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2020年广西北部湾经济区初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共36分)
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1.下列实数是无理数的是 ( )
A. B.1 C.0 D.-5
√2
2.下列图形是中心对称图形的是 ( )
3.2020年2月至5月,由广西教育厅主办,南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程,深受广大师生欢迎.其中某节数学课的点击观看次数约889 000次,则数据889 000用科
学记数法表示为 ( )
A.88.9×103 B.88.9×104 C.8.89×105 D.8.89×106
4.下列运算正确的是 ( )
A.2x2+x2=2x4 B.x3·x3=2x3
C.(x5)2=x7 D.2x7÷x5=2x2
5.以下调查中,最适合采用全面调查的是 ( )
A.检测长征运载火箭的零部件质量情况
B.了解全国中小学生课外阅读情况
C.调查某批次汽车的抗撞击能力
D.检测某城市的空气质量
6.一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
7.如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 ( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径,则它获得食物的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
9.如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为 ( )A.15 B.20 C.25 D.30
10.甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为 ( )
600 1 600 600 600 1
A. - = B. = -
v 3 1.2v v 1.2v 3
600 600 600 600
C. -20= D. = -20
v 1.2v v 1.2v
11.《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10
寸),则AB的长是 ( )
图1
图2
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
1
12.如图,点A,B是直线y=x上的两点,过A,B两点分别作x轴的平行线交双曲线y= (x>0)于点C,D,若AC=√3BD,则3OD2-OC2的值为( )
x
A.5 B.3 C.4 D.2
√2 √3
第Ⅱ卷 非选择题(共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.如图,在数轴上表示的x的取值范围是 .
14.计算: - = .
√12 √3
15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数 20 40 100 200 400 1 000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率
0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
(结果保留小数点后两位)
根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 (结果保留小数点后一位).
16.如图,某校礼堂的座位分为四个区域,前区一共有8排,其中第1排共有20个座位(含左、右区域),往后每排增加两个座位,前区最后一排与后区各排的座位数相同,后区一共有10排,则该礼堂的座位总数是 .17.以原点为中心,把点M(3,4)逆时针旋转90°得到点N,则点N的坐标为 .
18.如图,在边长为2√3的菱形ABCD中,∠C=60°,点E,F分别是AB,AD上的动点,且AE=DF,DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时,则点P的运动路径长为 .
三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本题满分6分)
计算:-(-1)+32÷(1-4)×2.
20.(本题满分6分)
先化简,再求值:x+1÷( 1),其中x=3.
x-
x x
21.(本题满分8分)
如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.22.(本题满分8分)小手拉大手,共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况,通过发放问卷进行测评,从中随机抽取20份答卷,并统计成绩(成绩得分用x表示,单位:分),收集数据如下:
90 82 99 86 98 96 90 100 89 83
87 88 81 90 93 100 100 96 92 100
整理数据:
80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100
3 4 a 8
分析数据:
平均分 中位数 众数
92 b c
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述表格中a,b,c的值;
(2)该校有1 600名家长参加了此次问卷测评活动,请估计成绩不低于90分的人数是多少;
(3)请从中位数和众数中选择一个量,结合本题解释它的意义.
23.(本题满分8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向,距离小岛40 n mile的点A处,它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?
(2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20√6 n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少(结果保留根号)?
24.(本题满分10分)
倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2 h共分拣垃圾3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5 h共分
拣垃圾8吨.
(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨,设购买A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人b台,请用含a的代数式表示b;
(3)机器人公司的报价如下表:
型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台
A型 20万元/台 原价购买 打九折B型 12万元/台 原价购买 打八折
在(2)的条件下,设购买总费用为W万元,问如何购买使得总费用W最少?请说明理由.
25.(本题满分10分)
如图,在△ACE中,以AC为直径的☉O交CE于点D,连接AD,且∠DAE=∠ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与☉O相切于点B.
(1)求证:AP是☉O的切线;
(2)连接AB交OP于点F,求证:△FAD∽△DAE;
1 AE
(2)若tan∠OAF= ,求 的值.
