2022 年江西市初中学业水平考试
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.(2022江西,1,3分)下列各数中,负数是 ( )
A.-1 B.0 C.2 D.√2
2.(2022江西,2,3分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论
中,正确的是 ( )
A.a>b B.a=b C.a<b D.a=-b
3.(2022江西,3,3分)下列计算正确的是( )
A.m2·m3=m6B.-(m-n)=-m+n
C.m(m+n)=m2+n D.(m+n)2=m2+n2
4.(2022江西,4,3分)将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则
第4个图形中字母“H”的个数是 ( )
① ② ③
A.9 B.10 C.11 D.12
5.(2022江西,5,3分)如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视
图为 ( )
A B C D
6.(2022江西,6,3分)甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关
系如图所示,则下列说法中,错误的是 ( )
A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B.当温度升高至t ℃时,甲的溶解度比乙的溶解度大
2C.当温度为0 ℃时,甲、乙的溶解度都小于20 g
D.当温度为30 ℃时,甲、乙的溶解度相等
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.(2022江西,7,3分)因式分解:a2-3a= .
8.(2022江西,8,3分)正五边形的外角和为 度.
9.(2022江西,9,3分)关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为
.
10.(2022江西,10,3分)甲、乙两人在社区进行核酸采样,甲每小时比乙每小时
多采样10人,甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等,甲、乙两人
每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x人,则可列分式方程为
.
11.(2022江西,11,3分)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这
副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形的对角线长为 .
12
12.(2022江西,12,3分)已知点A在反比例函数y= (x>0)的图象上,点B在x
x
轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 .
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(2022江西,13,6分)(1)计算:|-2|+√4-20;
{ 2x<6,
(2)解不等式组:
3x>-2x+5.
14.(2022江西,14,6分)以下是某同学化简分式( x+1 1 )÷ 3 的部分运算
-
x2-4 x+2 x-2
过程:解:原式=[ x+1 1 ]×x-2 ①
-
(x+2)(x-2) x+2 3
=[ x+1 x-2 ]×x-2 ②
-
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2) 3
x+1-x-2 x-2
= × ③
(x+2)(x-2) 3
…
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误;
(2)请你写出完整的解答过程.
15.(2022江西,15,6分)某医院计划选派护士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、
丁4名护士积极报名参加,其中甲是共青团员,其余3人均是共产党员.医院决定
用随机抽取的方式确定人选.
(1)“随机抽取1人,甲恰好被抽中”是 事件;
A.不可能 B.必然 C.随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人,请用画树状图法或列表法求出被抽到的
两名护士都是共产党员的概率.
16.(2022江西,16,6分)如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求
完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中作∠ABC的角平分线;
(2)在图2中过点C作一条直线l,使点A,B到直线l的距离相等.
图1 图2
17.(2022江西,17,6分)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,
∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
k
18.(2022江西,18,8分)如图,点A(m,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上,点B
x
在y轴上,OB=2,将线段AB向右下方平移,得到线段CD,此时点C落在反比例函
数的图象上,点D落在x轴正半轴上,且OD=1.
(1)点B的坐标为 ,点D的坐标为 ,点C的坐标为 (用
含m的式子表示);
(2)求k的值和直线AC的表达式.
19.(2022江西,19,8分)课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是A´B所对的圆心角,∠C是A´B所对的圆周角,我们在数学
课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是
其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关
1
系中任选一种情况证明∠C= ∠AOB;
2
图1 图2 图3 图4
知识应用
(2)如图4,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA
的长.
20.(2022江西,20,8分)图1是某长征主题公园的雕塑,将其抽象成如图2所示
的示意图,已知AB∥CD∥FG,A,D,H,G四点在同一直线上,测得
∠FEC=∠A=72.9°,AD=1.6 m,EF=6.2 m.(结果保留小数点后一位)
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离).
(参考数据:sin 72.9°≈0.96,cos 72.9°≈0.29,tan 72.9°≈3.25)图1 图2
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.(2022江西,21,9分)在“双减”政策实施两个月后,某市“双减办”面向本
市城区学生,就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问
卷调查(以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”),根据问卷提交时间的不
同,把收集到的数据分两组进行整理,分别得到统计表和统计图1:
整理描述
“双减”前后报班情况统计表(第一组)
报班数人数类别
0 1 2 3 4及以上合计
“双减”前 102487551 24 m
“双减”后 2551524 n 0 m
“双减”前后报班情况统计图(第二组)
图1
“双减”前后报班情况统计图图2
n
(1)根据统计表,m的值为 , 的值为 ;
m
分析处理
(2)请你汇总统计表和图1中的数据,求出“双减”后报班数为3的学生人数所
占的百分比;
(3)“双减办”汇总数据后,制作了“双减”前后报班情况的折线统计图(如图
2).请依据以上图表中的信息回答以下问题:
①本次调查中,“双减”前学生报班个数的中位数为 ,“双减”后学
生报班个数的众数为 ;
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来
概括).
