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2020年北京市高级中等学校招生考试
(满分:100分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第1~8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.如图是某几何体的三视图,该几何体是 ( )
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
2.2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道.将36 000用科学记数法表示应为 ( )
A.0.36×105 B.3.6×105 C.3.6×104 D.36×103
3.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
4.下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是 ( )
5.正五边形的外角和为 ( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足-a<b<a,则b的值可以是( )
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
7.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
8.有一个装有水的容器,如图所示.容器内的水面高度是10 cm,现向容器内注水,并同时开始计时.在注水过程中,水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是 ( )
A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
1
9.若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 .
x-7
10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 .11.写出一个比 大且比 小的整数 .
√2 √15
{x- y=1,
12.方程组 的解为 .
3x+ y=7
m
13.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y= 交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y,y,则y+y 的值为 .
x 1 2 1 2
14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是 (写出一个即可).
15.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S S (填“>”“=”或“<”).
△ABC △ABD
16.下图是某剧场第一排座位分布图.
甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票
后,丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序 .
三、解答题(本题共68分,第17~20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23~24题,每小题6分,第25题5分,第26题6分,第27~28题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:(1) -1 + +|-2|-6sin 45°.
√18
3
{5x-3>2x,
18.解不等式组:
2x-1 x
< .
3 2
19.已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.20.已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.
1
求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP= ∠BAC.
2
作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;
②连接BP.
线段BP就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵CD∥AB,
∴∠ABP= .
∵AB=AC,
∴点B在☉A上.
又∵点C,P都在☉A上,
1
∴∠BPC= ∠BAC( )(填推理的依据).
2
1
∴∠ABP= ∠BAC.
2
21.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
22.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.23.如图,AB为☉O的直径,C为BA延长线上一点,CD是☉O的切线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠ADC=∠AOF;
1
(2)若sin C= ,BD=8,求EF的长.
3
1
24.小云在学习过程中遇到一个函数y= |x|(x2-x+1)(x≥-2).
6
下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当-2≤x<0时,
对于函数y=|x|,即y=-x,当-2≤x<0时,y 随x的增大而 ,且y>0;
1 1 1 1
对于函数y=x2-x+1,当-2≤x<0时,y 随x的增大而 ,且y>0;
2 2 2
结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2≤x<0时,y随x的增大而 .
(2)当x≥0时,
对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:
1 3 5
x 0 1 2 3 …
2 2 2
1 1 7 95 7
y 0 1 …
16 6 16 48 2
结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象.
1
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与函数y= |x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,则m的最大值是 .
6
25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:
a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:
时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日
平均数 100 170 250
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 (结果取整数);
(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍(结果保留小数点后一位);
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为 ,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为 ,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为 .直接写出 , , 的大小关系.
s2 s2 s2 s2 s2 s2
1 2 3 1 2 3
26.在平面直角坐标系xOy中,M(x,y),N(x,y)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x<x.
1 1 2 2 1 2
(1)若抛物线的对称轴为直线x=1,当x,x 为何值时,y=y=c;
1 2 1 2
(2)设抛物线的对称轴为直线x=t.若对于x+x>3,都有y<y,求t的取值范围.
1 2 1 2
27.在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
28.在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径为1,A,B为☉O外两点,AB=1.
给出如下定义:平移线段AB,得到☉O的弦A'B'(A',B'分别为点A,B的对应点),线段AA'长度的最小值称为线段AB到☉O的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB得到☉O的长度为1的弦PP 和PP,则这两条弦的位置关系是 ;在点P,P,P,P 中,连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到☉O的“平移距离”;
1 2 3 4 1 2 3 4(2)若点A,B都在直线y=√3x+2√3上,记线段AB到☉O的“平移距离”为d,求d 的最小值;
1 1
(3)若点A的坐标为(
2,
3),记线段AB到☉O的“平移距离”为d
2
,直接写出d
2
的取值范围.
2
1
2020年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A D B B C B
1.D 根据题中三视图可以判断该几何体是长方体.故选D.
2.C 36 000=3.6×104.故选C.
3.A ∠1和∠2是对顶角,所以∠1=∠2,选项A正确;∠2是△AOD的外角,所以∠2>∠3,同理∠2是△COB的外角,∠2>∠5,选项B、D错误;∠1是△COB的外角,所以∠1=∠4+∠5,选项C错误.故选A.
4.D 选项A不是中心对称图形,是轴对称图形;选项B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D既是中心对称图形也是轴对称图形.故选D.
5.B 多边形的外角和是360°.故选B.
6.B 通过观察数轴可知1<a<2,所以-2<-a<-1.因为-a<b<a,所以b对应的点到原点的距离一定小于2.观察四个选项,只有选项B符合.故选B.
1
7.C 解法一:摸两次球,可能的结果有4种,分别为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),数字之和为3的情况有2种,所以两次记录的数字之和为3的概率为 .故选C.
