2013 年杭州市各类高中招生文化考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:100分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确
答案.
1.下列“表情图”中,属于轴对称图形的是( )
2.下列计算正确的是( )
-4
A.m3+m2=m5 B.m3·m2=m6 C.(1-m)(1+m)=m2-1 D. =
2(1-m)
2
m-1
3.在▱ABCD中,下列结论一定正确的是( )
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C
4.若a+b=3,a-b=7,则ab=( )
A.-10 B.-40 C.10 D.40
5.根据2008~2012年杭州市实现地区生产总值(简称GDP,单位:亿元)统计图所提供的信息,下
列判断正确的是( )
A.2010~2012年杭州市每年GDP增长率相同
B.2012年杭州市的GDP比2008年翻一番
C.2010年杭州市的GDP未达到5 500亿元
D.2008~2012年杭州市的GDP逐年增长
甲图中阴影部分面积
6.如图,设k= (a>b>0),则有( )
乙图中阴影部分面积A.k>2 B.1<k<2
1 1
C. <k<1 D.0<k<
2 2
7.在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直
B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点
C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点
D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
A.18√3 B.54√3
C.108√3 D.216√3
3
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sin A= ,则斜边上的高等于( )
5
64 48
A. B.
25 25
16 12
C. D.
5 5
1
10.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y= 的图象.
x
1
①如果 >a>a2,那么0<a<1;
a
1
②如果a2>a> ,那么a>1;
a
1
③如果 >a2>a,那么-1<a<0;
a
1
④如果a2> >a,那么a<-1. 则( )
a
A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.32×3.14+3×(-9.42)= .
12.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 .
√3 1
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A= ;②cos B= ;③tan A=
2 2
√3
;④tan B=√3,其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号).
3
14.杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表(单位:分),设4所高中2011年和2012
年的平均最低录取分数分别为x ,x ,则x -x = 分.
1 2 2 1
杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
学校 2011年 2012年
杭州A中 438 442
杭州B中 435 442
杭州C中 435 439
杭州D中 435 439
15.四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且BC=CD=2,AB=3.把梯形ABCD分别绕直
线AB,CD旋转一周,所得几何体的表面积分别为S,S ,则|S-S |= (平方单位).
1 2 1 2
16.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.
动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,√3 cm
为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上).请写出t可以取的一切值 (单位:秒).
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出
的解答写出一部分也可以.
17.(本小题满分6分)
如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点
Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?请写出一条.18.(本小题满分8分)
{
x+1<3x-3,
当x满足条件 时,求出方程x2-2x-4=0的根.
1 1
(x-4)< (x-4)
2 3
19.(本小题满分8分)
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.
求证:△GAB是等腰三角形.
20.(本小题满分10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,
1
4
且点A,C在一次函数y= x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y 随着x的增大
2 1
3
而减小时,求自变量x的取值范围.
21.(本小题满分10分)
某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序
号不同外其他均相同)打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片.
(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),
求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;
(2)若规定:取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不
重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?请说明理由;
(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.
22.(本小题满分12分)
(1)先求解下列两题:
(i)如图①,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求
∠A的度数;
图①(ii)如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,
k
点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数y= (x>0)的图象经过点B,D,求k的值;
x
图②
(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单地写出.
23.(本小题满分12分)
如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边
上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为
S.
1
(1)求证:∠APE=∠CFP;
S
(2)设四边形CMPF的面积为S
2
,CF=x,y=
1
.
S
2
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
答案全解全析：1.D 由轴对称图形的性质可知选D.
-4 4
2.D 因为m2与m2不是同类项,不能合并,m3·m2=m5,(1-m)(1+m)=1-m2, =
2(1-m) 2(m-1)
2
= ,故选D.
m-1
3.B 因为▱ABCD中,AD平行于BC,所以∠A+∠B=180°,故选B.
4.A 由a+b=3,a-b=7可解得a=5,b=-2,所以ab=-10.
5.D 由题图得,A:2010年到2011年的GDP增长略大于1 000亿元,但2011年到2012年的
GDP增长小于1 000亿元,故两次增长率必不相同.B:2012年的GDP小于8 000亿元,而2008
年的GDP大于4 000亿元,所以没有翻一番.C:2010年的GDP接近6 000亿元,很显然超过5
500亿元.
