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2013 年陕西省初中毕业学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.下列四个数中最小的数是( )
1
A.-2 B.0 C.- D.5
3
2.如图,下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的,则它的俯视图是( )
3.如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
{ 1
4.不等式组 x- >0,的解集为( )
2
1-2x<3
1 1 1
A.x> B.x<-1 C.-1-
2 2 2
5.我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为:111,96,47,68,70,77,105.则这七天
空气质量指数的平均数是( )
A.71.8 B.77 C.82 D.95.7
6.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m)、B(n,3),那么一定有( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.若连结AC、BD相交于点O,则图中全等三角形
共有( )A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值,可得p的值为( )
x -2 0 1
y 3 p 0
A.1 B.-1 C.3 D.-3
9.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC上,连结BM、DN.若四边形
AM
MBND是菱形,则 等于( )
MD
3 2 3 4
A. B. C. D.
8 3 5 5
10.已知两点A(-5,y )、B(3,y )均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x ,y)是该抛物线的顶点.若
1 2 0 0
y>y≥y,则x 的取值范围是( )
1 2 0 0
A.x >-5 B.x >-1 C.-5”“=”或“<”)
14.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且BD平分AC.若BD=8,AC=6,∠BOC=
120°,则四边形ABCD的面积为 .(结果保留根号)
6
15.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y= 的图象交于A(x ,y)、B(x ,y)两点,那么
1 1 2 2
x
(x-x)(y-y)的值为 .
2 1 2 1
16.如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的
中点,直线EF与☉O交于G、H两点.若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为 .
三、解答题(共9小题,计72分.解答应写出过程)17.(本题满分5分)
2 x
解分式方程: + =1.
x2-4 x-2
18.(本题满分6分)
如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线l经过点O,分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C、BD⊥l交l
于点D.
求证:AC=OD.
19.(本题满分7分)
我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》,通知中要求各学
校全面持续开展“光盘行动”.
某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度(程度分为:“A—了解
很多”“B—了解较多”“C—了解较少”“D—不了解”),对本市一所中学的学生进行了抽
样调查.我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查了多少名学生?
(2)补全两幅统计图;
(3)若该中学共有1 800名学生,请你估计这所中学的所有学生中,对“节约教育”内容“了解
较多”的有多少名?20.(本题满分8分)
一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处
时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,
走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立
时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
21.(本题满分8分)
“五一节”期间,申老师一家自驾游去了离家170千米的某地.下面是他们离家的距离y(千
米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1)求他们出发半小时时,离家多少千米?
(2)求出AB段图象的函数表达式;
(3)他们出发2小时时,离目的地还有多少千米?
22.(本题满分8分)甲、乙两人用手指玩游戏,规则如下:i)每次游戏时,两人同时随机地各伸出一根手指;ii)两人伸
出的手指中,大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇
指只胜大拇指,否则不分胜负.依据上述规则,当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时,
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率;
(2)求乙取胜的概率.
23.(本题满分8分)
如图,直线l与☉O相切于点D,过圆心O作EF∥l交☉O于E、F两点,点A是☉O上一点,连结
AE、AF,并分别延长交直线l于B、C两点.
(1)求证:∠ABC+∠ACB=90°;
(2)当☉O的半径R=5,BD=12时,求tan∠ACB的值.
24.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过A(1,0)、B(3,0)两点.
(1)写出这个二次函数图象的对称轴;(2)设这个二次函数图象的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连结AC、
DE和DB.当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式.
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A(x ,0)、B(x ,0),那么它的表达式可表示为
1 2
y=a(x-x )(x-x )]
1 2
25.(本题满分12分)
问题探究
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过
点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由;
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点.如果AB=a,CD=b,且
b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部
分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.
答案全解全析：
1
1.A -2<- <0<5,故选A.
32.D 物体的俯视图是从物体正上方看到的一个平面图.所以它的俯视图是矩形内含有与上
下两边相切的圆(无圆心),故选D.
3.B ∵AB∥CD,∴∠AEC=∠C=35°,∵∠CED=90°,∴∠D=90°-∠C=90°-35°=55°,故选
B.
1 1
4.A 由不等式x- >0,得x> ,
2 2
由不等式1-2x<3得x>-1,
1
所以不等式组的解集为x> ,故选A.
