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江西省 2013 年中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 18 分)
一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)每小题只有一个正确选项.
1.-1的倒数是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.(3a-b)2=9a2-b2
C.a6b÷a2=a3b D.(-ab3)2=a2b6
3.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况:
城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌
污染指数 342 163 165 45 227 163
则这组数据的中位数和众数分别是( )
A.164和163 B.105和163
C.105和164 D.163和164
4
4.如图,直线y=x+a-2与双曲线y= 交于A,B两点,则当线段AB的长度取最小值时,a的值为(
x
)
A.0 B.1 C.2 D.5
5.一张坐凳的形状如图所示,以箭头所指的方向为主视方向,则它的左视图可以是( )
6.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x,0),(x,0),且x0 B.b2-4ac≥0
C.x 3x,16.如图AB是半圆的直径.图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺
按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
四、(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
17.先化简,再求值:x2-4x+4÷x2-2x+1,在0,1,2三个数中选一个合适的,代入求值.
2x x2
18.甲、乙、丙3人聚会,每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜
色不同),将3件礼物放在一起,每人从中随机抽取一件.
(1)下列事件是必然事件的是( )
A.乙抽到一件礼物
B.乙恰好抽到自己带来的礼物
C.乙没有抽到自己带来的礼物
D.只有乙抽到自己带来的礼物
(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A),请列出事件A的所有可能的
结果,并求事件A的概率.五、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
k
19.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平
x
行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
(1)直接写出B、C、D三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个
点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
20.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉,造成极大的浪费,为此数学兴趣小组的同学对某单
位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,为期半天的会议中,每人发一瓶500 ml的矿
1
泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,大致可分为四种:A.全部喝完;B.喝剩约 ;C.喝剩
3
约一半;D.开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图,根据统计图提供的
信息,解答下列问题:
(1)参加这次会议的有多少人?在图(2)中D所在扇形的圆心角是多少度?并补全条形统计图;
(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费,试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升?(计算
结果请保留整数)(3)据不完全统计,该单位每年约有此类会议60次,每次会议人数约在40至60人之间,请用(2)
中计算的结果,估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500 ml/瓶)约有多少瓶?(可使用
科学计算器)
六、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线
OAB.如图2所示,量得连杆OA长为10 cm,雨刮杆AB长为48 cm,∠OAB=120°.若启动一次刮
雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置,如图3所示.
(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离;(结果精确到0.01)
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍)
√3 1
(参考数据:sin 60°= ,cos 60°= ,tan 60°=√3,√721≈26.851,可使用科学计算器)
2 2
图1 图2 图3
22.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是☉O外
一点,连结AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C.
(1)证明PA是☉O的切线;
(2)求点B的坐标;
(3)求直线AB的解析式.七、(本大题共2小题,第23题10分,第24题12分,共22分)
23.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1
所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确
的是 .(填序号即可)
1
①AF=AG= AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.●数学思考:
2
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M
是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.
●类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所
示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MED的形状.
答: .24.已知抛物线 y=-(x-a )2+a(n 为正整数,且 00,a<0两种情况,画出两个草图来分析(见下图).
A项, 抛物线的开口可向上也可向下,故本选项错误;B项, 抛物线与x轴有两个不同的交点,
则 b2-4ac>0,故本选项错误;C 项, 在图 1 中,a>0,且有 x0,且有x3x,得x<3,(3分)
∴不等式组的解集为-1≤x<3.(4分)
将解集在数轴上表示为:(5分)
16.解析 (1)在图1中,点P即为所求.
(2)在图2中,CD即为所求.
