10
江西省2020年中等学校招生考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.-3的倒数是 ( )
1 1
A.3 B.-3 C.- D.
3 3
2.下列计算正确的是 ( )
A.a3+a2=a5 B.a3-a2=a C.a3·a2=a6 D.a3÷a2=a
3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报.经初步统计,2019年全国教育经费总投入为50 175亿元,比上年增长8.74%.将50 175亿用科学记数法表示为 ( )
A.5.017 5×1011 B.5.017 5×1012
C.0.501 75×1013D.0.501 75×1014
4.如图,∠1=∠2=65°,∠3=35°,则下列结论错误的是 ( )
A.AB∥CD B.∠B=30°
C.∠C+∠2=∠EFC D.CG>FG
5.如图所示,正方体的展开图为 ( )
6.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为( )
1
A.y=x B.y=x+1C.y=x+ D.y=x+2
2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.计算:(a-1)2= .
8.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 .
9.公元前2000年左右,古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号(如图所示),一个钉头形代表1,一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中,人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同,最右边的数字代表个位,然后是十位,百位.根据符号记数
的方法,右下图符号表示一个两位数,则这个两位数是 .
10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家,他把圆周率精确到小数点后7位,这是祖冲之最重要的数学贡献.胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计:
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么,圆周率的小数点后100位数字的众数为 .
11.如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为 .
12.矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长为 cm.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(本题共2小题,每小题3分)
(1) -2
(1)计算:(1-√3)0-|-2|+ ;
2
{3x-2≥1,
(2)解不等式组:
5-x>2.
( 2x 1 ) x
14.先化简,再求值: - ÷ ,其中x=√2.
x2-1 x-1 x+1
15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动,需招收新成员.小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动,其中小贤、小艺来自七年级,小志、小晴来自八年级.现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.
(1)若随机抽取一名同学,恰好抽到小艺同学的概率为 ;
(2)若随机抽取两名同学,请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率.
16.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C';
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.17.放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯,2本笔记本需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元.
(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格;
(2)小贤和小艺都还想再买1件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品?请通过运算说明.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
k
18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,顶点A,B都在反比例函数y= (x>0)的图象上,直线AC⊥x轴,垂足为D,连接OA,OC,并延长OC交AB于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若∠AOD=45°,OA=2√2.
x
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求∠EOD的度数.
19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召,某中学组织本校优秀教师开展线上教学,经过近三个月的线上授课后,在五月初复学.该校为了解学生不同阶段学习效果,决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评,第一次是复学初对线上教学质量
测评,第二次是复学一个月后教学质量测评.根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图(图1).
图1
图2
复学一个月后,根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表:成绩 30≤x<40 40≤x<50 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人数 1 3 3 8 15 m 6
根据以上图表信息,完成下列问题:
(1)m= ;
(2)请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图,并对两次成绩作出对比分析(用一句话概述);
(3)某同学第二次测试数学成绩为78分.这次测试中,分数高于78分的至少有 人,至多有 人;
(4)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀(80分及以上)的人数.
20.如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支
撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;
(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直线DE上即可,求CD旋转的角度.
(参考数据:sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839,sin 26.6°≈0.448,cos 26.6°≈0.894,tan 26.6°≈0.500, ≈1.732)
√3
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半径为r.
(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数;
(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数应为多少?请说明理由;
(3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … m 0 -3 n -3 …
(1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ;
(2)求抛物线的表达式及m,n的值;
(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;
(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A,A,A,A,请根据图象直接写出线段AA,AA 之间的数量关系: .
1 2 3 4 1 2 3 4
六、(本大题共12分)
23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形,它们的面积S,S,S 之间的关系问题”进行了以下探究:
1 2 3
类比探究
(1)如图2,在Rt△ABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作Rt△ABD,Rt△ACE,Rt△BCF,若∠1=∠2=∠3,则面积S,S,S 之间的关系式为 ;
1 2 3
推广验证
(2)如图3,在Rt△ABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意△ABD,△ACE,△BCF,满足∠1=∠2=∠3,∠D=∠E=∠F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由;
拓展应用
(3)如图4,在五边形ABCDE中,∠A=∠E=∠C=105°,∠ABC=90°,AB=2 ,DE=2,点P在AE上,∠ABP=30°,PE= ,求五边形ABCDE的面积.
