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江西省2019年中等学校招生考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
1 ( 1 )
-
2.计算 ÷ 的结果为( )
a a2
1 1
A.a B.-a C.- D.
a3 a3
3.如图是手提水果篮抽象的几何体,以箭头所指的方向为主视图方向,则它的俯视图为( )
4.根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图,由图可知,下列说法错误的是( )
A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
5.已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是( )
1 2
8
A.反比例函数y 的解析式是y=-
2 2 x
B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)
C.当x<-2或0<x<2时,y<y
1 2
D.正比例函数y 与反比例函数y 都随x的增大而增大
1 2
6.下图由10根完全相同的小棒拼接而成,请你再添2根与前面完全相同的小棒,拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.因式分解:x2-1= .
8.我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求邪,七之,五而一.”译文为:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将边长乘七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长
为 ,依据《孙子算经》的方法,则它的对角线的长是 .
√2
9.设x,x 是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x+x+xx= .
1 2 1 2 1 210.如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE= °.
11.斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,
求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒,根据题意列方程得: .
12.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP于点P,则点P的坐标为 .
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)计算:-(-1)+|-2|+( -2)0;
√2 019
(2)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.
{2(x+1)>x,
14.解不等式组: x+7 并在数轴上表示它的解集.
1-2x≥ ,
2
15.在△ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中作弦EF,使EF∥BC;
(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.
16.为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》《歌唱祖国》《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八
(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.( √3 )(√3 )
17.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为 - ,0 , ,1 ,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.
2 2
(1)求点C的坐标;
(2)求线段BC所在直线的解析式.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况(七、八年级学生人数相同),某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学,调查了他们周一至周五的听力训练情况,根据调查情况得到如下统计图表:
周一至周五英语听力训练人数统计表
参加英语听力训练人数
年级
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 a 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
参加英语听力训练学生的平均训练时间折线统计图
(1)填空:a= ;
(2)根据上述统计图表完成下表中的相关统计量:
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 14.4
(3)请你利用上述统计图表,对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价;
(4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表,估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练.
19.如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D,连接BC.
(1)连接DO,若BC∥OD,求证:CD是半圆的切线;(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断∠AED和∠ACD的数量关系,并证明你的结论.
20.图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.
(结果精确到0.1)
(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.
①填空:∠BAO= °;
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离;
(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求∠ABC的大小.
(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 20°≈0.94,sin 36.8°≈0.60,cos 53.2°≈0.60)
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:
如图1,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是示意图.
活动一
如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合.
数学思考
(1)设CD=x cm,点B到OF的距离GB=y cm.
①用含x的代数式表示:AD的长是 cm,BD的长是 cm;
②y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .
活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.
x(cm) 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0y(cm) 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.295.08
②描点:根据表中数值,继续描出①中剩余的两个点(x,y);
③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
数学思考
(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
22.在图1,2,3中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.
(1)如图1,当点E与点B重合时,∠CEF= °;
(2)如图2,连接AF,
①填空:∠FAD ∠EAB(填“>”“<”或“=”);
②求证:点F在∠ABC的平分线上;
BC
(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求 的值.
AB
六、(本大题共12分)
23.特例感知
(1)如图1,对于抛物线y=-x2-x+1,y=-x2-2x+1,y=-x2-3x+1,下列结论正确的序号是 ;
1 2 3
①抛物线y,y,y 都经过点C(0,1);
1 2 3
1
②抛物线y,y 的对称轴由抛物线y 的对称轴依次向左平移 个单位得到;
2 3 1 2
③抛物线y,y,y 与直线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等.
1 2 3图1
形成概念
(2)把满足y=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
n
知识应用
在(2)中,如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P,P ,P ,…,P ,用含n的代数式表示顶点P 的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式;
1 2 3 n n
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C ,C ,C ,…,C .其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由;
1 2 3 n
③在②中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A,A ,A ,…,A ,连接C A,C A ,判断C A,C A 是否平行,并说明理由.
1 2 3 n n n n-1 n-1 n n n-1 n-1
图2
10江西省2019年中等学校招生考试
一、选择题
1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,所以2的相反数是-2,故选B.
1 ( 1 ) 1
2.B ÷ - =- ·a2=-a,故选B.
a a2 a
3.A 由俯视图的定义易知选A.