2
111+96+47+68+70+77+105
5.C =82.故选C.
7
6.D 若k>0,则正比例函数图象经过第一、三象限,因为函数图象经过不同象限的两点,所
以m,n不能同为正数;若k<0,则正比例函数图象经过第二、四象限,因为函数图象经过不同
象限的两点,所以m<0,n<0,故选D.
7.C △ABO≌△ADO、△ABC≌△ADC,△CBO≌△CDO,共3对.故选C.
8.A 设一次函数解析式为y=kx+b,把(-2,3),(1,0)代入y=kx+b得k=-1,b=1,即y=-x+1,当
x=0时,y=-1×0+1=1.故选A.
9.C ∵四边形MBND是菱形,∴MB=MD,设AB=a,则AD=2AB=2a.∴MB=MD=2a-AM,在直角三角形
3 5 AM 3
ABM中,BM2=AB2+AM2,即(2a-AM)2=a2+AM2,解得AM= a,∴MD= a,所以 = ,故选C.
4 4 MD 5
10.B 因为A(-5,y),B(3,y),且y>y≥y,所以抛物线开口向上.若y=y,则对称轴方程为
1 2 1 2 0 1 2
x=-1,因为y>y,所以对称轴在x=-1的右侧,x 的取值范围为x>-1,故选B.
1 2 0 0
11.答案 -7
解析 原式=-8+1=-7.
12答案 0,3解析 x(x-3)=0,即x=0或x-3=0,所以x=0,x=3.
1 2
13.答案 A.(6,4);B.>
解析 A.由平移前后的对应点A(-2,1)和A'(3,2)可知,线段AB是向右平移5个单位、向上
平移1个单位得到线段A'B'的,∴点B'的坐标为(6,4).
B.∵cos 31°≈0.857,∴8cos 31°=6.856>6=√36.
又∵√36>√35,∴8cos 31°>√35.
14.答案 12√3
解析 ∵∠BOC=120°,∴∠AOB=∠DOC=60°,
∵BD平分AC,AC=6 ∴OA=OC=3.
过点A作AE⊥BD,过点C作CF⊥BD,
3√3
∴AE=CF=3×sin 60°= ,
2
1 1 3√3
∴S = BD·AE= ×8× =6√3,同理,S =6√3,∴S =S + S =12√3.
△ABD △CBD 四边形ABCD △ABD △CBD
2 2 2
15.答案 24
解析 因为点A(x,y)、B(x,y)在反比例函数图象上,所以x·y=6,x·y=6.根据对称性,
1 1 2 2 1 1 2 2
当正比例函数和反比例函数相交时,交点关于原点对称,所以 x=-x,y=-y,所以
1 2 1 2
xy=-6,xy=-6,因此(x-x)(y-y)=xy+xy-(xy+xy)=24.
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1
16.答案 10.5
解析 连结OA、OB,根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=60°,所以△AOB为等边三角形.因为
1
☉O的半径为7,所以AB=7.因为E、F分别为AC、BC的中点,所以EF= AB=3.5.当GH为☉O
2
的直径时,GE+FH取最大值,所以最大值为14-3.5=10.5.
17.解析 2+x(x+2)=x2-4,(2分)
2+x2+2x=x2-4,x=-3.(4分)
经检验,x=-3是原分式方程的根.(5分)
18.证明 ∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,(1分)
∵AC⊥l,BD⊥l,
∴∠ACO=∠BDO=90°,∴∠A+∠AOC=90°,
∴∠A=∠BOD.(3分)
又∵OA=OB,
∴△AOC≌△OBD.(5分)
∴AC=OD.(6分)
19.解析 (1)抽样调查的学生人数为36÷30%=120(名).(2分)
(2)B的人数为120×45%=54(名),
24
C的百分比为 ×100%=20%,
120
6
D的百分比为 ×100%=5%.
120
补全两幅统计图如图所示.(5分)
(3)对“节约教育”内容“了解较多”的学生人数为1 800×45%=810(名).(7分)
20.解析 设CD长为x m.
∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,
∴MA∥CD,BN∥CD.
∴EC=CD=x,
△ABN∽△ACD.BN AB
∴ = .(5分)
CD AC
1.75 1.25
即 = .
x x-1.75
解得x=6.125≈6.1,
∴路灯的高CD的长约为6.1 m.(8分)
21.解析 (1)设OA段图象的函数表达式为y=kx.