(x-2)2 x2
17.解析 原式= · +1(2分)
2x x(x-2)
x-2
= +1(3分)
2
x
= .(4分)
2
∵分式x2-2x为除式,∴x≠0且x≠2.
x2
1
当x=1时,原式= .(6分)
2
18.解析 (1)A.(2分)
(2)依题意可画树状图(下列两种方式均可):图1
图2
(直接列举出6种可能结果也可)
符合题意的只有两种情况:①乙丙甲②丙甲乙(按图1)或①(甲乙),(乙丙),(丙甲);②(甲
丙),(乙甲),(丙乙)(按图2).(5分)
2 1
∴P(A)= = .(6分)
6 3
19.解析 (1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).(3分)
(2)这两个点是A、C.(4分)
如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a).
k
∵点A',点C'在y= 的图象上,
x
∴2(6-a)=6(4-a),(6分)
解得a=3,(7分)
∴点A'(2,3),
6
∴反比例函数的解析式为y= .(8分)
x1
20.解析 (1)根据所给扇形统计图可知,喝剩约 的人数是总人数的50%,
3
∴25÷50%=50(人),参加这次会议的总人数为50.(1分)
5
∵ ×360°=36°,
50
∴D所在扇形的圆心角的度数为36°.(2分)
补全条形统计图如图.(3分)
(2)根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为
( 1 1 )÷50
25×500× +10×500× +5×500
3 2
27 500
= ÷50≈183(ml).(6分)
3
(3)该单位每年参加此类会议的总人数约为2 400~3 600人,
则浪费矿泉水约为3 000×183÷500=1 098(瓶).(8分)
21.解析 (1)雨刮杆AB旋转的最大角度为180°.(1分)
连结OB,过O点作AB的垂线交BA的延长线于E点,
∵∠OAB=120°,
∴∠OAE=60°.
在Rt△OAE中,
∵∠OAE=60°,OA=10 cm,OE OE
∴sin ∠OAE= = ,
OA 10
∴OE=5√3 cm,(2分)
∴AE=5 cm,∴EB=AE+AB=53 cm.(3分)
在Rt△OEB中,
∵OE=5√3 cm,EB=53 cm,
∴OB= = =2 ≈53.70(cm).(4分)
√OE2+BE2 √2 884 √721
(2)∵雨刮杆AB旋转180°得到CD,即△OCD与△OAB关于点O中心对称,
∴△BAO≌△DCO,∴S =S (直接证明全等得到面积相等的也给相应的分值),(7分)
△BAO △DCO
1
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S= π(OB2-OA2)(8分)
2
=1 392π(cm2).(9分)
(用OB≈53.70计算得到1 392π的,该步骤也得相应分值)
22.解析 (1)证明:依题意可知,A(0,2),
∵A(0,2),P(4,2),
∴AP∥x轴,(1分)
∴∠OAP=90°,且点A在☉O上,
∴PA是☉O的切线.(2分)
(2)解法一:连结OP,OB,作PE⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点D,
∵PB切☉O于点B,
∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC.
又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PCE,∴△OBC≌△PEC,
∴OC=PC,(3分)
(或证Rt△OAP≌Rt△OBP,再得到OC=PC也可)
设OC=PC=x,
则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,
在Rt△PCE中,∵PC2=CE2+PE2,
5
∴x2=(4-x)2+22,解得x= ,(4分)
2
5 3
∴BC=CE=4- = .
2 2
1 1 1 3 1 5 6
∵ OB·BC= OC·BD,即 ×2× = × ×BD,∴BD= ,(5分)
2 2 2 2 2 2 5
√ 36 8
∴OD=√OB2-BD2= 4- = ,
25 5
由点B在第四象限可知B(8 6).(7分)
,-
5 5
解法二:连结OP,OB,作PE⊥x轴于点E,BD⊥y轴于点D,
∵PB切☉O于点B,
∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC.
又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PCE,
∴△OBC≌△PEC,
∴OC=PC(或证Rt△OAP≌Rt△OBP,再得到OC=PC也可).(3分)
设OC=PC=x,则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,
Rt△PCE中,∵PC2=CE2+PE2,
5
∴x2=(4-x)2+22,解得x= ,(4分)
2
5 3
∴BC=CE=4- = .