22.(2022江西,22,9分)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,
运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着
陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,
落地点超过K点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起
跳台的高度OA为66 m,基准点K到起跳台的水平距离为75 m,高度为 h m(h
为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数
关系为y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)c的值为 ;
1 9
(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a=- ,b= ,求基准点K的高度
50 10
h;
1
②若a=- 时,运动员落地点要超过K点,则b的取值范围为 ;
50
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时,恰好达到最大高度76 m,试判断他的落
地点能否超过K点,并说明理由.
六、解答题(本大题共12分)
23.(2022江西,23,12分)综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板
PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长
为2).
操作发现
(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,
重叠部分的面积为 ;当OF与BC垂直时,重叠部分的面积为 ;
一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S与S的关系为
1
;
类比探究
(2)若将三角板的顶点F放在点O处,在旋转过程中,OE,OP分别与正方形的边
相交于点M,N.
①如图2,当BM=CN时,试判断重叠部分△OMN的形状,并说明理由;
②如图3,当CM=CN时,求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号);
拓展应用
(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处,该锐角记为∠GOH(设
∠GOH=α),将∠GOH绕点O逆时针旋转,在旋转过程中,∠GOH的两边与正方
形ABCD的边所围成的图形的面积为S,请直接写出S的最小值与最大值(分别
2 2
用含α的式子表示).
√6-√2 √6+√2
(参考数据:sin 15°= ,cos 15°= ,tan 15°=2-√3)
4 4
图1 图2 图3 备用图2022 年江西市初中学业水平考试
1.A 2和√2是正数,-1是负数,0既不是正数,也不是负数,故选A.
2.C 根据题图可得a<0<b,|a|>|b|,∴a<-b.故选C.
3.B m2·m3=m5,选项A错误;-(m-n)=-m+n,选项B正确;m(m+n)=m2+mn,选项C错误;
(m+n)2=m2+2mn+n2,选项D错误.故选B.
4.B 第1个图形有2+1×2=4个字母“H”,第2个图形有2+2×2=6个字母“H”,第3个图形
有2+3×2=8个字母“H”,依次下去,第4个图形中字母“H”的个数是2+4×2=10,故选B.
5.A 由上向下看,最上面的小正方体与下面三个小正方体都有重叠,故排除选项B和D,选项C
没有把实线和虚线画全,故排除选项C.故选A.
6.D 观察题图可得甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大;当温度升高至t℃时,甲
2
图象位于乙的上方,说明甲的溶解度比乙的溶解度大;当温度为0 ℃时,甲、乙的溶解度都小于
20 g;当温度为t ℃时,甲、乙的溶解度相等,都为30 g.选项D说法错误,故选D.
1
7.答案 a(a-3)
解析 a2-3a=a(a-3).
8.答案 360
解析 任何一个多边形的外角和都为360度.
9.答案 1
解析 关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则Δ=b2-4ac=22-4×1×k=0,解得k=1.
160 140
10.答案 =
x x-10
解析 甲每小时采样x人,则乙每小时采样(x-10)人,根据甲采样160人所用时间与乙采样140
160 140
人所用时间相等,可得 = .
x x-10
11.答案 √5
解析 因为正方形的对角线长为2,所以①②的直角边长为1,则长方形的长为2,宽为1,根据勾
股定理得长方形的对角线长为√5.
12.答案 5或2√5或√10
解析 当OA=AB=5时,AB=5.
当OB=AB=5时,AB=5.
当OA=OB=5时,
设A( 12),
x,
x
∴AO=√
x2+
(12) 2=5,
x
解得x=3,x=4,∴A(3,4)或A(4,3),∵B(5,0),
1 2
∴AB= =2 或AB= = .
√(5-3) 2+42 √5 √(5-4) 2+32 √10
综上,AB的长为5或2√5或√10.
易错警示
△OAB为等腰三角形,没有指明哪两条边为腰,需分类讨论.易出现漏解的情况.
13.解析 (1)原式=2+2-1=3.
