江西省2018年中等学校招生考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共18分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.-2的绝对值是( )
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
b
2.计算(-a)2· 的结果为( )
a2
b
A.b B.-b C.ab D.
a
3.如图所示的几何体的左视图为( )
4.某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后,绘制出频数分布直方图,由图可知,下列结论正确的是( )
A.最喜欢篮球的人数最多
B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C.全班共有50名学生
D.最喜欢田径的人数占总人数的10%
5.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴
对称图形的平移方向有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个
3
错误
6.在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l 和l,探究直线l,直线l 与双曲线y= 的关系,下列结论中 的是( )
1 2 1 2 x ··
A.两直线中总有一条与双曲线相交
B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C.当-2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1
7.若分式 有意义,则x的取值范围为 .
x-1
8.2018年5月13日,中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务,其排水量超过6万吨,将60 000用科学记数法表示为 .
9.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各
值金x两、y两,依题意,可列出方程组为 .
10.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .
11.一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x,x,则x2
-4x+2xx 的值为 .
1 2 1 1 1 2
12.在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为 .
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)计算:(a+1)(a-1)-(a-2)2;
x-2
(2)解不等式:x-1≥ +3.
2
14.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.
无刻度的直尺
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用 分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
······(1)在图1中,画出△ABD的BD边上的中线;
(2)在图2中,若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.
16.今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加.抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,
把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片,“小悦被抽中”的概率为 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.
k
17.如图,反比例函数y= (k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),B两点,点C在第四象限,CA∥y轴,∠ABC=90°.
x
(1)求k的值及点B的坐标;
(2)求tan C的值.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.4月23日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校响应号召,鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读的情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间.
过程如下:
收集数据 从全校随机抽取20名学生,进行了每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单位:min):
30 60 81 50 40 110 130 146 90 100
60 81 120 140 70 81 10 20 100 81
整理数据 按如下分段整理样本数据并补全表格:
课外阅读时间x(min) 0≤x<40 40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160等级 D C B A
人数 3 8
分析数据 补全下列表格中的统计量:
平均数 中位数 众数
80
得出结论
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 ;
(2)如果该校现有学生400人,估计等级为“B”的学生有多少名;
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书.
19.图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与
OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若∠OBC=50°,求AC的长;
(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长.
参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14.
20.如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求证:AB为☉O的切线;
4
(2)若BC=6,tan∠ABC= ,求AD的长.
3五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.
22.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.
(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ;
(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).
(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2√3,BE=2√19,求四边形ADPE的面积.
图4
六、(本大题共12分)
23.小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:
求解体验
(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟
我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y',则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.
(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y',若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.
问题解决
(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0).
①若抛物线y的衍生抛物线为y'=bx2-2bx+a2(b≠0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a,b的值及衍生中心的坐标;
②若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y,其顶点为A;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y,其顶点为A;……;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为y,其顶点为A;……(n为正整数).求AA 的长(用含n的式子表示).
1 1 2 2 n n n n+1(备用图)
江西省2018年中等学校招生考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6
B A D C C D
1.B 根据负数的绝对值等于它的相反数得|-2|=2.故选B.
b
2.A 原式=a2· =b,故选A.
a2
3.D 从左边看是上长下短等宽的两个矩形,矩形的公共边是虚线,故选D.
4 4
4.C 最喜欢足球的人数最多,选项A错误;最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的 倍,选项B错误;全班学生总人数为12+20+8+4+6=50,选项C正确;最喜欢田径的人数占总人数的 ×100%=8%,选项D错误,故选C.
3 50
5.C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移后的两个正方形组成轴对称图形.故选C.
3 3
6.D 由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确;当m=1时,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y= =3,∴直线l 与双曲线的交点坐标为(1,3);当x=3时,y= =1,∴直线l 与双曲线的交点坐标为(3,1).
1 2
x x
∵ = ,∴当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等,选项B中结论正确;当-2<m<0时,0<m+2<2,故两直线与双曲线的交点在y轴两侧,选项C中结论正确;当两直线与双曲线都有交点时,不可能出现两个交
√(1-0)2+(3-0)2 √(3-0)2+(1-0)2
点的纵坐标相同,而两直线的距离为2,故这两交点的距离一定大于2,选项D中结论错误.故选D.