2
解法二:画树状图如下.
2 1
所以共有4种情况,它们发生的可能性相等,其中数字之和为3的情况有2种,所以两次记录的数字之和为3的概率是 = .
4 2
8.B 设注水时间为t秒,水面高度为h cm,当t=0时,h=10 cm,所以不是正比例函数关系;又由题意可知,水面高度匀速增加,所以可知水面高度与对应的注水时间是一次函数关系.故选B.
二、填空题
9. 答案 x≠7
1
解析 代数式 有意义,即x-7≠0,解得x≠7.
x-7
10. 答案 1
解析 一元二次方程有两个相等的实数根,所以Δ=4-4k=0,解得k=1.
11. 答案 答案不唯一,如:2
解析 1<√2<2,3<√15<4,所以比√2大且比√15小的整数为2或3.答案不唯一,写出1个即可,如:2.
{x=2
12. 答案
y=1
{ x- y=1,① {x=2,
解析 ①+②得4x=8,所以x=2.将x=2代入①解得y=1,所以
3x+ y=7,② y=1.
13. 答案 0m
解析 根据题意可知直线y=x和双曲线y= 的交点为(-√m,-√m), (√m,√m),所以y+y=-√m+√m=0.
1 2
x
14. 答案 答案不唯一,如:D是BC的中点
解析 根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据“角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加
∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.
15. 答案 =
解析 根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.
16. 答案 答案不唯一,如:丙、丁、甲、乙
解析 已知丙第一个购票,且买4张,可知丙购买的是3,1,2,4这四个位置,则左边剩余6个位置,右边剩余5个位置;
若甲第二个购票,则甲购买的是5,7这两个位置,此时只能是丁第三个购票,乙最后购票,否则无法满足题意,即此时顺序为丙、甲、丁、乙;
同理,若乙第二个购票,则乙购买的是5,7,9这三个位置,接下来只能是丁第三个,甲第四个,即此时顺序为丙、乙、丁、甲;
若丁第二个购票,则甲、乙顺序无影响,即此时顺序为丙、丁、甲、乙(或丙、丁、乙、甲).
三、解答题
√2
17. 解析 原式=3+3√2+2-6× (4分)
2
=5. (5分)
{5x-3>2x,①
18. 解析
2x-1 x
< .②
3 2
解不等式①,得x>1. (2分)
解不等式②,得x<2. (4分)
∴原不等式组的解集为1<x<2. (5分)
19. 解析 (3x+2)(3x-2)+x(x-2)
=9x2-4+x2-2x
=10x2-2x-4. (3分)
∵5x2-x-1=0,
∴5x2-x=1.
∴原式=2(5x2-x)-4=-2. (5分)
20. 解析 (1)补全的图形如图所示.
(2分)
(2)∠BPC; (3分)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (5分)
21. 解析 (1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴DO=BO,
∵E是AD的中点,∴EO∥AB,
∵EF∥OG,∴四边形OEFG是平行四边形,
∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,
∴四边形OEFG是矩形.(3分)
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=AD=10.
在Rt△AOD中,E为AD的中点,
1 1
∴AE= AD=5,OE= AD=5.∵EF=4,
2 2
∴在Rt△AFE中,AF= = =3.
√AE2-EF2 √52-42
∵四边形OEFG是矩形,
∴FG=EO=5,
∴BG=AB-AF-FG=2. (6分)
22. 解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,
∴k=1. (1分)
∵一次函数y=x+b的图象过点(1,2),
∴1+b=2,∴b=1. (2分)
∴这个一次函数的解析式为y=x+1. (3分)
(2)m≥2. (5分)
详解:当x>1时,函数y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m≠0)的图象在直线y=x+1上方,临界条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,
当m>2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x>1时,y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值.∴m的取值范围为m≥2.
23. 解析 (1)证明:连接OD,如图.
∵CD是☉O的切线,∴∠ODC=90°,∴∠ADC+∠ADO=90°.
∵OF⊥AD于点E,∴∠AEO=90°,AE=DE,
∴∠OAD+∠AOF=90°.∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,∴∠ADC=∠AOF. (3分)
OD 1
(2)在Rt△CDO中,sin C= = .
OC 3
设OD=x,则OC=3x,BC=4x.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠AEO=∠ADB,
OF OC 3x 1
∴OF∥BD,∴△COF∽△CBD,∴ = .∵BD=8,∴OF= ×8=6.∵AE=DE,AO=BO,∴OE= BD=4,
BD BC 4x 2
∴EF=OF-OE=2.(6分)
24. 解析 (1)减小;减小;减小.(3分)
详解:在函数y=-x中,∵k=-1<0,
1
∴当-2≤x<0时,y 随x的增大而减小.
