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2014 年陕西省初中毕业学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.4的算术平方根是( )
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
2.下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体,则该几何体的左视图是( )
1
3.若点A(-2,m)在正比例函数y=- x的图象上,则m的值是( )
2
1 1
A. B.- C.1 D.-1
4 4
4.小军旅行箱的密码是一个六位数,由于他忘记了密码的末位数字,则小军能一次打开该旅行
箱的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
10 9 6 5
{x+2>1,
5.把不等式组 的解集表示在数轴上,正确的是( )
3-x≥0
6.某区10名学生参加市级汉字听写大赛,他们得分情况如下表:
人数 3 4 2 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是( )
A.85和82.5 B.85.5和85
C.85和85 D.85.5和80
7.如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=28°,则∠AEC的大小为( )
A.17° B.62° C.63° D.73°5
8.若x=-2是关于x的一元二次方程x2- ax+a2=0的一个根,则a的值为( )
2
A.1或4 B.-1或-4
C.-1或4 D.1或-4
9.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(
)
12 24
A.4 B. C. D.5
5 5
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.c>-1 B.b>0
C.2a+b≠0 D.9a+c>3b
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,计18分)
11.计算:( 1) -2 = .
-
3
12.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .
13.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分.
A.一个正五边形的对称轴共有 条.
B.用科学计算器计算:√31+3tan 56°≈ .(结果精确到0.01)
14.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD',此时A'D'与
CD交于点E,则DE的长度为 .
1 1 1
15.已知P(x,y),P (x,y)是同一个反比例函数图象上的两点.若x=x+2,且 = + ,则这个
1 1 1 2 2 2 2 1 y y 2
2 1
反比例函数的表达式为 .
16.如图,☉O的半径是2.直线l与☉O相交于A、B两点,M、N是☉O上的两个动点,且在直线
l的异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 .三、解答题(共9小题,计72分.解答应写出过程)
17.(本题满分5分)
先化简,再求值:
2x2 - x ,其中x=-1.
x2-1 x+1 2
18.(本题满分6分)
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于
点E、CB的延长线于点F.
求证:AB=BF.19.(本题满分7分)
根据《2013年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染物(A—二氧化硫,B—
氮氧化物,C—化学需氧量,D—氨氮)排放量的相关数据,我们将这些数据用条形统计图和扇形
统计图统计如下:
陕西省2013年大气污染物排放量情况统计图
根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(2)国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调,建设美好家园、加
大节能减排力度,今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少 2%.按此指示
精神,求出陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约多少万吨?(结果精确到
0.1)
20.(本题满分8分)
某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安
全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确
定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图
所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;②小明站在原地转动180°后蹲下,并保
持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长
线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.
根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米.21.(本题满分8分)
小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每
次6元的包装费外,樱桃不超过1 kg收费22元,超过1 kg,则超出部分按每千克10元加收费
用.设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y(元),所寄樱桃为x(kg).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元.
22.(本题满分8分)
小英与她的父亲、母亲计划外出旅游,初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市.由于时
间仓促,他们只能去其中一个城市,到底去哪一个城市三人意见不统一.在这种情况下,小英父
亲建议,用小英学过的摸球游戏来决定.规则如下:
①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球
(安康),这四个球除颜色不同外,其余完全相同;
②小英父亲先将袋中球摇匀,让小英从袋中随机摸出一球,父亲记录下其颜色,并将这个球放
回袋中摇匀;然后让小英母亲从袋中随机摸出一球,父亲记录下它的颜色;
③若两人所摸出球的颜色相同,则去该球所表示的城市旅游.否则,前面的记录作废,按规则②
重新摸球,直到两人所摸出球的颜色相同为止.
按照上面的规则,请你解答下列问题:
(1)已知小英的理想旅游城市是西安,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是多少?
(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球
的概率是多少?
23.(本题满分8分)如图,☉O的半径为4,B是☉O外一点,连结OB,且OB=6.过点B作☉O的切线BD,切点为D,延
长BO交☉O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求AC的长.
24.(本题满分10分)
已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0,3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称
轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C'的顶点记为M'、它的对称轴与x轴的交点记为N'.
如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样
平移?为什么?