2 AP
26.(本题满分10分)
如图1,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1与直线l:x=-2相交于点D,点A是直线l 上的动点,过点A作AB⊥l 于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC,设点A的纵坐标为t,△ABC的面积为s.
1 2 2 1
(1)当t=2时,请直接写出点B的坐标;
(2)s关于t的函数解析式为s=
{1
t2+bt-
5
,t<-1或t>5,其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值;
4 4
a(t+1)(t-5),-1<t<5,
(3)在l 上是否存在点A,使得△ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和△ABC的面积;若不存在,请说明理由.
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2020年广西北部湾经济区初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C D A B B C B A C C
1.A 1,0,-5均为整数,属于有理数,√2是无理数.故选A.
2.D 根据中心对称图形的定义,可知A、B、C不是中心对称图形,D是中心对称图形.故选D.
3.C 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于10时,n是正整数;当原数的绝对值小于1时,n是负整数.数据889 000
用科学记数法表示为8.89×105.故选C.
4.D 2x2+x2=3x2,故A错误;同底数幂相乘,底数不变,指数相加,x3·x3=x6,故B错误;幂的乘方,底数不变,指数相乘,(x5)2=x10,故C错误;2x7÷x5=2x2,故D正确.故选D.
5.A A选项要求结果特别精确,所以必须采用全面调查;B、D选项数量大,而且不要求结果特别精确,C选项的调查具有破坏性,所以适合抽样调查.
6.B Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,因此该一元二次方程有两个相等的实数根,故选B.
180°-∠ACB 180°-50°
7.B ∵AB=BC,∴∠A=∠ACB,又∠B=80°,∴∠A=∠ACB=50°,根据作图痕迹,可知CE平分∠ACD,∴∠DCE= = =65°.
2 2
2 1
8.C 由题图中的树枝结构可知,蚂蚁寻觅食物的路径共有6条,其中能够获得食物的路径有2条,因此它获得食物的概率P= = ,故选C.
6 3
AN EF x 60-x
9.B 在正方形EFGH中,EF∥HG,EF=EH,易证AN⊥EF,所以EH=ND,令AN=x,则EF=EH=ND=60-x,由EF∥HG可得△AEF∽△ABC,故 = ,即 = ,解得x=20,故选B.
AD BC 60 120
600 600 600 600 1 600 1 600
10.A 提速前后行车时间分别是 h, h,因为提速后行车时间比提速前减少20 min,所以 - = ,即 - = ,故选A.
v 1.2v v 1.2v 3 v 3 1.2v
1
11.C 如图,过O作OE⊥CD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC=1寸.
2
设AO=AD=BC=OB=x寸,
则AF=(x-1)寸,
在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102,
101
解得x= ,故AB=2x=101寸,故选C.
2
12.C 延长BD交y轴于E,延长CA交y轴于F,
设C( 1),D( 1),则FC=n,DE=m,
n, m,
n m
1 1
∵点A,B在直线y=x上,∴OF=AF= ,OE=BE= ,
n m
1 1
故BD=BE-DE= -m,AC=FC-AF=n- ,
m n
∵ BD=AC,∴ ( 1 )=n-1,
√3 √3 -m
m n∴3( 1 ) 2=(1 ) 2,
-m -n
m n
整理得3( m2+ 1 )-( n2+ 1 )=4,
m2 n2
又3OD2=3(OE2+DE2)=3( m2+ 1 ),
m2
1
OC2=FC2+OF2=n2+ ,
n2
∴3OD2-OC2=3( m2+ 1 )-( n2+ 1 )=4.故选C.
m2 n2
二、填空题
13. 答案 x<1
解析 观察数轴可知x<1.
14. 答案 √3
解析 √12-√3=2√3-√3=√3.
15. 答案 0.8
解析 从题表中的数据可知,随着射击次数的逐步增加,“射中9环以上”的频率稳定在0.80,所以估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.8.
16. 答案 556
解析 ∵前区共有8排,其中第1排共有20个座位(含左、右区域),往后每排增加两个座位,
∴前区的座位总数为20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+…+(20+7×2)=8×20+(1+2+3+4+5+6+7)×2
=216.