4.C 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比,所以A中说法正确;每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子所占百分比为1-40%=60%>50%,所以B中说法正确;每天阅读1小时以上包括1至2小时和2小时以上,共占20%+10%=30%,所以C中说
法错误;每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子所占百分比为1-40%-20%-10%=30%,对应扇形的圆心角为30%×360°=108°,所以D中说法正确.综上,选C.
k k 8
5.C 设反比例函数的解析式为y= ,k≠0,将点A(2,4)代入,得4= ,k=8,所以反比例函数的解析式为y= ,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原点中心对称,所以另一个交点坐标为(-2,-4),故B选项错误;y 和y 的大致图象
2 x 2 2 x 1 2
如图:
结合函数图象,可知当x<-2或0<x<2时,y<y,故C选项正确;由反比例函数图象可得,在每个象限内,y 随x的增大而减小,故D选项错误.故选C.
1 2 2
6.D 原图中已有2个菱形,添加的2根小棒只要能和原有的小棒组成唯一菱形即可.共有6种添加方法,具体如下:
二、填空题
7. 答案 (x+1)(x-1)
解析 x2-1=x2-12=(x+1)(x-1).7
8. 答案
5
7
解析 根据《孙子算经》的方法,求一个正方形的对角线长,则先将边长乘七再除以五,所以边长为1的正方形的对角线长为1×7÷5= .
5
9. 答案 0
b -1 c
解析 ∵x2-x-1=0,∴x +x=- =- =1,xx= =-1,∴x +x+xx=1+(-1)=0,故答案为0.
1 2 a 1 1 2 a 1 2 1 2
10. 答案 20
解析 ∵∠BAD=∠ABD=40°,∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°,
∴∠ADC=180°-100°=80°.
∵△AED是由△ABD翻折所得的,∴△AED≌△ABD,∴∠ADE=∠ADB=100°.
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°,即∠CDE=20°.
6 6
11. 答案 + =11
x 1.2x
解析 因为通过AB时的速度为x米/秒,
所以通过BC时的速度为1.2x米/秒.
6 6 6 6
因为通过AB所用的时间为 秒,通过BC所用的时间为 秒.由题意得 + =11.
x 1.2x x 1.2x
12. 答案 (2,0),(2+2√2,0),(2-2√2,0)
解析 (1)当点D在第一象限时,如图1.
图1
∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD.
OC OP 4 OP
∴ = ,∴ = .
PA AD 4-OP 1
∴(4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0,即(OP-2)2=0,
∴OP=2,∴点P的坐标为(2,0).
(2)当点D在第四象限时,
OC OP 4 OP
①当点P在点A左侧时,如图2,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,∴ = ,∴ = .
PA AD OP+4 1
∴OP2+4OP=4,∴(OP+2)2=8,∴OP+2=±2√2.
∴OP=2√2-2或OP=-2√2-2(舍).
∴点P的坐标为(2-2√2,0).
②当点P在点A右侧时,如图3,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,
OC OP 4 OP
∴ = ,∴ = .
AP AD OP-4 1
∴OP2-4OP=4.∴(OP-2)2=8,∴OP-2=±2√2.
∴OP=2+2√2或OP=2-2√2(舍).
∴点P的坐标为(2+2√2,0).
综上,点P的坐标为(2,0),(2+2√2,0),(2-2√2,0).
图2图3
三、
13. 解析 (1)原式=1+2+1=4.
(2)证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
1 1
∴OA= AC,OD= BD,
2 2
又∵OA=OD,∴AC=BD.∴▱ABCD是矩形.
{2(x+1)>x,①
14. 解析 x+7
1-2x≥ .②
2
解不等式①,得x>-2.
解不等式②,得x≤-1.
∴不等式组的解集为-2<x≤-1.
在数轴上表示如下:
15. 解析 (1)如图:
线段EF为所求弦.
(2)如图1、2.(以下画法供参考)
图1
∠GBC为所求角.
图2
∠GCB为所求角.
1
16. 解析 (1) .
3
(2)解法一:画树状图如图,
6 2
由树状图得,共有9种等可能结果,八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的结果有6种,所以P(两个班抽中不同歌曲)= = .
9 3
解法二:根据题意,列出表格:
八(2)
班 A B C
八(1)班
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
6 2
由表格知,共有9种等可能结果,八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的结果有6种,所以P(两个班抽中不同歌曲)= = .