2 2
∵BD∥x轴,
∴∠COB=∠OBD,
又∵∠OBC=∠BDO=90°,
3 5
OB CB OC 2
∴△OBC∽△BDO,∴ = = ,即 = 2 =2,
BD OD BO BD
OD 2
8 6
∴BD= ,OD= ,
5 5
由点B在第四象限可知B(8 6).(7分)
,-
5 5
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b,
{
b=2,
由A(0,2),B(8 6),可得 (8分)
,- 8 6
5 5 k+b=- ,
5 5
{ b=2,
解得 ∴直线AB的解析式为y=-2x+2.(9分)
k=-2,
23.解析 ●操作发现:①②③④.(2分)
●数学思考:MD=ME,MD⊥ME.(3分)
先证MD=ME:
如图,分别取AB,AC的中点F,G,连结DF,MF,MG,EG,
∵M是BC的中点,1
∴MF∥AC,MF= AC.
2
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线,
1
∴EG⊥AC且EG= AC,
2
∴MF=EG,
同理可证DF=MG.
∵MF∥AC,
∠MFA+∠BAC=180°,
同理可得∠MGA+∠BAC=180°,
∴∠MFA=∠MGA,
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°,
同理可得∠DFA=90°,
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA,
即∠DFM=∠MGE,又MF=EG,DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴MD=ME.(7分)
再证MD⊥ME:
证法一:∵MG∥AB,
∴∠MFA+∠FMG=180°,
即∠MFA+∠FMD+∠DME+∠EMG=180°,
又∵△DFM≌△MGE,∴∠EMG=∠MDF,
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,
∴∠DME=90°,
即MD⊥ME.(9分)证法二:如图,MD与AB交于点H,
∵AB∥MG,
∴∠DHA=∠DMG,
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,∴∠DHA=∠FDM+90°,
∵∠DMG=∠DME+∠GME,
又∵△DFM≌△MGE,∴∠FDM=∠GME,
∴∠DME=90°,
即MD⊥ME.(9分)
●类比探究:
等腰直角三角形.(10分)
24.解析 (1)∵y=-(x-a)2+a 与x轴交于点A(0,0),
1 1 1 0
∴- +a=0,∴a=0或1,由已知可知a>0,
a2 1 1 1
1
∴a=1,(1分)
1
即y=-(x-1)2+1,
1
令y=0,代入得-(x-1)2+1=0,∴x=0,x=2,
1 1 2
∴y 与x轴交于A(0,0),A(2,0),∴b=2.(2分)
1 0 1 1
又∵抛物线y=-(x-a)2+a 与x轴交于A(2,0),
2 2 2 1
∴-(2-a)2+a=0,
2 2
∴a=1或4,∵a>a,∴a=1(舍去),
2 2 1 2
∴a=4,抛物线y=-(x-4)2+4.(3分)
2 2
(2)(9,9);(n2,n2);y=x.(6分)详解如下:
∵抛物线y=-(x-4)2+4,令y=0,得-(x-4)2+4=0,
2 2
∴x=2,x=6,
1 2
∴y 与x轴交于A(2,0),A(6,0),
2 1 2
又∵抛物线y=-(x-a)2+a 与x轴交于A(6,0),
3 3 3 2
∴-(6-a)2+a=0,
3 3
∴a=4或9,∵a>a,∴a=4(舍去),∴a=9,抛物线y 的顶点坐标为(9,9).
3 3 2 3 3 3
由y 的顶点坐标为(1,1),y 的顶点坐标为(4,4),抛物线y 的顶点坐标为(9,9),
1 2 3
依次类推抛物线y 的顶点坐标为(n2,n2).
n
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标,
∴顶点坐标满足的函数关系式是y=x.
(3)①∵A(0,0),A(2,0),
0 1
∴AA=2,(7分)
0 1
又∵y=-(x-n2)2+n2,令y=0,
n n
∴-(x-n2)2+n2=0,即x=n2+n,x=n2-n,
1 2
∴A (n2-n,0),A(n2+n,0),则A A=(n2+n)-(n2-n)=2n.(9分)
n-1 n n-1 n
②存在,是平行于y=x且过A(2,0)的直线,其表达式为y=x-2.(12分)
1