25.(本题满分12分)
问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么
请画出满足条件的一个等腰△APD,并求出此时BP的长;(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中
点.当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M
安装监控装置,用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最
佳.已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270 m,AE=400 m,ED=285 m,CD=340 m.问在线段CD上是否
存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长;若不存在,请说明理由.
图① 图② 图③
答案全解全析：
一、选择题
1.B ∵22=4,∴4的算术平方根是2.故选B.
2.A 立体图形的左视图是从物体左侧看到的一个平面图.所以它的左视图是正方形内含有
一条横线(实线),故选A.
1
3.C 把点A(-2,m)代入正比例函数y=- x中,得m=1,故选C.
2
4.A 密码的末位数字必是0~9这10个数字中的一个.任意输入末位数字,共有10种可能的
1
情况,则小军能一次打开该旅行箱的概率是 ,故选A.
105.D 由不等式x+2>1得x>-1,
由不等式3-x≥0得x≤3,
所以不等式组的解集为-10.又抛物线的对称轴x=- >0,∴b<0,故B错;∵抛物线过(-2,0),(4,0)两点,∴抛物线的对称
2a
b
轴为x=- =1.
2a
∴2a+b=0,故C错;∵当x=-3时,y>0,∴9a-3b+c>0,即9a+c>3b.故选D.
评析 正确理解二次函数图象与其系数a、b、c之间的关系是解决此类问题的关键.
二、填空题
11.答案 9
1
解析 ( - 1) -2 =( 1) 2 =9.
3 -
3
12.答案 (m+n)(x-y)
解析 m(x-y)+n(x-y)=(m+n)(x-y).
13.答案 A:5 B:10.02
解析 A题 每个正n边形都是轴对称图形,共有n条对称轴.所以一个正五边形的对称轴共
有5条.
B题 √31+3tan 56°≈10.02.
14.答案 2-√2
解析 将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD',
则有A'B=AB=1,∠BA'D'=90°,∴∠EA'D=90°,
∵∠BDC=45°,
∴△A'DE是等腰直角三角形.
∵BD=√2AB=√2,
∴A'D=√2-1,∴DE=√2A'D=√2(√2-1)=2-√2.
4
15.答案 y=
x
k
解析 已知P(x,y),P (x,y)是同一个反比例函数图象上的两点.设这个反比例函数为y= ,
1 1 1 2 2 2
x
k k k k 1 1 2 1
所以x= ,x= .又因为x=x+2,所以 = +2,等式两边同时除以k得 = + .因为
1 y 2 y 2 1 y y y y k y
1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 1 4
= + ,所以 = ,所以k=4.故这个反比例函数的表达式为y= .
y 2 k 2 x
1
16.答案 4√2
解析 连结OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积
的最大值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB面积取最大值.连
结MN,此时MN为☉O的直径,故MN=4,
∵∠AMB=45°,
∴∠AOB=90°,所以AB=√2OA=2√2.
1 1
故四边形MANB面积的最大值为 AB·MN= ×4×2√2=4√2.
2 2
三、解答题
2x2 x(x-1)
17.解析 原式= - (1分)
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
2x2-x2+x
= (2分)
(x+1)(x-1)
x(x+1)
= (3分)
(x+1)(x-1)
x
= .(4分)
x-1
1
-
1 2 1
当x=- 时,原式= = .(5分)
2 1 3
- -1
2
18.证明 ∵EF⊥AC,
∴∠F+∠C=90°.
∵∠A+∠C=90°,
∴∠F=∠A.(3分)
又∵∠FBD=∠ABC,DB=BC,
∴△FBD≌△ABC.
∴AB=BF.(6分)
19.解析 (1)补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示.
陕西省2013年大气污染物排放量情况统计图(4分)
(2)由题意,得(80.6+51.9)×2%≈2.7.
∴陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约2.7万吨.(7分)
(减少约2.6万吨也对)
20.解析 由题意知∠BAD=∠BCE.(2分)
∵∠ABD=∠ABE=90°,
∴△BAD∽△BCE.(4分)
BD AB
∴ = .
BE CB
BD 1.7
∴ = .
9.6 1.2
∴BD=13.6.
∴河宽BD是13.6米.(8分)
21.解析 (1)当01时,y=28+10(x-1)=10x+18.
∴y与x的函数关系式为
{28 (01).
(2)当x=2.5时,y=10×2.5+18=43.
