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2019年广西北部湾经济区初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果温度上升2 ℃记作+2 ℃,那么温度下降3 ℃记作( )
A.+2 ℃B.-2 ℃ C.+3 ℃D.-3 ℃
2.如图,将下面的平面图形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是( )
3.下列事件为必然事件的是( )
A.打开电视机,正在播放新闻
B.任意画一个三角形,其内角和是180°
C.买一张电影票,座位号是奇数号
D.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
4.2019年6月6日,南宁市地铁3号线举行通车仪式,预计地铁3号线开通后日均客流量为700 000人次,其中数据700 000用科学记数法表示为( )
A.70×104 B.7×105C.7×106D.0.7×106
5.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为( )
A.60° B.65° C.75° D.85°
6.下列运算正确的是( )
A.(ab3)2=a2b6 B.2a+3b=5ab
C.5a2-3a2=2 D.(a+1)2=a2+1
7.如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
8.“学雷锋”活动月中,“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动,小晴和小霞从“图书馆,博物馆,科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一场馆的概率是( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 3 9 9
k
9.若点(-1,y ),(2,y ),(3,y )在反比例函数y= (k<0)的图象上,则y,y,y 的大小关系是( )
1 2 3 1 2 3
xA.y >y>y B.y >y>y C.y >y>y D.y >y>y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
10.扬帆中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为( )
3
A.(30-x)(20-x)= ×20×30
4
1
B.(30-2x)(20-x)= ×20×30
4
1
C.30x+2×20x= ×20×30
4
3
D.(30-2x)(20-x)= ×20×30
4
11.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan
35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)( )
A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米
CE
12.如图,AB为☉O的直径,BC、CD是☉O的切线,切点分别为点B、D,点E为线段OB上的一个动点,连接OD,CE,DE,已知AB=2√5,BC=2,当CE+DE的值最小时, 的值为( )
DE
9 2 √5 2√5
A. B. C. D.
10 3 3 5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.若二次根式√x+4有意义,则x的取值范围是 .
14.因式分解:3ax2-3ay2= .
15.甲,乙两人进行飞镖比赛,每人各投6次,甲的成绩(单位:环)为:9,8,9,6,10,6.甲,乙两人平均成绩相等,乙成绩的方差为4,那么成绩较为稳定的是 .(填“甲”或“乙”)
16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S =24,则AH= .
菱形ABCD
17.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题
意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为 寸.18.如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为 .
三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本题满分6分)
计算:(-1)2+(√6)2-(-9)+(-6)÷2.
20.(本题满分6分)
{
3x-5<x+1,
解不等式组: 并利用数轴确定不等式组的解集.
3x-4 2x-1
≤ ,
6 3
21.(本题满分8分)
如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△AB C ,请画出△AB C ;
1 1 1 1 1 1
(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△AB C ;
2 2 2
(3)请写出A、A 的坐标.
1 222.(本题满分8分)
红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛,试卷题目共10题,每题10分.现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩(单位:分),收集数据如下:
1班:90,70,80,80,80,80,80,90,80,100;
2班:70,80,80,80,60,90,90,90,100,90;
3班:90,60,70,80,80,80,80,90,100,100.
整理数据:
人数 分数
60 70 80 90 100
班级
1班 0 1 6 2 1
2班 1 1 3 a 1
3班 1 1 4 2 2
分析数据:
平均数 中位数 众数
1班 83 80 80
2班 83 c d
3班 b 80 80
根据以上信息回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;
(2)比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数,你认为哪个班的成绩比较好?请说明理由;
(3)为了让学生重视安全知识的学习,学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状,该校七年级新生共570人,试估计需要准备多少张奖状.
23.(本题满分8分)
如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB为☉O直径,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于点E,交☉O于点D,连接BD.
(1)求证:∠BAD=∠CBD;(2)若∠AEB=125°,求 的长(结果保留π).
BD
⏜
24.(本题满分10分)
某校喜迎中华人民共和国成立70周年,将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛,需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具.已知每袋贴纸有50张,每袋小红旗有20面,贴纸和小红旗需整袋购买,每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少
5元,用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同.
(1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元;
(2)如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张,小红旗1面.设购买国旗图案贴纸a袋(a为正整数),则购买小红旗多少袋能恰好配套?请用含a的代数式表示;
(3)在文具店累计购物超过800元后,超出800元的部分可享受8折优惠.学校按(2)中的配套方案购买,共支付w元,求w关于a的函数关系式.现全校有1 200名学生参加演出,需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋?所需总费用多少元?