9 3
17. 解析 (1)过点B作BD⊥x轴于点D,则∠ADB=90°.
( √3 ) (√3 )
∵A - ,0 ,B ,1 ,
2 2
∴DA=√3,DB=1.∴AB=2.
1
∴sin∠BAD= ,∴∠BAD=30°.
2
∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=2,∠BAC=60°.
( √3 )
∴∠CAD=90°.∴点C的坐标为 - ,2 .
2
(2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k≠0.
{ √3 k+b=1,
(√3 ) ( √3 ) 2
将B ,1 ,C - ,2 代入,得
2 2 √3
- k+b=2.
2
{ √3
k=- ,
3
解得
3
b= .
2
√3 3
∴线段BC所在直线的解析式为y=- x+ .
3 2
四、
18. 解析 (1)25.
(2)27.
(3)①从平均训练时间的中位数角度看,八年级英语听力训练的平均训练时间比七年级多;
②从参加英语听力训练人数的方差角度看,八年级参加英语听力训练的人数比七年级的更稳定.(合理即可)
35+44+51+60+60
(4) ×100%×480=400(人).
60×5
答:估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有400人进行英语听力训练.
19. 解析 (1)证法一:连接OC.
∵AF为半圆的切线,∴∠A=90°.
∵BC∥DO,∴∠CBO=∠AOD,∠BCO=∠COD.
∵OC=BO,∴∠CBO=∠BCO.∴∠COD=∠AOD.
{
AO=CO,
在△OAD和△OCD中, ∠DOA=∠DOC,
DO=DO,
∴△OAD≌△OCD(SAS).
∴∠OCD=∠A=90°.
∴CD是半圆的切线.
证法二:连接OC.
∵CD∥AB,BC∥OD,
∴四边形BCDO是平行四边形,∴CD=BO.
∵OB=OA,∴CD=OA.
∵CD∥OA,∴四边形OADC是平行四边形.
又∵AF为半圆的切线,∴∠A=90°.
∴▱OADC是矩形,∴∠OCD=90°.
∴CD是半圆的切线.
(2)∠AED+∠ACD=90°.
证法一:∵CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC.
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180°.
∵∠AED+∠AEC=180°,∴∠AED=∠B.
∵AB为半圆的直径,∴∠BCA=90°.
∴∠CAB+∠B=90°.∴∠AED+∠ACD=90°.
证法二:连接BE,则∠ACD=∠ABE.
∵CD∥AB,∴∠AED=∠BAE.
∵AB为半圆的直径,∴∠AEB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠AED+∠ACD=90°.
20. 解析 (1)①160.
②如图1,延长OA交BC于点F,
图1
∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.
∵BC∥OE,∴∠AOE=∠BFO=90°,
在Rt△ABF中,AB=30 cm,
AF
∵sin∠B= ,
AB
∴AF=AB·sin∠B=30·sin 70°≈30×0.94=28.20(cm).
∴AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).
答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm.
(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H.
图2
在Rt△BCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).
HC
∵sin∠HBC= ,
BC
21
∴sin∠HBC= =0.6.
35
∵sin 36.8°≈0.60,∴∠HBC≈36.8°,
∴∠ABC=70°-36.8°=33.2°.
答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,∠ABC为33.2°.
五、
21. 解析 (1)①(6+x);(6-x).
6(6-x)
②y= ,0≤x≤6.
6+x(2)①补全表格:
x(cm
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
)
y(cm 0.5 1.5 2.4 4.25.0
0 1.2 2 3 6
) 5 8 7 9 8
②③描点与连线:
(3)①y随着x的增大而减小;
②图象关于直线y=x对称;
③函数y的取值范围是0≤y≤6.
(写出两条即可)
22. 解析 (1)60.
(2)①=.
②证法一:如图1,当BE>AB时,过点F作FN⊥BC于点N,FM⊥BA,交BA的延长线于点M.
图1
在四边形FMBN中,∠FMB=∠FNB=90°,∠B=120°,
∴∠MFN=60°.
又∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
∴AF平分∠EAG,AE=EF.
∴∠FAE=60°,∴△AEF是等边三角形.
∴∠AFE=60°.