∴小李这次快寄的费用是43元.(8分)
22.解析 (1)由题意,知共有16种等可能的结果,其中母女俩都摸出白球的结果只有1种,
1
∴母女俩各摸球1次,都摸出白球的概率是 .(4分)
16
(2)列表如下:
母亲摸球
红 白 黄 黑
小英摸球
红 (红,红) (红,白) (红,黄) (红,黑)
白 (白,红) (白,白) (白,黄) (白,黑)
黄 (黄,红) (黄,白) (黄,黄) (黄,黑)
黑 (黑,红) (黑,白) (黑,黄) (黑,黑)
从上表可知,共有16种等可能的结果,其中至少有一人摸出黄球的结果有7种.
7
∴母女俩各摸球一次,至少有一人摸出黄球的概率是 .(8分)
16
23.
解析 (1)证明:如图,连结OD.
∵BD是☉O的切线,D为切点,
∴OD⊥BC.(1分)
∵AC⊥BD,∴OD∥AC.
∴∠3=∠2.
又∵OD=OA,
∴∠1=∠3.(3分)∴∠1=∠2.
∴AD平分∠BAC.(4分)
(2)∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC.
OD BO
∴ = .(6分)
AC BA
4 6
∴ = .
AC 10
20
∴AC= .(8分)
3
{-9-3b+c=0, {b=-2,
24.解析 (1)根据题意得 解得
c=3, c=3.
∴y=-x2-2x+3.(3分)
b -2
(2)∵x=- =- =-1,∴y=4.
2a 2×(-1)
∴M(-1,4).(5分)
(3)由题意,知以点M、N、M'、N'为顶点的平行四边形是以MN和M'N'为对边的平行四边形.
∴MNM'N'.
∴MN·NN'=16,
∴NN'=4.(6分)
i)当以M、N、M'、N'为顶点的平行四边形是▱MNN'M'时,将抛物线C向左或向右平移4个
单位可得到符合条件的抛物线C'.(8分)
ii)当以M、N、M'、N'为顶点的平行四边形是▱MNM'N'时,将抛物线C先向左或向右平移4
个单位,再向下平移8个单位,可得到符合条件的抛物线C'.
∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C'.(10分)
评析 本题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数
图象平移等知识.难点在于第(3)问,需要针对以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为
16的平行四边形的可能情况分别进行讨论,此类题目对考生在知识、方法及能力方面均有较
高的要求.难度较大.
25.
图①
解析 (1)符合条件的等腰三角形如图①所示.
当AP=PD时,P是BC的中点,故BP=2.(3分)(等腰△ADP',BP'=4-√7;或等腰△ADP″,BP″=√7.也符合题意.)
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点,
1
∴EF∥BC,EF= BC=6.
2
∵AD=6,AD⊥BC,
∴EF与BC间的距离为3.
∴以EF为直径的☉O与BC相切.
∴BC上符合条件的点Q只有一个.(5分)
如图②,☉O与BC的切点记为Q,连结OQ.
图②
过E作EG⊥BC,垂足为G.
∴EG=3.
∴四边形EOQG为正方形.
在Rt△EBG中,∠B=60°,EG=3,
∴BG=√3.
∴BQ=3+√3.(7分)
(3)在CD上存在符合题意的点M.(8分)
理由如下:
如图③,构造等边△ABG.作GP⊥AB于点P、AK⊥BG于点K,AK与GP交于点O,以O为圆
心,OA长为半径画圆,则☉O为△ABG的外接圆,作OH⊥CD于点H.
1
在Rt△AOP中,AP= AB=135,OA=90√3,OP=45√3.
2
图③
270
又知OH=285- =150.
2
而90√3>150,
∴☉O与CD相交.(10分)
记☉O与CD的交点为M,连结OM、MA、MB.
则∠AMB=∠AGB=60°.
∵在Rt△OHM中,HM= = =30 ,
√OM2-OH2 √(90√3)2-1502 √2
∴DM=400-45√3-30√2<340,
或DM=400-45√3+30√2>340(舍去).
∴CD上符合题意的点M只有一个.
∴点M就是符合要求的点.
故DM=400-45√3-30√2≈279.63 m.(保留根号也正确)(12分)
评析 此题属于知识拓展型题目,并具有探究性,让学生在不同图形探究过程中感受恒不变的
数学现象,渗透了化归的数学思想,体现了几何图形的可塑性.