评析 此题只要完全读一遍,就能得到正确的答案,并不需要逐个计算.
6.B 由题意可知 k=a2-b2 =(a+b)(a-b)=a+b=1+b,因为 a>b>0,所以 0<b<1,则
a2-ab a(a-b) a a a
1<k<2,故选B.
7.C 因为A、B、D都可以画出反例,如下图,而C可以找到满足条件的图形,故选C.
A:如图,则A不正确;
B:如图,则B不正确;
C:如图,则C正确;D:如图,则D不正确.
√3
8.C 由三视图可知该几何体是一个直六棱柱,体积=底面积×高=6× ×62×2=108√3,故
4
选C.
3 4 12
9.B 由sin A= ,AB=4,可得sin B= ,BC= ,如图,过点C作AB的垂线交AB于点D,则根
5 5 5
CD 4 12 48
据sin B= = ,BC= ,可得CD= ,故选B.
BC 5 5 25
10.A 由题中图象可知③错误,满足②的还有-1<a<0,①,④正确.故选A.
评析 此题是数形结合的题目,求出交点坐标,再用平行于y轴的直线去寻找答案会很方便,
要注意的是不要丢解.
11.答案 0
解析 32×3.14+3×(-9.42)=9×(3.14-3.14)=0.
12.答案 -√7<√37<√7
解析 7的平方根有正负,需注意.
13.答案 ②③④
解析 因为∠ C=90°,AB=2BC,则该直角三角形是含 30°角的直角三角形 ,则
BC∶AB∶AC=1∶2∶√3,令BC=1,AB=2,AC=√3,作出图形.BC 1 BC 1 BC √3 AC
①sin A= = ,②cos B= = ,③tan A= = ,④tan B= =√3,则答案为②③④.
AB 2 AB 2 AC 3 BC
14.答案 4.75
解析 x -x =440.5-435.75=4.75(分).
2 1
15.答案 4π
解析 由题意可知,S 与S 的差即为以AB为轴旋转图形的侧面积与以CD为轴旋转图形的侧
1 2
面积的差,所以|S-S|=(AB-CD)·2π·BC=4π.
1 2
评析 此题虽然是中等难度的题目,但是学生找不好方法会使计算繁琐.分析出AD和BC这
两条线段两次旋转一周后所形成的面积是不变的,问题就比较好解决.
16.答案 t=2或3≤t≤7或t=8
解析 因为该圆的半径为√3,圆心P从Q点开始运动时会与圆3次相切,而AM=MB,AC∥QN,
所以MN为正三角形ABC的中位线,MN=2.
(1)当圆与正三角形AB边相切时,如图1,则PD=√3,易得DM=1,PM=2,QP=2,则t=2.
图1
(2)当圆与正三角形AC边相切时,如图2,事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN之间的距离
√3,所以 AP=√3,则 PM=1,QP=3,同理,NP=1,QP=7,而在此期间圆始终与 AC 边相切,所以
3≤t≤7.图2
(3)当圆与正三角形BC边相切时,如图3,则PD=√3,易得DN=1,PN=2,则QP=8,则t=8.
图3
三、全面答一答
17.解析 作图如图.
点Q即为所求作的点.
发现:AQ⊥DQ(△AQD是等腰直角三角形等).
{x>2,
18.解析 原不等式组可化为
x<4.
得2<x<4.
由方程x2-2x-4=0,
解得x=1+√5,x=1-√5.
1 2
因为2=√4<√5<√9=3,
所以3<x<4,-2<x<-1.
1 2
所以,所求的根为x=1+√5.
19.证明 因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,
所以AD=BC,∠ADE=∠BCF,
又因为DE=CF,
所以△ADE≌△BCF,
所以∠AED=∠BFC,
又因为AB∥DC,所以∠AED=∠GAB,∠BFC=∠GBA,
所以∠GAB=∠GBA,所以AG=BG,
即△GAB是等腰三角形.
