26
二〇二〇年齐齐哈尔市初中学业考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.2 020的倒数是 ( )
1 1
A.2 020B.-2 020 C. D.-
2 020 2 020
2.下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是 ( )
3.下列计算正确的是 ( )
A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2
C.(-2a)2=-4a2 D.a·2a2=2a2
4.一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”,掷小正方体后,观察朝上一面的数字出现偶数的概率是 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
2 3 4 3
5.李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的速度小于下山的速度,在登山的过程中,他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是 ( )
6.数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习,并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图.由图可知,全班同学答对题数的众数为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3x m
7.若关于x的分式方程 = +5的解为正数,则m的取值范围为 ( )
x-2 2-x
A.m<-10 B.m≤-10
C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6
8.母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元,百合每支3元.小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
9.有两个直角三角形纸板,一个含45°角,另一个含30°角,如图①所示叠放,先将含30°角的纸板固定不动,再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转,使BC∥DE,如图②所示,则旋转角∠BAD的度数为 ( )A.15° B.30° C.45° D.60°
10.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①ac<0;②4a-2b+c>0;③当x>2时,y随x的增大而增大;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,满分21分)
11.2020年年初新冠肺炎疫情发生以来,近4 000 000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线.将数据4 000 000用科学记数法表示为 .
√x+3
12.在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
x-2
13.如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A、B、E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可)
14.如图是一个几何体的三视图,依据图中给出的数据,计算出这个几何体的侧面积是 .
第14题图
第16题图
15.等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 .
k
16.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在y轴上,点C的坐标为(2,-2),并且AO∶BO=1∶2,点D在函数y= (x>0)的图象上,则k的值为 .
x17.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A(0,2)变换到点A(6,0),得到等腰直角三角形②;第二次滚动后点A 变换到点A(6,0),得到等
1 2 2 3
腰直角三角形③;第三次滚动后点A 变换到点A(10,4√2),得到等腰直角三角形④;第四次滚动后点A 变换到点A(10+12√2,0),得到等腰直角三角形⑤;……依此规律,则第2 020个等腰直角三角形的面积是 .
3 4 4 5
三、解答题(本题共7道大题,共69分)
18.(本题共2个小题,第(1)题6分,第(2)题4分,共10分)
(1)计算:sin 30°+ -(3- )0+| 1|;
√16 √3 -
2
(2)因式分解:3a2-48.
19.(本题满分5分)
解方程:x2-5x+6=0.
20.(本题满分8分)
如图,AB为☉O的直径,C、D为☉O上的两个点, = = ,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
AC CD DB
⏜ ⏜ ⏜
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若直径AB=6,求AD的长.
21.(本题满分10分)新冠肺炎疫情期间,某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们的志愿服务时间进行统计,整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表
中的信息回答下列问题:
(1)本次被抽取的教职工共有 名;
(2)表中a= ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %;
(3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °;
(4)若该市共有30 000名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人?
志愿服务时间(小时) 频数
A 0<x≤30 a
B 30<x≤60 10
C 60<x≤90 16
D 90<x≤120 20
22.(本题满分10分)
团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800 km,在行驶过程中乙车速度始终保持80 km/h,甲车先以一定速度行驶了500 km,用时5 h,然后再以乙车的速度行
驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h到达绥芬河;
(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式,不用写出自变量x的取值范围;
(3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h时,甲、乙两车第一次相距40 km.
23.综合与实践(本题满分12分)
在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.
实践发现:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展平,连接AN,如图①.
(1)折痕BM (填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线;请判断图中△ABN是什么特殊三角形.答: ;进一步计算出∠MNE= °;
(2)继续折叠纸片,使点A落在BC边上的点H处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,把纸片展平,如图②,则∠GBN= °;
拓展延伸:
(3)如图③,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸片展平,连接AA'交ST于点O,连接AT.
求证:四边形SATA'是菱形;
解决问题:
(4)如图④,矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交AB边于点T,交AD边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后,得出线段AT的长度有4,5,7,9.
请写出以上4个数值中你认为正确的数值 .24.综合与探究(本题满分14分)
1
在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线AB的函数解析式为 ,点M的坐标为 ,cos∠ABO= ;连接OC,若过点O的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1∶2的两部分,则点P的坐标为 ;
(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA'交y轴于点Q,连接AM、AQ,此时△AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标;
(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
26二〇二〇年齐齐哈尔市初中学业考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A A B C D B B C
1
1.C 根据倒数的定义可知,2 020的倒数是 .故选C.
2 020
2.D 一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,则称该图形为轴对称图形,由此观察发现,只有D选项中的图形符合要求,故选D.
3.A A选项中,a+2a=(1+2)a=3a,故A正确;
B选项中,(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;
C选项中,(-2a)2=(-2)2·a2=4a2,故C错误;
D选项中,a·2a2=2·a1+2=2a3,故D错误.
3 1
4.A 掷小正方体后,朝上一面的数字共有6种等可能的结果,即“1”“2”“3”“4”“5”“6”,其中朝上一面的数字出现偶数,有3种等可能的结果,即“2”“4”“6”,因此P(朝上一面的数字为偶数)= = ,故选A.