√3 √2
图4
10江西省2020年中等学校招生考试
一、选择题
答案速查1 2 3 4 5 6
C D B C A B
( 1) 1
1.C 因为-3× - =1,所以-3的倒数是- ,故选C.
3 3
2.D 对于A,B,a3,a2不是同类项,不能合并,故A、B不正确;对于C,a3·a2=a3+2=a5,故C不正确;对于D,a3÷a2=a3-2=a,故D正确.
3.B 50 175亿=5.017 5×104×108=5.017 5×1012,故选B.
4.C ∵∠1=∠2=65°,∴AB∥CD,选项A正确;
∵∠3=35°,∴∠EFB=35°,又∠1=∠EFB+∠B,
∴∠B=∠1-∠EFB=65°-35°=30°,选项B正确;
∵AB∥CD,∴∠C=∠B=30°,∵35°>30°,∴∠3>∠C,
∴CG>FG,选项D正确;
∵∠3=35°,∠EFC+∠3=180°,∴∠EFC=180°-35°=145°,
而∠C+∠2=30°+65°=95°≠145°,∴∠C+∠2≠∠EFC,选项C错误.
5.A 动手操作可知选A.
6.B 令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x=-1,x=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y=x-3.∵将Rt△OAB向右上方平移得到Rt△O'A'B',且点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,∴点B'的横坐标为4,代入抛物线表达式可得
1 2
B'(4,5).∵A'B'∥AB,∴可设直线A'B'的表达式为y=x+b,将点B'(4,5)代入可得b=1,∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选B.
二、填空题
7. 答案 a2-2a+1
解析 (a-1)2=a2-2a+1.
8. 答案 x=-2
解析 将x=1代入方程可得k=-1,∴一元二次方程为x2+x-2=0,解得x=-2,x=1,∴另一个根为x=-2.
1 2
9. 答案 25
解析 两个尖头形表示20,5个钉头形表示5,所以这个两位数为25.
10. 答案 9
解析 数字9出现了14次,出现的次数最多,故众数是9.
11. 答案 82°
解析 ∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA=CA,∴△DCA≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.
4√3
12. 答案 或4√3或(8-4√3)
3
AE √3 4√3 AB √3
解析 分三种情况:①当∠ABE=30°时,在Rt△ABE中,tan 30°= = ,可得AE= ;②当∠AEB=30°时,在Rt△ABE中,tan 30°= = ,可得AE=4√3;③当∠A'ED=30°时,如图,由折叠性质可得△ABE≌△A'BE,∴∠A'EB=∠AEB=75°,∴∠ABE=15°,在
AB 3 3 AE 3
Rt△ABE中,作∠FEB=∠FBE并交AB于点F,则∠AFE=30°,∴BF=EF=2AE,∴AF=4-2AE,在Rt△AFE中,AE2+AF2=EF2,
即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,
可求得AE=8-4√3或8+4√3(舍),
4√3
∴AE的长为 cm或4√3 cm或(8-4√3)cm.
3
三、
1
13. 解析 (1)原式=1-2+(1) 2
2
=-1+4
=3.
{3x-2≥1,①
(2)
5-x>2.②
解不等式①,得x≥1,
解不等式②,得x<3.
∴原不等式组的解集是1≤x<3.
[ 2x x+1 ] x+1
14. 解析 原式= - ·
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) x2x-(x+1) x+1 x-1 x+1 1
= · = · = .
(x+1)(x-1) x (x+1)(x-1) x x
∵x=√2,
1 1 √2
∴原式= = = .
x √2 2
1
15. 解析 (1) .
4
(2)解法一:根据题意,可以列表如下:
小贤 小晴 小艺 小志
小贤 小贤,小晴 小贤,小艺 小贤,小志
小晴 小晴,小贤 小晴,小艺 小晴,小志
小艺 小艺,小贤 小艺,小晴 小艺,小志
小志 小志,小贤 小志,小晴 小志,小艺
由上表可以得出,所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“其中两名同学均来自八年级”的结果共有2种,
2 1
所以,P(两名同学均来自八年级)= = .
12 6
解法二:根据题意,可以画出如下的树状图:
由树状图可以得出所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“其中两名同学均来自八年级”的结果共有2种,
2 1
所以,P(两名同学均来自八年级)= = .