{ 2x<6,①
(2)
3x>-2x+5,②
由①得x<3,
由②得x>1,
∴不等式组的解集为1<x<3.
14.解析 (1)③.
(2)原式=[ x+1 1 ]×x-2
-
(x+2)(x-2) x+2 3
=[ x+1 x-2 ]×x-2
-
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2) 3
x+1-x+2 x-2
= ×
(x+2)(x-2) 3
3 x-2
= ×
(x+2)(x-2) 3
1
= .
x+2
15.解析 (1)C.
(2)列表如下:
甲 乙 丙 丁
(乙、 (丙、 (丁、
甲 ——
甲) 甲) 甲)
(甲、 (丙、 (丁、
乙 ——
乙) 乙) 乙)
(甲、 (乙、 (丁、
丙 ——
丙) 丙) 丙)
(甲、 (乙、 (丙、
丁 ——
丁) 丁) 丁)
由表可知,共有12种等可能的结果,其中两名护士都是共产党员的结果有6种,
6 1
∴P(都是共产党员)= = .
12 2
16.解析 (1)由题图1可得AB=BC,且AB⊥BC,可在网格中构造正方形ABCD,作射线BD即可.如
图,BD平分∠ABC.(2)当AB∥l时,点A,B到经过点C的直线l的距离相等,联想(1)中正方形ABCD,作直线CD即可
(如图).
一题多解
(2)点A,B可能在直线l的同侧,也可能在直线l的异侧,如图,直线l经过线段AB的中点,根
据全等三角形的性质可得点A,B到经过点C的直线l的距离相等.
17.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴∠DCA=∠BCA,
∵∠ACD=∠ABE,
∴∠BCA=∠ABE.
∵∠BAC=∠EAB,
∴△ABC∽△AEB.
(2)∵△ABC∽△AEB,
AB AC AB AE 6 AE
∴ = ,即 = ,∴ = ,
AE AB AC AB 4 6
∴AE=9.
18.解析 (1)点B的坐标为(0,2),点D的坐标为(1,0).
由点B和点D的坐标可知,线段AB向下平移2个单位长度,向右平移1个单位长度得到线段CD,
所以点C的坐标为(m+1,2).
(2)∵A(m,4),C(m+1,2)在反比例函数的图象上,
∴4m=2(m+1),
∴m=1,
∴A,C的坐标分别为(1,4),(2,2).
k
将点A的坐标代入反比例函数y= ,得k=1×4=4.
x
{n+b=4, {n=-2,
设直线AC的表达式为y=nx+b(n≠0),将A,C的坐标代入,得 解得
2n+b=2, b=6,
∴直线AC的表达式为y=-2x+6.
19.解析 (1)另两种情况如图①②所示.图① 图②
选择图①证明:连接CO并延长交☉O于点E.
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.
∵∠AOE是△AOC的外角,
∴∠AOE=∠A+∠ACO=2∠ACO,
同理可得∠BOE=2∠BCO,
1
∴∠AOB=2∠ACB,即∠ACB= ∠AOB.
2
(选择图②证明时,连接CO并延长交☉O于点D,可进行类似证明)
(2)如图③,连接OA,OB,OP,
图③
∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,
又∵PA,PB是☉O的切线,
1
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠OPA=∠OPB= ∠APB,
2
∴∠APB=60°,∴∠OPA=30°,
在Rt△OAP中,OA=2,∠OPA=30°,
OA √3
∴tan∠OPA= = ,∴PA=√3OA=2√3.
PA 3
20.解析 (1)证明:∵AB∥CD,
∴∠CDG=∠A,
又∠FEC=∠A,
∴∠CDG=∠FEC,
∴EF∥DG,
又CD∥FG,即ED∥FG,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)过点G作GN⊥AB于点N,由四边形DEFG是平行四边形可知,
DG=EF=6.2 m,
∴AG=AD+DG=1.6+6.2=7.8 m,
在Rt△AGN中,∠A=72.9°,
GN GN
∵sin A= ,即sin 72.9°= ,
AG 7.8
∴GN=7.8·sin 72.9°≈7.8×0.96≈7.5 m,
∴雕塑的高为7.5 m.
21.解析 (1)300;0.02.
详解:m=102+48+75+51+24=300,
n 6
n=300-255-15-24=6, = =0.02.
m 300
(2)根据统计表和题图1的数据可得两组总人数为300+200=500,“双减”后报班数为3的学生
12
人数为6+6=12,所以“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为 ×100%=2.4%.
500
(3)①1;0.