6 2
5.B 李强在登山过程中,可大致分为三个过程:①先匀速登上山顶;②在原地休息一段时间;③匀速下山,且下山速度比上山速度快.可采取排除法解决.过程②中,李强原地休息,因此s随着时间t的变化不发生改变,即图象为平行于x轴的线段,故可排除A、C选项;过程①和③中,上山和下山的速
度均为匀速,但上山速度小于下山速度,因此,从图象上看,下山时对应的图象应比上山时对应的图象更陡,故可排除D.因此选B.
6.C 由统计图的数据可知,答对9题的学生数是最多的,因此全班同学答对题数的众数为9,故选C.
3x m
7.D 将分式方程 = +5两边同时乘(x-2),
x-2 2-x
去分母整理得2x=m+10,
m+10
系数化为1得x= ,
2
m+10 m+10
由 >0,且 -2≠0,
2 2
解得m>-10且m≠-6,故选D.
8.B 设小明购买了x支康乃馨,y支百合,
则有2x+3y=30,
根据题意知,x、y均为正整数,
{x=12, {x=9, {x=6, {x=3,
所以2x+3y=30的正整数解为 或 或 或 共有4组解,
y=2 y=4 y=6 y=8,
因此小明共有4种购买方案.
故选B.
9.B 如图所示,由题意得∠B=60°,∠D=90°,由BC∥DE可得∠D=∠CFA=90°,所以∠BAD=∠CFA-∠B=90°-60°=30°.故选B.
10.C 对于①,由图象可知,抛物线开口向上,故a>0,抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上,故c<0,所以ac<0,①正确;
对于②,令x=-2,则y=4a-2b+c,易知(4,0)关于直线x=1的对称点为(-2,0),即抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),所以当x=-2时,y=0,故4a-2b+c=0,②错误;
对于③,由题中图象可知,当x>1时,y随x的增大而增大,所以当x>2时,y也随x的增大而增大,故③正确;
对于④,由上述分析可知,抛物线与x轴有两个交点,即Δ=b2-4ac>0,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故④正确,
所以共有3个正确的结论,故选C.
二、填空题
11. 答案 4×106
解析 4 000 000=4×1 000 000=4×106.
12. 答案 x≥-3且x≠2
√x+3
解析 对于函数y= ,自变量x满足x+3≥0且x-2≠0,所以x≥-3且x≠2.
x-2
13. 答案 AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE)
解析 在△ABD和△ABC中,已知∠DAB=∠CAB,AB为公共边,因此可以有以下几种方法:
①添加“AD=AC”,利用SAS判定全等;
②添加“∠ABD=∠ABC”,利用ASA判定全等;
③添加“∠D=∠C”,利用AAS判定全等;
④添加“∠DBE=∠CBE”,从而证得∠ABD=∠ABC或∠D=∠C,再利用ASA或AAS判定全等.
14. 答案 65π
解析 根据几何体的三视图可以推断该几何体为圆锥,
且底面直径为10,母线长为13,
10
所以圆锥侧面积S =π× ×13=65π.
侧 215. 答案 10或11
解析 等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论:
①若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10;
②若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11.
故其周长为10或11.
16. 答案 2
1 k
解析 由矩形的性质知AD=BC,BC⊥AB,AD⊥y轴,由C(2,-2)可得OB=2,BC=AD=2,所以AO= OB=1,所以D点的坐标为(2,1),将D点坐标代入y= 中,得k=2×1=2.
2 x
17. 答案 22 020
解析 可令等腰直角三角形①的直角边长为a,等腰直角三角形②的直角边长为a,……依此类推.
1 2
√2
由A(0,2),A(6,0),A(6,0),A(10,4√2)推出a=2,a= ×(6-2)=2√2,a=10-6=4,a=4√2,……
1 2 3 4 1 2 3 4
2
解法一:由此可发现从a=2开始,后一个等腰直角三角形的直角边长是前一个的√2倍,因此a =2(√2)2 019=(√2)2 021,
1 2 020
设第2 020个等腰直角三角形的面积为S .
2 020
1 1 1
∴S = ·a2 = ×[(√2)2 021]2= ×22 021=22 020.
2 020 2 2 020 2 2
解法二:令第n个等腰直角三角形的面积为S,
n
1 1
则S= a2= ×22=2,
1 2 1 2
1 1 1
S= a2= ×(2√2)2= ×8=4=22,
2 2 2 2 2
1 1 1
S= a2= ×42= ×16=8=23,
3 2 3 2 2
……
∴S =22 020.
2 020
三、解答题
18. 解析 (1)sin 30°+ -(3- )0+| 1|
√16 √3 -
2
1 1
= +4-1+
2 2
=4.
(2)原式=3(a2-16)=3(a+4)(a-4).
19. 解析 (x-2)(x-3)=0.
∴x=2,x=3.
1 2
(公式法、配方法均可)
20. 解析 (1)证明:连接OD.