∵前区最后一排的座位数为20+7×2=34,
∴后区的座位总数为34×10=340.
∴该礼堂的座位总数是216+340=556.
17. 答案 (-4,3)
解析 如图所示,连接OM、ON,作MA⊥x轴于A,NB⊥x轴于B,
由旋转的性质可知∠MON=90°,且OM=ON,
故∠1+∠2=90°,
又∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3,
所以△OAM≌△NBO,
所以BN=OA=3,OB=AM=4,
故N(-4,3).
4
18. 答案 π
3
解析 连接BD,由菱形的性质及∠C=60°,
可知△BCD、△ABD均为等边三角形,
故BD=AD,且∠BDF=∠A=60°,
又AE=DF,故在E、F运动过程中,△BDF≌△DAE,即∠DBF=∠ADE,
因此∠DBF+∠BDP始终等于60°,即∠BPD始终等于120°,
又∠C=60°,因此B、C、D、P四点共圆,
1 1
故点P的运动路径为以等边三角形BCD的中心O为圆心,OB为半径的圆的一部分,即 ,延长BO交CD于G,易证DG= CD=√3,∠ODG= ∠BDC=30°,
BD
2 2
⏜
√3
GD
故OB=OD= =√3=2,且∠BOD=120°,
cos30°
2
120·π·2 4
∴l = = π.
BD 180 3
⏜
4
即点P的运动路径长为 π.
3
三、解答题
19. 解析 -(-1)+32÷(1-4)×2=1+9÷(-3)×2=1-3×2=-5.
20. 解析 x+1÷( 1)=x+1÷(x2 1)=x+1· x = 1 .
x- -
x x x x x x (x+1)(x-1) x-1
1 1
当x=3时,原式= = .
3-1 2
21. 证明 (1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
{AB=DE,
在△ABC和△DEF中, AC=DF,
BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE,又AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形.
22. 解析 (1)a=20-3-4-8=5.
将这组数据按从小到大的顺序排列如下:
81,82,83,86,87,88,89,90,90,90,92,93,96,96,98,99,100,100,100,100,
其中第10个和第11个数据分别是90,92,
90+92
所以,这组数据的中位数b= =91.
2
100出现了4次,出现的次数最多,
所以众数c=100.
(2)(5+8)÷20=0.65,1 600×0.65=1 040,
所以估计成绩不低于90分的人数是1 040.
(3)中位数:在统计的问卷的成绩中,有一半的人的成绩超过91分(或众数:在统计的问卷的成绩中,得100分的人数最多).
23. 解析 (1)过B点作AC的垂线BD,交AC于点D,由垂线段最短,知AC上的D点距离B点最近,AD即为所求,
由题意可知∠BAF=30°,∠CAF=15°,
√2
∴∠BAD=45°,∴AD=BD=ABsin 45°=40× =20√2 n mile,
2
∴渔船航行20√2 n mile时,距离小岛B最近.
BD 20√2 √3
(2)在Rt△BDC中,tan C= = = ,
DC 20√6 3
∴∠C=30°,∠DBC=60°,
BD
∴BC= =40√2 n mile,
sin30°
∵∠ABD=45°,∠ABE=90°-30°=60°,∴∠DBE=15°,
∴∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°.
答:从B处沿南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短,最短航程为40√2 n mile.
24. 解析 (1)设1台A型机器人每小时分拣x吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣y吨垃圾,
{2(2x+5 y)=3.6, {x=0.4,
依题意得 解得
5(3x+2y)=8, y=0.2.
答:1台A型机器人每小时分拣0.4吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣0.2吨垃圾.
(2)依题意得0.4a+0.2b=20,
∴b=-2a+100(10≤a≤45).
(3)结合(2),当10≤a<30时,b=100-2a,
∴40<b≤80,
此时W=20×a+12×0.8(100-2a)=0.8a+960;
当30≤a≤45且100-2a≥30时,30≤a≤35,
此时W=20×0.9a+12×0.8(100-2a)=-1.2a+960;
当30≤a≤45且100-2a<30时,35<a≤45,
此时W=20×0.9a+12×(100-2a)=-6a+1 200.