25.(本题满分10分)
如图1,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F.
(1)求证:△ABF≌△BCE;
(2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG;
MN
(3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 的值.
NH26.(本题满分10分)
1
如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上,抛物线C 的顶点也在抛物线C 上,那么我们称抛物线C 与C 是“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C :y = x2+x与C :y =ax2+x+c是“互为关联”的抛物线,点A,B分别是抛物线C ,C 的顶点,抛物线C 经过
1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2
4
点D(6,-1).
(1)直接写出A,B的坐标和抛物线C 的解析式;
2
(2)抛物线C 上是否存在点E,使得△ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;
2
(3)如图2,点F(-6,3)在抛物线C 上,点M,N分别是抛物线C ,C 上的动点,且点M,N的横坐标相同,记△AFM的面积为S(当点M与点A,F重合时,S =0),△ABN的面积为S(当点N与点A,B重合时,S =0),令S=S +S ,观察图象,当y≤y 时,写出x的取值范围,
1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
并求出在此范围内S的最大值.
332019年广西北部湾经济区初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1.D 上升与下降是一对具有相反意义的量,∵温度上升2 ℃记为+2 ℃,∴温度下降3 ℃记作-3 ℃.审题时应明确“正”和“负”所表示的意义.
2.D 根据面动成体,所得几何体应是圆柱和圆锥的组合体,且上部是圆柱,下部是圆锥.
3.B 直接利用随机事件以及必然事件的定义分析即可得出答案.
A中的事件是随机事件;B中的事件是必然事件;C中的事件是随机事件;D中的事件是随机事件,故选B.
4.B 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10且n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a,小数点移动了多少位;n的绝对值与小数点移动的位数相同.
700 000用科学记数法表示为7×105,故选B.
5.C 一副三角板中各角的度数是60°,30°,90°;45°,45°,90°,由题图可知∠1+45°+60°=180°,所以∠1=75°,故选C.
6.A A.(ab3)2=a2b6,原式计算正确;B.2a与3b不是同类项,不能合并,原式计算错误;C.5a2-3a2=2a2,原式计算错误;D.(a+1)2=a2+2a+1,原式计算错误.故选A.
7.C 根据题图上的作图痕迹分析知,CF为线段AB的垂直平分线.
∵AC=BC,∠A=40°,
∴∠A=∠B=40°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°,
又∵AC=BC且CF垂直平分AB,
∴CF平分∠1ACB,
∴∠GCB= ∠ACB=50°,故选C. 3 1
2
8.A 根据题意画出树状图如图,共有9种等可能结果.两人恰好选择同一场馆的结果数为3,故两人恰好选择同一场馆的概率P= = .故选A.
9 3
k
9.C 反比例函数y= 中,k<0,则此函数图象位于第二、四象限.在每个象限内,y随x的增大而增大,且第二象限中函数值恒大于第四象限中函数值.
∵-1<0,0<2<3, x
∴点(2,y ),(3,y )位于第四象限,点(-1,y )位于第二象限,
2 3 1
∴y>y>y,故选C. 3 3
1 3 2
10.D 根据题意,除去种花区域,剩余的区域仍为矩形区域且其面积等于原矩形空地面积的 ,则可列方程为(30-2x)(20-x)= ×30×20.故选D.
4 4
11.
C 如图所示,过点O作OE⊥AC,延长BD交OE于点H,易知四边形ABHE为矩形,
∴AB=EH.
在Rt BOH中,OH=BH·tan 35°,
即OH=(3+DH)×0.7.
在Rt DOH中,∠ODH=65°,
△
OH=DH·tan 65°=2.1DH,
∴(3+DH)×0.7=2.1DH,
△
∴DH=1.5米,
∴OH=DH·tan 65°≈1.5×2.1≈3.2(米),
∴OE=OH+EH=3.2+1.5=4.7(米),故选C.