∵ = = ,∠AOB=180°,
AC CD DB
⏜ ⏜ ⏜
1
∴∠BOD= ×180°=60°.
3
∵ = ,
CD DB
⏜ ⏜
1
∴∠EAD=∠DAB= ∠BOD=30°,
2
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAB=30°.
∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,
∴∠EDA=60°,
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°.
∴OD⊥DE.
∴DE是☉O的切线.
(2)连接BD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠DAB=30°,AB=6,
1
∴BD= AB=3.
2
∴AD= =3 .
√62-32 √3
21. 解析 (1)由题图和题表可知“B”部分的频数为10,所占百分比为20%,
∴被抽取的教职工共有10÷20%=50名.故答案为50.
(2)a=50-10-16-20=4.
16
“C”部分所占百分比为 ×100%=32%.故答案为4;32.
50
20
(3)“D”所对应的扇形圆心角的度数为 ×100%×360°=144°.故答案为144.
50
16+20
(4)由题意可知30 000× ×100%=21 600(人),
50
∴全市志愿服务时间多于60小时的教职工大约有21 600人.
500 800
22. 解析 (1)甲车改变速度前的速度是 =100 km/h.乙车到达绥芬河所需要的时间是 =10 h.故答案为100;10.
5 80
(2)∵乙车速度为80 km/h,
800-500 35
∴甲车到达绥芬河的时间为5+ = (h).
80 4
{
5k+b=500,
甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(5,500)和(35 )代入,得
,800 35
4 k+b=800,
4
∴k=80,b=100.
∴y=80x+100.
故甲车改变速度后,到达绥芬河前的函数解析式为y=80x+100.甲车到达绥芬河后,函数解析式为y=800.
35 35
(3)由(2)知甲车用了 h到达绥芬河,此时乙车行驶的路程为 ×80=700 km,距绥芬河还有800-700=100 km,设出发t h后,甲、乙两车第一次相距40 km,
4 4
∵甲、乙两车同时出发且甲车速度大于乙车速度,
∴100t-80t=40,解得t=2.
故答案为100;2.
BE 1
23. 解析 (1)根据折叠的性质可知AB=BN,AE=BE,∠BAD=∠BNM=90°,∠AEN=∠BEN=90°,且对应点所连线段被对称轴垂直平分,故折痕BM是线段AN的垂直平分线.cos∠EBN= = ,所以∠EBN=60°,故△ABN为等边三角形,且∠ENB=30°,所以
BN 2
∠MNE=90°-30°=60°.
(2)由(1)可知∠ABN=60°且∠ABC=90°,所以∠NBC=30°,
1
由折叠可知∠ABG=∠HBG= ∠ABC=45°,
2
所以∠GBN=45°-30°=15°.
(3)证明:由折叠可知,AT=A'T,AS=A'S,∠ATS=∠A'TS,
因为AD∥BC,所以∠AST=∠A'TS,所以∠AST=∠ATS,所以AT=AS,
所以AT=A'T=AS=A'S,
所以四边形SATA'是菱形.
(4)令AT=x,则A'T=x,TB=10-x,
根据直角三角形的直角边长小于斜边长得10-x<x且x≤10,
即5<x≤10,故7和9正确.
1
{ ×16-4b+c=0,
24. 解析 (1)由已知,得 2
1
×4+2b+c=6,
2
1
∴b=2,c=0.∴y= x2+2x.
2
(2)∵OA=OB,∴OB=4,则B(0,4),
设直线AB的解析式为y=kx+m(k≠0),
{-4k+m=0, {k=1,
把A(-4,0),B(0,4)代入可得 解得
m=4, m=4,
∴直线AB的解析式为y=x+4.
1 1
由(1)可知y= x2+2x,则y= (x+2)2-2,
2 2
∴M的坐标为(-2,-2),
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠ABO=45°,
√2
∴cos∠ABO=cos 45°= .
2
∵OP将△AOC的面积分成1∶2两部分,
∴S ∶S =1∶3或S ∶S =2∶3,
△APO △ACO △APO △ACO
∵△APO与△ACO有公共底边AO,且点C的坐标为(2,6),
1 1
y ·OA y ·OA
2 P 1 2 P 2
∴ = 或 = .
1 3 1 3
y ·OA y ·OA
2 C 2 C
∴y =2或y =4.
P P
∵点P在直线AB上,
∴x=-2或x=0.
∴点P的坐标为(-2,2)或(0,4).
(3)设直线MA'的解析式为y=kx+b(k≠0),
1 1 1
将A'(4,0)和M(-2,-2)代入,得{ 4k
1
+b
1
=0,
-2k +b =-2,
1 1
1 4 1 4
∴k= ,b=- .∴y= x- .
1 1
3 3 3 3
把x=0代入,得y=-4.∴Q( 4).
0,-
3 3
(4)存在,N (-2,6),N (6,6),N (-6,-6).
1 2 3
详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N.
①A到C的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O平移后得到N(6,6);
②C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O平移后得到N(-6,-6);③O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).