二、填空题
7. 答案 x≠1
1
解析 若分式 有意义,则x-1≠0,即x≠1.
x-1
8. 答案 6×104
解析 将60 000用科学记数法表示为6×104.
{5x+2y=10
9. 答案
2x+5 y=8
{5x+2y=10,
解析 每头牛值金x两,每头羊值金y两,根据“牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两”,可得
2x+5 y=8.
10. 答案 3√2
解析 根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=90°,
即△ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得AE= =3 ,所以AB=AE=3 .
√32+32 √2 √2
11. 答案 2
解析 ∵一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x、x,
1 2
∴ -4x=-2,xx=2,∴ -4x+2xx=-2+2×2=2.
x2 1 1 2 x2 1 1 2
1 1
12. 答案 2,√14-√2或2√3
解析 ∵四边形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6√2,OA=OD=3√2.
有三种情况:①点P在AD上时,
1
∵AD=6,PD=2AP,∴AP= AD=2;
3
②点P在AC上时,不妨设AP=x(x>0),则DP=2x,
在Rt△DPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,
即(2x)2=(3√2)2+(3√2-x)2,
解得x=√14-√2(负值舍去),即AP=√14-√2;
③点P在AB上时,
∵∠PAD=90°,PD=2AP,
∴∠ADP=30°,
√3
∴AP=ADtan 30°=6× =2√3.
3
综上所述,AP的长为2,√14-√2或2√3.
三、
13. 解析 (1)原式=a2-1-(a2-4a+4)=4a-5.
(2)去分母,得2x-2≥x-2+6,解得x≥6.
14. 解析 ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.
AB AE
∴∠CBD=∠D, = .∴BC=CD.
CD EC
∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,
8 AE
∴ = ,∴AE=4.
4 6-AE
15. 解析 画法如图.(1)AF即为所求.(2)BF即为所求.
1
16. 解析 (1)不可能;随机; .
4
(2)解法一:根据题意,画出如下的树状图:
6 1
由树状图可以得出,所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有6种,所以P(小惠被抽中)= = .
12 2
解法二:根据题意,列出表格如下:
小悦 小惠 小艳 小倩
小悦、 小悦、 小悦、
小悦
小惠 小艳 小倩
小惠、 小惠、 小惠、
小惠
小悦 小艳 小倩
小艳、 小艳、 小艳、
小艳
小悦 小惠 小倩
小倩、 小倩、 小倩、
小倩
小悦 小惠 小艳
6 1
由上表可以得出,所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有6种,所以P(小惠被抽中)= = .
12 2
17. 解析 (1)∵y=2x的图象经过A(1,a),∴a=2×1=2.
k
∵点A(1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴k=1×2=2.
x
{y=2x,
由 得{x=1,或{x=-1,
2
y= , y=2 y=-2.
x
∴B(-1,-2).
(2)设AC交x轴于点D,
∵A(1,2),AC∥y轴,∴OD=1,AD=2,∠ADO=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠C=∠AOD.
AD 2
∴tan C=tan∠AOD= = =2.
OD 1
四、18. 解析 整理数据
课外阅读时间x(min) 0≤x<40 40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160
等级 D C B A
人数 3 5 8 4
分析数据
平均数 中位数 众数
80 81 81
得出结论
(1)B.
8
(2)400× =160(名).
20
(3)按平均数计算:80×52=4 160(分钟),
4 160÷160=26(本).
答:估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本课外书.按中位数计算:81×52=4 212(分钟),
4 212÷160≈26(本).
答:估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读约26本课外书.按众数计算:81×52=4 212(分钟),
4 212÷160≈26(本).
答:估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读约26本课外书.
19. 解析 (1)如图,过点O作OD⊥AB于点D,
在Rt△OBD中,
BD=OB·cos∠OBD=60×cos 50°≈60×0.64=38.4(cm).
∵OC=OB,∴BC=2BD.
∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm).
(2)如图,
∵AB=120 cm,AC=60 cm,∴BC=AB-AC=60 cm.
∵OC=OB=60 cm,∴BC=OC=OB,
∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°.
∵点O的运动路径为 ,
OC
⏜
60π×60
∴点O运动的路径长为 =20π=62.8(cm).
180
20. 解析 (1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,即∠OEB=90°.
∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=∠OEB=90°.
∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.
∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.