{
0.8a+960(10≤a<30),
∴W= -1.2a+960(30≤a≤35),
-6a+1 200(35<a≤45).
当10≤a<30时,取a=10,函数值最小,是968;
当30≤a≤35时,取a=35,函数值最小,是918;
当35<a≤45时,取a=45,函数值最小,是930.
∵918<930<968,∴a=35.
当a=35时,b=100-2a=30.
综上,购买A型机器人35台,B型机器人30台总费用最少.
25. 解析 (1)证明:∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACE+∠CAD=90°,
又∠DAE=∠ACE,∴∠DAE+∠DAC=90°,
∴OA⊥AP,
∴AP为圆O的切线.(2)证明:连接OB,
∵PA,PB为圆O的切线,∴PA=PB,
又OB=OA,OP=OP,
∴△OBP≌△OAP(SSS),∴∠BOD=∠DOA,
∴ = ,∴∠FAD=∠ACE,
AD DB
⏜ ⏜
在△AOB中,∠AOF=∠BOF,OA=OB,∴OF⊥AB,
∴∠AFD=∠ADE=90°,
又∵∠ACE=∠DAE,
∴∠FAD=∠DAE,
∴△FAD∽△DAE.
1
(3)在Rt△OFA中,tan∠OAF= ,
2
设OF=x,则AF=2x,OA=√5x,DF=OD-OF=OA-OF=(√5-1)x,
易知∠APO=∠OAF,∴AP=2OA=2√5x,
由(2)知∠FAD=∠ACE,
∴tan∠ACE=tan∠FAD,
AE DF (√5-1)x
即 = = ,又AC=2OA=2√5x,
AC AF 2x
AE (5-√5)x √5-1
∴AE=(5-√5)x,∴ = = .
AP 2√5x 2
26. 解析 (1)当t=2时,A(-2,2),∵直线l:y=x+1,AB⊥l,
1 1
∴可设直线AB的解析式为y=-x+n,
将A(-2,2)代入y=-x+n,得n=0,
∴直线AB的解析式为y=-x,
1
{x=- ,
联立{ y=-x, 得 2 ∴B( 1 1).
- ,
y=x+1, 1 2 2
y= ,
2
1 5
(2)当t=7时,s=4,故 ×72+7b- =4,解得b=-1.
4 4
-1+5
当t= =2时,s在-1<t<5内取得最大值,
2
1 1 1 9
此时s=S -S = ×3×2- ×3× = ,
△OAC △OBC
2 2 2 4
9 1
则a(2+1)(2-5)= ,解得a=- .
4 4
(3)(i)若A为△ABC的直角顶点,则AC∥l,
1此时AC的方程为y=x+3,
令x=-2,得y=1,∴A(-2,1).易得B(-1,0).
AC= =2 ,AB= .
√22+22 √2 √2
1
此时s= ×√2×2√2=2.
2
(ii)若C为△ABC的直角顶点,过B作l 的垂线交l 于E,易知△ABD为等腰直角三角形,∴E为AD的中点,D(-2,-1),A(-2,t),
2 2
则E( t-1),∴B(t-3 t-1),
-2, ,
2 2 2
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
在等腰直角三角形ABD中,由勾股定理得2AB2=AD2,
∴22+(t-3)2+(t-3) 2 +(t-1 ) 2 =(t+1)2 ⇒t2-12t+27=0,
-3
2 2 2
解得t=3或t=9,
则A(-2,3)或A(-2,9),
1 1
∴s= ×2×2=2或s= ×2√10×√10=10.
2 2
(iii)当B为△ABC的直角顶点时,此种情况不存在.(当A在D上方时,∠ABC为锐角;当A在D下方时,∠ABC为钝角)
综上,在l 上存在点A,使得△ABC是直角三角形,点A的坐标为(-2,1)或(-2,3)或(-2,9),相应△ABC的面积为2或2或10.
2