20.解析 分两种情况:
(1)当点C在y轴正半轴时,n=c=8,
4
则y= x+8.
2
3
令y=0,得x=-6;令x=0,得y=8.
2 2
所以A(-6,0),C(0,8).
因为抛物线在x轴上截得的线段AB长为16,点A与点B在原点两侧,
所以点B的坐标为(10,0).
2
设y=a(x+6)(x-10),把C(0,8)代入得a=- ,
1
15
2 8
得y=- x2+ x+8.
1
15 15
8
b 15
对称轴方程x=- =- =2.
2a ( 2 )
2× -
15
因为函数y 随着x的增大而减小,所以所求自变量的取值范围是x>2.
1
(2)当点C在y轴负半轴时,
因为此时函数图象即为情况(1)的函数图象绕原点旋转180°,
所以所求自变量的取值范围是x<-2.
21.解析 (1)因为是20的倍数或能整除20的序号共有2+5=7个,序号共有50个,
7
所以,所求的概率为P= .
50
(2)不公平.
25+1 13
如:序号为2的同学能参加活动的概率是 = ,
50 252 1 13
而序号为47的同学能参加活动的概率是 = ≠ ,
50 25 25
因为某些同学能参加活动的概率不相等,所以这一规定不公平.
(3)开放题:
如规定:把50位同学的卡片分成五组.
第一组序号1至10,第二组序号11到20,第三组序号21到30,第四组序号31到40,第五组
序号41到50,若抽出序号属于哪组,则哪组学生参加活动.
1
在这一规定下,每位同学能参加活动的概率都是 .
5
即能公平地选出10位学生参加某项活动.
又如规定:抽到的序号被5除,得五种可能,分别是余数为0,1,2,3,4,
若抽到的序号被5除,余数为r(r=0,1,2,3,4),
则序号被5除,余数为r的同学均参加活动.
1
在这一规定下,每位同学能参加活动的概率都是 .
5
即能公平地选出10位学生参加某项活动.
22.解析 (1)(i)设∠A=x,
因为AB=BC,所以∠BCA=x,所以∠CBD=2x.
因为BC=CD,所以∠CDB=2x,
所以∠ECD=2x+x=3x.
因为CD=DE,
所以∠CED=3x,
所以∠EDM=3x+x=84°,
所以x=21°,
即∠A=21°.
(ii)因为点B的横坐标是3,点D的横坐标是1,k
点B,D在双曲线y= 上,
x
所以设点B,D的坐标分别是B( k),D(1,k).
3,
3
因为点C的横坐标是3,AC∥x轴,点D在AC上,所以点C的坐标是(3,k),
k
因为BC=2,所以k- =2,
3
解得k=3.
(2)两题都是求一个未知数(转化为解一元一次方程).
23.解析 (1)证明:因为∠EPF=45°,点P在AC上,
所以∠APE+45°+∠CPF=180°.
因为四边形ABCD是正方形,所以∠ACB=45°,
所以∠CPF+45°+∠CFP=180°,
所以∠APE=∠CFP.
(2)①在△APE与△CFP中,
∠PAE=∠PCF,∠APE=∠CFP,
所以△APE∽△CFP,
PA AE 8
所以 = ,得AE= .
CF CP x
因为点F,E分别在线段BC,AB上,∠EPF=45°,
所以2≤x≤4,
1 8 8 1
所以S = ×2· = ,S = ×2·x=x,
△APE △CFP
2 x x 2
8 8
S =S - -x=8- -x(2≤x≤4),
四边形PEBF △ABC
x x
因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,
所以S=2S ,S=2S ,
1 四边形PEBF 2 △CFP8
所以y= S 1= 8- x -x =-8 ( 1 - 1) -1
S x2 x
2 x
=-8(1 1) 2+1(2≤x≤4),
-
x 2
所以x=2时,y取最大值1.
②当两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,
BE=BF,所以AE=CF,
8
所以 =x,
x
解得x=2√2(负值舍去)经检验,x=2√2是分式方程的解,
8 8 8 8
此时y=- + -1=- + -1=-1+2√2-1=2√2-2.
x2 x (2√2)2 2√2
