AC 2AB 2√5
∴cos C= = = .
BC √5AB 5
√3 2√5
综上所述,cos C= 或 .
2 5
15. 答案 y=-x+1或y=-x2+1或y=|x-1|等
解析 答案不唯一,例如:设函数的表达式为y=kx+b(k≠0),
{0=k+b, {k=-1,
由题意得 解得
1=b, b=1.
∴此函数的表达式为y=-x+1.
16. 答案 10+6√5
解析 由题意可知A'E∥PF,∴∠A'EP=∠D'PH.
由折叠的性质知∠A=∠A'=90°,∠D=∠D'=90°,
∴∠A'=∠D',∴△A'EP∽△D'PH.
A'E A'P PE
∴ = = .
D'P D'H PH
∵AB=CD,AB=A'P,CD=PD',∴A'P=PD'.
∵S ∶S =4∶1,
△A'EP △D'PH
A'E
∴ =2,即A'E=2D'P.
D'P
1 1
∴S = A'P·A'E= D'P·2D'P=4,解得D'P=2(负值舍去),
△A'EP
2 2
∴A'P=D'P=2,
1
∴AE=A'E=4,∴EP=√A'E2+A'P2=2√5,∴PH= EP=√5,
2
1
DH=D'H= A'P=1.
2
∵AD=AE+EP+PH+DH=5+3√5,
AB=A'P=2,
∴S =AB·AD=10+6√5.
矩形ABCD
三、解答题
17. 解析 圆圆的解答不正确.正确的解答如下:
4x 2(x+2) x2-4
原式= - -
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
4x-(2x+4)-(x2-4)
=
(x+2)(x-2)
-x(x-2)
=
(x+2)(x-2)
x
=- .
x+2
18. 解析 (1)补全折线统计图,如图所示.1
(2)①x = ×(48+52+47+49+54)=50,
甲 5
1
x = ×(-2+2-3-1+4)=0,
乙 5
所以x =x +50.
甲 乙
② = .理由如下:
S2 S2
甲 乙
1
因为S2 = [(-2-x )2+(2-x )2+(-3-x )2+(-1-x )2+(4-x )2]
乙 5 乙 乙 乙 乙 乙
1
= [(48-50-x )2+(52-50-x )2+(47-50-x )2+(49-50-x )2+(54-50-x )2]
5 乙 乙 乙 乙 乙
1
= [(48-x )2+(52-x )2+(47-x )2+(49-x )2+(54-x )2]
5 甲 甲 甲 甲 甲
= ,
S2
甲
所以 = .
S2 S2
甲 乙
19. 解析 (1)证明:因为点P在AB的垂直平分线上,
所以PA=PB,所以∠PAB=∠B,
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
(2)根据题意,得BQ=BA,所以∠BAQ=∠BQA.
设∠B=x,所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x,
所以∠BAQ=∠BQA=2x.
在△ABQ中,x+2x+2x=180°,
解得x=36°,即∠B=36°.
480
20. 解析 (1)根据题意,得vt=480,所以v= .
t
因为480>0,所以当v≤120时,t≥4,
480
所以v= (t≥4).
t
(2)①根据题意,得4.8≤t≤6.
480 480
因为480>0,所以 ≤v≤ ,
6 4.8
所以80≤v≤100.
②方方不能在11点30分前到达B地,理由如下:
若方方在11点30分前到达B地,则t<3.5,
480
所以v> >120,所以方方不能在11点30分前到达B地.
3.5
21. 解析 根据题意,得AD=BC=CD=1,∠BCD=90°.
(1)设CE=x(0<x<1),则DE=1-x.
因为S=S ,所以x2=1-x,
1 2
√5-1 √5-1
解得x= (负根舍去),即CE= .
2 2
(2)证明:因为点H为BC边的中点,1 √5
所以CH= ,所以HD= .
2 2
√5-1
因为CG=CE= ,点H,C,G在同一直线上,
2
1 √5-1 √5
所以HG=HC+CG= + = ,所以HD=HG.
2 2 2
22. 解析 (1)乙求得的结果不正确,理由如下:
根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0).
所以y=x(x-1).
当x=1时,y=1×(1 )=-1≠-1,
-1
2 2 2 4 2
所以乙求得的结果不正确.
x +x
(2)函数图象的对称轴为直线x= 1 2.
2
x +x
当x= 1 2 时,函数有最小值M,
2
M=(x +x )(x +x )=-(x -x )2 .
1 2-x 1 2-x 1 2
2 1 2 2 4
(3)证明:因为y=(x-x )(x-x ),
1 2
所以m=x x,n=(1-x )(1-x ),
1 2 1 2
所以mn=x x(1-x)(1-x )=(x - )(x- )
1 2 1 2 1 x2 2 x2
1 2
=[ ( 1) 2 1]·[ ( 1) 2 1].
- x - + - x - +
1 2 4 2 2 4
因为0<x<x<1,
1 2
所以结合y=x(1-x)的图象可知0<-( 1) 2 +1≤1,0<-( 1) 2 +1≤1,
x - x -
1 2 4 4 2 2 4 4
1
所以0<mn≤ ,
16
1
因为x≠x,所以0<mn< .
1 2
16
23. 解析 (1)①证明:连接OB,OC.
因为OB=OC,OD⊥BC,
1 1
所以∠BOD= ∠BOC= ×2∠BAC=60°,
2 2
所以∠OBD=30°,
1 1
所以OD= OB= OA.
2 2
②作AF⊥BC,垂足为点F,
3
所以AF≤AD≤AO+OD= ,等号当点A,O,D在同一直线上时取到.
2由①知,BC=2BD=√3,
1 1 3 3√3
所以△ABC的面积= BC·AF≤ ×√3× = ,
2 2 2 4
3√3
即△ABC面积的最大值是 .
4
(2)证明:设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.
因为△ABC是锐角三角形,
所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
即(m+n)α+β=180°.(*)
又因为∠ABC<∠ACB,
所以∠EOD=∠AOC+∠DOC=2mα+β.
因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,
所以2(m+1)α+β=180°.(**)
由(*) (**),得m+n=2(m+1),
即m-n+2=0.