∵∠D=90°,∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.∴OE=OC.∴AB为☉O的切线.
4
(2)∵BC=6,tan∠ABC= ,∠ACB=90°,
3
∴AC=BC·tan∠ABC=8.∴AB= =10.
√62+82
∵AB与BC均为☉O的切线,
∴BE=BC=6.∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,
则在Rt△AEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3.
∴OB= = =3 .
√OC2+BC2 √32+62 √5
1 1
∵S = AB·OE= BO·AD,∴AB·OE=BO·AD.
△BOA
2 2
∴10×3=3√5AD,∴AD=2√5.五、
21. 解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(10,200)和(15,150)代入,得
{10k+b=200, {k=-10,
解得
15k+b=150, b=300.
∴y与x的函数关系式为y=-10x+300.
由-10x+300≥0,得x≤30,
∴x的取值范围为8≤x≤30.
(2)设该品种蜜柚定价为x元/千克时,每天销售获得的利润为W元,依题意,得W=(x-8)(-10x+300)=-10(x-19)2+1 210,∵-10<0,∴当x=19时,W =1 210.
最大值
因此,该品种蜜柚定价为19元/千克时,每天销售获得的利润最大,最大利润为1 210 元.
(3)不能.
理由:按(2)中每天获得最大利润的方式销售,
由(1)得y=-10×19+300=110,
∵110×40=4 400<4 800,
∴该农户不能销售完这批蜜柚.
22. 解析 (1)相等(或BP=CE);垂直(或CE⊥AD).
(2)成立.
证明:如图,连接AC,交BD于点O.
当点P在线段OD上时,∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
∴AB=BC,∠ABD=30°,△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.
∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC.即∠BAP=∠CAE.
{
AB=AC,
在△APB与△AEC中, ∠BAP=∠CAE,
AP=AE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.
∵△ACD为等边三角形,∴∠ACE=∠DCE=30°,∴CE⊥AD.
当点P在BD延长线上时,证明方法同第一种情况.
(3)如图,连接AC,CE,设AD与CE交于点M,
由(2)可得△BAP≌△CAE,BP=CE,CE⊥AD,∠ACE=∠ABP=30°.
∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠BCE=90°.
∵BC=AB=2√3,BE=2√19,
∴CE= = =8.
√BE2-BC2 √76-12
∴BP=8.∵△ADC为等边三角形,且边长为2√3,
∴AM=√3,CM=3.∴EM=8-3=5.
∴AE= = = =2 .
√AM2+EM2 √(√3)2+52 √28 √7
√3
∴S = ×(2√7)2=7√3.设AC与BD交于点O,
等边△AEP
4∵菱形ABCD的边长为2√3,∴BD=6,AO=√3,
1
∴DP=8-6=2.∴S = ×2×√3=√3.
△ADP
2
∴S =7√3+√3=8√3.
四边形ADPE
六、
23. 解析 (1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).
(2)易知抛物线y=-x2-2x+5的顶点坐标为(-1,6),
且点(-1,6)关于点(0,m)的对称点为(1,2m-6),
∴衍生抛物线的解析式为y'=(x-1)2+2m-6.
由y=-(x+1)2+6,y'=(x-1)2+2m-6,y=y',
得x2+m-5=0,即x2=5-m.
∴当5-m≥0,即m≤5时,方程有解.
∴m的取值范围为m≤5.
(3)①∵抛物线y=ax2+2ax-b的顶点为(-1,-a-b),
抛物线y'=bx2-2bx+a2的顶点为(1,-b+a2),
由两抛物线的交点恰好是它们的顶点,得a2-3a=0,a2+a+4b=0,解得a=0,b=0(舍去),a =3,b=-3.
1 1 2 2
∴抛物线y的顶点为(-1,0),抛物线y'的顶点为(1,12).
∴两抛物线的衍生中心坐标为(0,6).
②∵y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,
∴y=-a(x-1)2+2k+2+a+b,顶点A 为(1,2k+2+a+b),
1 1
y=-a(x-1)2+2k+8+a+b,顶点A 为(1,2k+8+a+b),……,
2 2
y=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,顶点A 为(1,2k+2n2+a+b),
n n
y =-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,顶点A 为(1,2k+2(n+1)2+a+b),
n+1 n+1
∴AA =[2k+2(n+1)2+a+b]-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.
n n+1