12 6
16. 解析 (1)如图1,△A'B'C'即为所求.
(2)如图2,△AB'C'即为所求.
17. 解析 (1)设笔芯x元/支,笔记本y元/本.
{3x+2y=19,
依题意,得
7x+ y=26.
{x=3,
解得
y=5.
答:笔芯3元/支,笔记本5元/本.
(2)解法一:合买笔芯,合算.
∵整盒买比单支买每支可优惠0.5元,
∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.
∴共可节约0.5×10=5元.
∵小工艺品的单价为3元,5+2>3×2,
∴他们既能买到各自所需的文具用品,又都能买到一个小工艺品.
解法二:合买笔芯,单算.
∵整盒买比单支买每支可优惠0.5元,
∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.
∵小工艺品的单价为3元,
小贤:3×0.5+2=3.5>3,小艺:7×0.5=3.5>3.
∴他们既能买到各自所需的文具用品,又都能购买到一个小工艺品.
四、
18. 解析 (1)∵AD⊥x轴,∠AOD=45°,OA=2√2,
∴AD=OD=2.
∴A(2,2).
∵点A在反比例函数图象上,
∴k=2×2=4.4
∴y= .
x
(2)∵△ABC为直角三角形,点E为AB的中点,
∴AE=CE=EB,∴∠AEC=2∠ECB.
∵AB=2OA,
∴AO=AE.
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB.
∵∠ACB=90°,AD⊥x轴,
∴BC∥x轴.
∴∠ECB=∠EOD.
∴∠AOE=2∠EOD.
∵∠AOD=45°,
1 1
∴∠EOD= ∠AOD= ×45°=15°.
3 3
19. 解析 (1)14.
详解:由题图1可知总人数为2+8+10+15+10+4+1=50,
所以m=50-1-3-3-8-15-6=14.
(2)折线统计图如图所示,
对比前一次测试优秀学生的比例大幅度上升;
对比前一次测试学生的平均成绩有较大提高;
对比前一次测试学生成绩的众数、中位数增大.(对比分析答案不唯一)
(3)20;34.
详解:由统计表可知,至少有14+6=20人,至多有15+14+6-1=34人.
14+6
(4)800× =320.
50
答:该校800名八年级学生数学成绩优秀(80分及以上)的人数是320.
20. 解析 (1)如图1,过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD=80,∠CDE=60°,
CH CH √3
∴sin 60°= = = ,
CD 80 2
∴CH=40√3≈40×1.732=69.28.
图1
作AM⊥DE交ED的延长线于点M,CN⊥AM于点N,则四边形NMHC是矩形.
∴MN=CH=40√3,NC∥MH,
∴∠NCD=∠CDE=60°.
∵∠DCB=80°,∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
AN
∵sin∠ACN= ,AC=80,
AC
∴AN=80sin 40°≈80×0.643=51.44.
∴AM=AN+NM=51.44+69.28≈120.7.
答:点A到直线DE的距离为120.7 mm.
(2)解法一:
∵AB绕着点C逆时针旋转10°,图2
∴∠DCB=90°.如图2.
连接BD.
∵DC=80,CB=40,
CB 40
∴tan∠CDB= = =0.5.
CD 80
∴∠CDB≈26.6°.
∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
解法二:
当点B落在DE上时,如图3.
在Rt△BCD中,BC=40,CD=80,(∠DCB=90°,同解法一)
BC 40
∴tan∠BDC= = =0.5.∴∠BDC≈26.6°.
CD 80
∴∠CDC'=∠BDC'-∠BDC≈60°-26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
图3
五、
21. 解析 (1)如图1,连接OA,OB.
图1
∵PA,PB为☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∴∠AOB+∠APB=180°.
∵∠APB=80°,
∴∠AOB=100°.
∴∠ACB=50°.
(2)如图2,当∠APB=60°时,四边形APBC为菱形.连接OA,OB.
由(1)可知∠AOB+∠APB=180°.
∵∠APB=60°,∴∠AOB=120°.
∴∠ACB=60°=∠APB.
当PC经过圆心时,PC最大.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴四边形APBC为轴对称图形.
∴PA=PB,CA=CB,PC平分∠APB和∠ACB.
∵∠APB=∠ACB=60°,
∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°.
∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形.
图2
(3)∵☉O的半径为r,∴OA=r,OP=2r.∴AP=√3r,PD=r.60πr π
∵∠AOP=60°,∴l = = r.
AD 180 3
⏜
( π)
∴C =PA+PD+l = √3+1+ r.
阴 AD 3
⏜
22. 解析 (1)上;直线x=1.
详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上.
0+2
由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x= =1.
2
(2)由题表可知抛物线过点(0,-3).
∴y=ax2+bx-3.
将点(-1,0),(2,-3)代入,
{ a-b-3=0,
得
4a+2b-3=-3.
{ a=1,
解得
b=-2.
∴y=x2-2x-3.
当x=-2时,m=(-2)2-2×(-2)-3=5;
当x=1时,n=12-2×1-3=-4.
(3)如图1所示,点P'所在曲线是抛物线.
3
详解:设P(x',y'),P'(x,y),∵P'是OP的中点,∴x'=2x,y'=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-2×2x-3,即y=2x2-2x- ,为点P'所在曲线的表达式,∴点P'所在曲线是抛物线.
2
(4)AA-AA=1.
3 4 1 2
3 3
详解:如图2.设点A,A,A,A 对应的横坐标分别为x,x,x,x,∴AA=x-x,AA=x-x,∴AA-AA=x-x-(x-x)=x+x-(x+x),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x,x,∴x+x=2,令y=2x2-2x- =m,可得2x2-2x- -m=0,它对应的两个根
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 3 4 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 4 1 3 2 1 4 1 4 2 2
应为x,x,∴x+x=1,∴AA-AA=2-1=1.
2 3 2 3 3 4 1 2
六、
23. 解析 (1)S+S=S.
1 2 3
详解:∵△ABC是直角三角形,∴AB2+AC2=BC2.
∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形,且∠1=∠2=∠3,
S AB2 S AC2
1 2
∴Rt△ABD∽Rt△ACE∽Rt△BCF,∴ = , = ,
S BC2 S BC2
3 3
S S S +S AB2 AC2 AB2+AC2 BC2
1 2 1 2
∴ + = = + = = =1.
S S S BC2 BC2 BC2 BC2
3 3 3
∴S+S=S.
1 2 3
(2)成立.证明如下:
∵∠1=∠2=∠3,∠D=∠E=∠F,
S AB2 S AC2
1 2
∴△ABD∽△CAE∽△BCF.∴ = , = .
S BC2 S BC2
3 3
S +S AB2+AC2
1 2
∴ = .
S BC2
3
∵△ABC为直角三角形,∴AB2+AC2=BC2.S +S
1 2
∴ =1.∴S+S=S.
S 1 2 3
3
(3)过点A作AH⊥BP于点H.
∵∠ABH=30°,AB=2√3,
∴AH=√3,BH=3,∠BAH=60°.
∵∠BAP=105°,
∴∠HAP=45°.
∴PH=AH=√3.
∴AP=√6,BP=BH+PH=3+√3.
BP·AH (3+√3)×√3 3√3+3
∴S = = = .连接PD.
△ABP 2 2 2
PE √2 √3 ED 2 √3
∵PE=√2,ED=2,∴ = = , = = .
AP √6 3 AB 2√3 3
PE ED
∴ = .
AP AB
又∵∠E=∠BAP=105°,∴△ABP∽△EDP.
PD PE √3
∴∠EPD=∠APB=45°, = = .
BP AP 3
∴∠BPD=90°,PD=1+√3.
(√3) 2 3√3+3 1 √3+1
∴S =S · = × = .连接BD.
△PED △ABP 3 2 3 2
PB·PD (√3+3)×(1+√3)
∴S = = =2√3+3.
△PBD 2 2
PD √3
∵tan∠PBD= = ,∴∠PBD=30°.
BP 3
∵∠ABC=90°,∠ABP=30°,∴∠DBC=30°.∵∠C=105°,
∴△ABP∽△EDP∽△CBD.
3√3+3 √3+1
∴S =S +S = + =2√3+2.
△BCD △ABP △EDP 2 2
∴S =S +S +S +S
五边形ABCDE △ABP △EDP △BCD △BPD
3√3+3 √3+1
= + +(2√3+2)+(2√3+3)=6√3+7.
2 2