∴∠MFN-∠AFN=∠AFE-∠AFN.
即∠MFA=∠NFE.
{∠FMA=∠FNE,
在△FMA和△FNE中, ∠MFA=∠NFE,
FA=FE,
∴△FMA≌△FNE.∴FM=FN.
∴点F在∠ABC的平分线上.
如图2,当BE=AB时,∵∠ABC=120°,∴∠EAB=∠AEB=30°.
∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
图2
∴∠FAE=∠FEA=60°,AE=EF.
∴△AEF为等边三角形,∠FAB=∠FEB=90°.
∴AF=EF.∴点F在∠ABC的平分线上.
当BE<AB时,类似地,可证点F在∠ABC的平分线上.
特别地,当点E与点B重合时,点F在∠ABC的平分线上.
综上所述,点F在∠ABC的平分线上.
证法二:如图3,当点E与点B不重合时,
在射线AD上截取AP=AB,连接PB,PF.
图3
∵四边形AEFG是菱形,∴AF平分∠EAG,AE=EF.
∵∠ABC=∠EAG=120°,BC∥AD,
∴∠BAD=∠FAE=60°.
∴△AEF为等边三角形,且∠FAP=∠EAB.{
AF=AE,
在△APF和△ABE中, ∠FAP=∠EAB,
AP=AB,
∴△APF≌△ABE.∴∠FPA=∠EBA=120°.
∵AP=AB,∠DAB=60°,∴△APB为等边三角形.
∴∠APB=∠PBA=60°.
∴∠FPA+∠APB=180°.
∴F,P,B三点在同一直线上.
又∵∠PBA=60°,∴点F在∠ABC的平分线上.
1
当点E与点B重合时,∵∠AEF= ∠ABC=60°,
2
∴BF平分∠ABC.
综上所述,点F在∠ABC的平分线上.
(3)∵四边形AEGH和四边形AEFG都是平行四边形,
∴AE∥HG,AE∥GF.
∴直线HG和GF重合.
又∵GE是菱形AEFG的对角线,∠EAG=120°,
∴GE平分∠DGA,∠DGA=60°.
1
∴∠FGE= ∠FGA=30°.
2
又∵GE∥HB,∴∠H=∠FGE=30°.
∵∠DAB=60°,∴∠ADH=30°,∴AH=AD.
在△GAD中,∠ADG=30°,∠DGA=60°,
∴∠DAG=90°,∴∠H=∠GAH=30°.
HD
∴GD=2AG,HG=AG.∴ =3.
AE
∵四边形AEFG是菱形,
∴AG=AE,AE∥HD.
∴∠H=∠EAB=30°.
∴∠AEB=30°.∴AB=BE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠B=∠DAH.
AD HD BC
∴△AHD∽△BAE,∴ = =3.即 =3.
BE AE AB
六、
23. 解析 (1)①②③.
( n n2 )
(2)①P - , +1 .
n
2 4
y=x2+1.
②相邻两点之间的距离都相等.
理由:根据题意得C (-k-n,-k2-nk+1),C (-k-n+1,-k2-nk+k+1).
n n-1
∴C ,C 两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(-k2-nk+1)=k,
n n-1
C ,C 两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1.
n n-1
∴由勾股定理得CC2 =k2+1.∴C C =√k2+1.
n n-1 n n-1
③C A 与C A 不平行.
n n n-1 n-1
理由:根据题意得C (-k-n,-k2-nk+1),C (-k-n+1,-k2-nk+k+1),
n n-1
A(-n,1),A (-n+1,1).
n n-1
过C ,C 分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E,
n n-1
∴D(-k-n,1),E(-k-n+1,1).在Rt△DA C 中,
n n
C D 1-(-k2-nk+1) k2+nk
n
tan∠DA C = = = =k+n.
n n A D -n-(-k-n) k
n
C E
n-1
在Rt△EA C 中,tan∠EA C =
n-1 n-1 n-1 n-1 A E
n-1
1-(-k2-nk+k+1) k2+nk-k
= = =k+n-1.
-n+1-(-k-n+1) k
∵k+n-1≠k+n,
∴tan∠DA C ≠tan∠EA C .
n n n-1 n-1
∴∠DA C ≠∠EA C .
n n n-1 n-1
∴C A 与C A 不平行.
n n n-1 n-1