详解:综合两组数据统计如下表:
报班数人数类
别
0 1 2 3 4及以上合计
双减前 1728211882 46 500
双减后 42324 40 12 1 500
“双减”前学生报班个数排序后,第250,251个数据为1,1(报班个数),所以“双减”前学生报
班个数的中位数为1.“双减”后学生报班个数为0的人数最多,所以“双减”后学生报班个数的
众数为0.
②从“双减”前后报班个数变化情况来看,如“双减”政策宣传落实到位,参加校外学科补习班
的学生将大幅度减少,“双减”取得了显著成效.(答案不唯一,合理即可)
22.解析 (1)66.
1 9 1 9
(2)①∵a=- ,b= ,c=66,∴y=- x2+ x+66,
50 10 50 10
当x=75时,y=21,即h=21.
答:基准点K的高度为21 m.
9
②b> .
10
1 1
详解:∵a=- ,c=66,∴y=- x2+bx+66,
50 5093
∴x=75时,y=75b- ,
2
∵运动员落地点要超过K点,
93 9
∴75b- >21,∴b> .
2 10
(3)∵运动员飞行距离为25 m时,达到最大高度76 m,
∴顶点坐标为(25,76),∴设y=a(x-25)2+76.
2
∵抛物线过点A(0,66),∴a=- ,
125
2
∴y=- (x-25)2+76.
125
∵当x=75时,y=36>21,∴他的落地点超过K点.
一题多解
(2)②因为运动员落地点要超过K点,所以抛物线的对称轴恰好在经过K点的抛物线的对
称轴右侧.
1
∵a=- ,c=66,
50
1
∴y=- x2+bx+66,
50
∴对称轴为直线x=25b.
1 9
∵抛物线y=- x2+ x+66的对称轴为直线x=22.5,
50 10
∴当25b>22.5时,运动员落地点超过K点,
9
∴b> .
10
1
23.解析 (1)1;1;S= S.
1
4
详解:当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分为△OBC,重叠部分的面积为正方形
1 1
ABCD面积的 ,故S = ×22=1.
4 重叠 4
1
当OF与BC垂直时,OE与CD垂直,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的 ,故S =1.
4 重叠
一般情况如图,连接OB,OC,
∵∠BOK+∠BOR=90°,∠COR+∠BOR=90°,
∴∠BOK=∠COR,
∵∠OBK=∠OCR=45°,OB=OC,
∴△OBK≌△OCR,
1 1
∴S =S = S ,即S= S.
重叠 △OBC 4 正方形ABCD 1 4(2)①当BM=CN时,△OMN是等边三角形.理由如下:连接OB,OC,
∵四边形ABCD是正方形,且点O是正方形的中心,
∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°,
∵BM=CN,∴△OBM≌△OCN,
∴OM=ON,
又∵∠MON=60°,
∴△OMN是等边三角形.
②连接OC,过点O作OJ⊥BC,垂足为J,易证△COM≌△CON,
1
∴∠COM=∠CON= ×60°=30°.
2
在等腰直角△OJC中,OJ=CJ=1,OC=√2.
∵∠MOJ=45°-30°=15°,
∴在Rt△OJM中,JM=OJ tan 15°=2-√3,
∴CM=1-(2-√3)=√3-1,
1 1 √3-1
∴S = CM·OJ= ×(√3-1)×1= ,
△CMO 2 2 2√3-1
∴四边形OMCN的面积=2S =2× =√3-1.
△CMO
2
(3)S的最小值为tanα,S的最大值为1-tan( α).
2 2 45°-
2 2
提示:过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,则OQ=1.
当BM=CN时,S取得最小值.
2
α α
在Rt△OMQ中,MQ=OQtan =tan ,
2 2
α
∴MN=2MQ=2tan ,
2
1 1 α α α
∴S=S = MN·OQ= ×2tan =tan ,即S的最小值为tan .
2 △OMN 2
2 2 2 2 2
过点O作OI⊥BC,垂足为I,连接OC,则OI=1.当CM=CN时,S取得最大值,
2
1
由(2)②可知,此时∠MOI=45°- α,
2
∴MI=OI·tan∠MOI=tan( 1 ) ,
45°- α
2
∴MC=CI-MI=1-tan( 1 ) ,
45°- α
2
∴S =1MC·OI=1·[ ( 1 )]·1=1[ ( 1 )],
△MCO 1-tan 45°- α 1-tan 45°- α
2 2 2 2 2
∴S的最大值为2S =1-tan( 1 ).
2 △MCO 45°- α
2