1
∵y
2
=x2-x+1=(
x-
1) 2+3,∴其图象的对称轴为直线x=1,∴当-2≤x<0时,y
2
随x的增大而减小.
2 4 2
1
综上所述,y= |x|(x2-x+1)在-2≤x<0时,y随x的增大而减小.
6
(2)
(4分)
7
(3) . (6分)
3
7 7 7
详解:根据(1),可知当-2≤x<0时,y随x的增大而减小,当x=-2时,y= ,所以若直线l与函数图象有两个交点,则m的取值范围是0<m≤ ,即最大值为 .
3 3 3
(100+170+250)×10 520
25. 解析 (1)x= = ≈173,
30 3
即答案为173. (2分)
173
(2) ≈2.9. (4分)
60
(3) > > . (5分)
s2 s2 s2
1 2 3
详解:根据题中图象可知,1日到10日的数据最分散,21日到30日的数据最为集中,根据方差的意义可知 > > .
s2 s2 s2
1 2 3
26. 解析 (1)由抛物线的性质可知,只有当点M(x,y),N(x,y)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y=y.
1 1 2 2 1 2
∵x<x,∴当x-1=1-x 时,y=y.
1 2 2 1 1 2∵抛物线过点(0,c),∴x=0,
1
∴x=2,∴当x=0,x=2时,y=y=c. (3分)
2 1 2 1 2
3
(2)当t≤ 时,∵x+x>3,x<x,
1 2 1 2
2
3
∴x> .
2
2
3
故当t≤ 时,只需讨论x>t的情况.
2
2
3
①当x<t<x 时,∵x+x>3,t≤ ,∴x+x>2t.
1 2 1 2 1 2
2
∵抛物线的对称轴为直线x=t,且x<t,∴t<2t-x<x.
1 1 2
∵当x=2t-x 时,y=y,且a>0,∴y<y,符合题意.
1 1 1 2
②当t≤x<x 时,∵a>0,∴y<y,符合题意,
1 2 1 2
3
∴当t≤ 时,对于x+x>3,都有y<y.
1 2 1 2
2
3 3
当t> 时,令x= ,x=t,此时x+x>3,但y>y,不符合题意.
1 2 1 2 1 2
2 2
3
综上所述,t的取值范围是t≤ . (6分)
2
27. 解析 (1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∴∠DFB=90°.
BF BD
∵∠C=90°,∴DF∥AC.∵BD=DA,∴ = =1.∴BF=FC,
FC DA
∵AE=a,BF=b,
∴在Rt△ECF中,EF= = = . (2分)
√CE2+CF2 √AE2+BF2 √a2+b2
(2)依题意补全图形,如图.
线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2.
证明:延长ED至点G,使得DG=DE,连接BG,FG.
∵DE⊥DF,∴FE=FG.∵D为AB的中点,∴AD=BD,
∵∠ADE=∠BDG,∴△ADE≌△BDG,
∴∠AED=∠BGD,AE=BG.∴CE∥BG,
∴∠GBF=∠ACB=90°.
在Rt△GBF中,BG2+BF2=GF2,
∴AE2+BF2=EF2.(7分)
28. 解析 (1)平行;P.(2分)
3
详解:由题意可知PP,PP 都是由线段AB平移得来的,所以PP∥PP.
1 2 3 4 1 2 3 4
由题意可知点A与点P,点P 是对应点,且点A与点P 在x轴上方,点P 在x轴下方,且点P 与点P 关于x轴对称,所以连接点A与点P 的线段的长度小于连接点A与点P 的线段的长度.所以连接点A与点P 的线段的长度等于线段AB到☉O的“平
1 3 3 1 1 3 3 1 3
移距离”.
(2)如图,由题意可得,AB∥A'B'且AB=A'B'=1,
则四边形AA'B'B为平行四边形.由题意可得,AA'=d.
1
分别取AB和A'B'的中点M和M',连接MM',可得MM'=AA'.
√3
连接OM',则OM'⊥A'B',且OM'= .
2
设直线y=√3x+2√3交x轴于点C,交y轴于点D,
则点C(-2,0),D(0,2√3).
延长OM'交直线CD于点N,则ON⊥CD.
√3
在Rt△COD中,可得ON=√3.∴NM'= .
2
√3
∵MM'≥NM',∴AA'≥ .
2
√3
∴d 的最小值是 (当AB的中点M与点N重合时取得). (5分)
1
2
3 √39
(3) ≤d≤ . (7分)
2 2 2
提示:当点A'在线段OA上时(如图1),可知AA'有最小值,易求得AO=2.5,所以AA'的最小值为2.5-1=1.5;当AA'=AA″时(如图2),AA'有最大值,OP=0.5,AO=2.5,A'P=√3,可知AA'= √
(0.5+2.5)2+
(√3) 2 =√39.
2 2 2
图1
图2