12.A 作C关于OB的对称点C',连接DC',EC',
∵OB垂直平分C'C,∴CE=C'E,
∵CE+DE=C'E+DE≥C'D,
∴C'、E、D三点共线时,DE+CE的值最小,最小值为C'D的长,
连接BD,OC交于M点,∵CB,CD是☉O的切线,∴CB=CD=2.在Rt ODC中,OC2=DO2+CD2=9,∴OC=3.OD·DC 2√5
易知DM为R4t √O5DC斜边上的高,∴DM= = ,
∴BD=2DM= . OC 3
△
过D作DD'⊥B 3 C,交BC的延长线于D',设CD'=x(x>0),
△
则DD'2=4-x2. 4√5
在Rt DBD'中,1D6'B×=25+x,DD2'=√4-x2,BD= ,
∴(2+x)2+4-x2= ,∴x= . 3
由作CE图 △ 知CO'BE∥DCD 9 '',B 29 9
∴ = = = 2= ,
DE DE BD' 2+ 10
故选A.
9
二、填空题
13. 答案 x≥-4
解析 由题意得x+4≥0,解得x≥-4.
14. 答案 3a(x+y)(x-y)
解析 3ax2-3ay2=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y).
15. 答案 甲 1 7
解析 甲的成绩的平均数为(9+8+9+6+10+6)÷6=8,甲的成绩的方差为s2 = ×[(9-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2]= .
∵s2 <s2 ,∴2成4绩较为稳定的是甲. 甲 6 3
甲 乙
16. 答案
解析 ∵四 5 边形ABCD是菱形,
∴BO=DO=4,AACO=×CBOD,∴BD=8,AC=2AO.
又S = 1 =24,
∴AC 菱 = 形 6 A , B 则 CD AO=C 2 O= AC=3.
在Rt BOC中,BC=√2 BO2+CO2=√42+32=5,
∵AH⊥BC,S =AH·BC=24,
菱形ABCD
即AH
△
·52=424,
∴AH= .
5
17. 答案 26
解析 设圆材截面圆的圆心为O,☉O的半径为r寸,如图所示,过O作OD⊥AB于D,连接AO,则AB=2AD.
在Rt ADO中,AD=5寸,OD=(r-1)寸,OA=r寸,
则r2=52+(r-1)2,解得r=13,
∴圆材的直径为26寸.
△
18. 答案 AB2=AC2+BD2
解析 过D作DF∥AB,取DF=AB,连接CF,AF,
∴四边形ABDF为平行四边形,∴∠ABD=∠AFD,AF=BD.
∵DF∥AB,∴∠CDF=∠COA=60°,
∵AB=CD,DF=AB,∴DF=CD,
∴△CDF为等边三角形,∴CF=FD=AB.
∵∠ABD=∠AFD,∠ACD+∠ABD=210°,
∴∠ACF+∠AFC=∠ACD-∠FCD+∠AFD-∠CFD=∠ACD+∠ABD-∠FCD-∠CFD=210°-60°-60°=90°,
∴∠CAF=90°,∴△CAF为直角三角形,
∴CF2=AC2+AF2,即AB2=AC2+BD2.
三、解答题
19. 解析 原式=1+6+9-3=13.{ 2x<6, { x<3,
20. 解析 原不等式组化简为 ⇒
3x-4≤4x-2 x≥-2,
∴不等式组的解集为-2≤x<3.
21. 解析 (1)如图( AB C 即为所求).(3分)
1 1 1
(2)如图( AB C 即为所求).(6分)
2 2 2
(3)A (2,3);A (-2,-1).(8分)
1 2 △
△
22. 解析 (1)a=4;b=83;c=85;d=90.(2分)
(2)从平均数上看,三个班平均分都一样;从中位数上看,1班和3班一样,都是80,2班最高,是85;从众数上看,1班和3班都是80,2班最高,是90.(4分)
综上所述4,2班成绩比较好.(5分)
(3)570× =76(张).
30
答:预估学校需要准备76张奖状.(8分)
23. 解析 (1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,(1分)
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠CBD.(3分)
(2)如图,连接OD.
∵∠AEB=125°,∴∠AEC=55°.
∵AB是直径,∴∠ACE=90°,(4分)
∴∠CAE=35°,∴∠DAB=35°,(5分)
则BD所对圆心70角π∠×D3OB7=70°,(6分)
∴⏜BD的长为 = π.(8分)
180 6
⏜ 150 200
24. 解析 (1)设每袋国旗图案贴纸为x元,则有 = ,(1分)
x x+5
解得x=15,(2分)
经检验,当x=15时,分母不为0,所以x=15是原方程的解,(3分)
则每袋小红旗的价格为15+5=20(元).
答:每袋国旗图案贴纸的价格为15元,每袋小红旗的价格为20元.(4分)
(2)设购买5 b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套,则有50a∶20b=2∶1,(5分)
解得b= a.