∵当x=1.5时,y=90,
∴1.5k=90.
∴k=60.
∴y=60x(0≤x≤1.5).
∴当x=0.5时,y=60×0.5=30.
∴出发半小时时,他们离家30千米.(3分)
(2)设AB段图象的函数表达式为y=k'x+b.(4分)
∵A(1.5,90),B(2.5,170)在AB上,
{90=1.5k'+b,
∴
170=2.5k'+b.
解得k'=80,b=-30.
∴y=80x-30(1.5≤x≤2.5).(6分)
(3)当x=2时,y=80×2-30=130.
∴170-130=40.
∴他们出发2小时时,离目的地还有40千米.(8分)
(注:本题中对自变量取值范围不作要求)
22.解析 设A、B、C、D、E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指,列表如下:
乙
A B C D E
甲
A AA AB AC AD AEB BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表可知,共有25种等可能的结果.
(1)由表可知,甲伸出小拇指取胜有1种可能,
1
∴P(甲伸出小拇指取胜)= .(3分)
25
(2)由表可知,乙取胜有5种可能.
5 1
∴P(乙取胜)= = .(8分)
25 5
23.证明 (1)∵EF是☉O的直径,
∴∠EAF=90°.
∴∠ABC+∠ACB=90°.(3分)
(2)连结OD,则OD⊥BD.(4分)
过点E作EH⊥BC,垂足为点H,
∴EH∥OD.
∵EF∥BC,OE=OD,∴四边形EODH是正方形.(6分)
∴EH=HD=OD=5.
又∵BD=12,∴BH=7.
BH 7
在Rt△BEH中,tan∠BEH= = ,
EH 5
而∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEH.
7
∴tan∠ACB= .(8分)
524.解析 (1)二次函数图象的对称轴为直线x=2.(2分)
(2)设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0).(3分)
当x=0时,y=3a;当x=2时,y=-a.
∴点C坐标为(0,3a),顶点D坐标为(2,-a).
∴OC=|3a|.
又∵A(1,0),E(2,0),
∴OA=1,EB=1,DE=|-a|=|a|.(5分)
当△AOC与△DEB相似时,
①假设∠OCA=∠EBD,
AO OC 1 |3a|
可得 = ,即 = .
DE EB |a| 1
√3 √3
∴a= 或a=- .(7分)
3 3
AO OC
②假设∠OCA=∠EDB,可得 = .
EB ED
1 |3a|
∴ = .此方程无解.(8分)
1 |a|
√3 4√3 √3 4√3
综上可得,所求二次函数的表达式为y= x2- x+√3或y=- x2+ x-√3.(10分)
3 3 3 3
写成y=√3(x-1)(x-3)或y=-√3(x-1)(x-3)也可以
3 3
25.解析 (1)如图①所示.(2分)
图①(2)如图②,连结AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作OM的
垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.(4分)
图②
理由如下:
∵点O是正方形的对称中心.
∴AP=CQ,EB=DF.
在△AOP和△EOB中,
∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,
∴∠AOP=∠BOE.
∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,
∴△AOP≌△BOE.
∴AP=BE=DF=CQ.
∴AE=BQ=CF=PD.(6分)
设点O到正方形ABCD一边的距离为d.
1 1 1 1
∴ (AP+AE)d= (BE+BQ)d= (CQ+CF)d= (PD+DF)d.
2 2 2 2
∴S =S =S =S .
四边形APOE 四边形BEOQ 四边形CQOF 四边形POFD
∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分.(7分)
(3)存在.当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD面积二等分.(8分)
理由如下:
如图③,延长BA到点E,使AE=b,延长CD到点F,使DF=a,连结EF.图③
∵BECF,BE=BC=a+b,
∴四边形EBCF是菱形.
连结BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF.
∴AM=DM.
∴P、M两点重合.
∴P点是菱形EBCF对角线的交点.(10分)
在BC上截取BQ=CD=b,则CQ=AB=a.
设点P到菱形EBCF一边的距离为d,
1 1 1
则 (AB+BQ)d= (CQ+CD)d= (a+b)d.
2 2 2
∴S =S .
四边形ABQP 四边形QCDP
∴当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.(12分)