45
答:购买小红旗 a袋能恰好配套5.(6分)
4
(3)如果没有折扣,则w=15a+20× a=40a,
4
依题意得,40a≤800,解得a≤20.
当a>2{0时40,wa=,8000<+a0≤.82(400,a-800)=32a+160.
故w= (8分)
32a+160,a>20.
国旗图案贴纸需1 200×2=2 400(张),
小红旗2需 410 0200×1=1 5200(面),
则a= =48,b= a=60,(9分)
50 4
w=32×48+160=1 696.
答:需要购买国旗图案贴纸48袋,小红旗60袋,所需总费用为1 696元.(10分)
25. 解析 (1)证明:∵BF⊥CE,∴∠CGB=90°,
∴∠GCB+∠CBG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBE=90°=∠A,BC=AB,
∴∠FBA+∠CBG=90°,∴∠GCB=∠FBA,
∴△ABF≌△BCE(ASA).(2分)
(2)证明:过点D作DQ⊥CE于点Q,设CD=BC=AB=2a,
∵E为AB的中点,∴E1A=EB=a,∴1CE=√CB2+BE2=√5a.
在
∴B
R
G
t
=
C2E√B5中
a,则
,S
C BC G E
=
= 2√
·
C
BG
B
·
2
C
-
E
B
=
G 2
·
2
C
=
B4·√E5B
a
,
.(3分)
∵∠DCE 5 +∠BC△E=90°,∠CBF+∠BCE= 5 90°,
△
∴∠DCE=∠CBF,又∵∠CQD=∠CGB=90°,CD=BC,
∴△CQD≌△2B√G5C(AAS),(4分) 2√5
∴CQ=BG= a,则GQ=CG-CQ= a=CQ,(5分)
又∵DQ⊥CG 5 , 5
∴CD=GD.(6分)
4√51 4√5 1
(3)由(2)C及G已·知D得QS = a·C×G·DQ=a·C8H·DG,
∴CH= = CDG 5 2 5 2 = a.(7分6)
在Rt CHD D 中 G ,CD=△2a,∴DH=√CD2-C 5 H2= a.
∵∠MDH+∠HDC=90°,∠H 2 C a D+∠HDC=90°,∴5∠MDH=∠HCD,
又∠CHD=∠DHM=90D°,H CH
△
∴ ∴ △ D C H H 2= D C9 ∽ H· △ H D M H ,即 M ( ,∴6 aH)M 2 = =8 D a · H HM , ,
∴HM= a.(8分) 4 5 √5 5 4
在Rt C 1 H 0 G中,CG= a,GH=√CG2-CH2= a,
∵∠NGH+∠CGH=905°,∠HCG+∠CGH=90°,∴∠5 NGH=∠HCG,
4 4
又∵∠
△
GHN=∠GaH·C=H90Na°, HG
1
∴△NGHH∽G△2 G5CH,∴5 =2 , a
∴HN= = 9 H 2 G =1 C a H ,(9M分N) 2 5
∴MN=HCMH-HN=
10
8 a
a
-
5
a=
{2
5 a,∴
N1H
=
2
=
4
.(10分)
26{. 4解a析- 2+(1c)由=-C151 ,的顶点在a=C-
2
上,C,
2
的顶a点在C
1
上,以及C
1
的解析式易得A(-2,-1),C
2
过A,D两点,
则 1 解得 4 5
36a+6+c=-1,
∴y
2
=-
4
x2+x+2,∴B(2,3).(2分
c
)=2,
( ① 2) 若 存 { 在 B为 .由 直 y (1= 角 )-得 顶 x直+ 点 线5 ,则 ,AB BE 的 ⊥ 解 A 析 {Bx, 式 k=
BE
为 2·k,
A
y
B
= = x -{ + 1 1 ,x得 . =k6
B
,
E
=-1,则BE的解析式为y=-x+5,
联 ② 立 若 { A y 为 =y- 直 = 4 1 角 -x 顶 x2+- 点 3x ,则 +,2 A , E 解 ⊥ 得 A{Bx y ,k= = AE - 3 ·k2 , A 或 , B =-1 y {,得 = x - k= 1 A 1 E , =0 此 -,1, 时 则 E A ( E 6, 的 -1) 解 .(3 析 分 式 ) 为y=-x-3,
联立 y=- 1 x2+x+2, 解得 y=-1, 或 y=-13,
此 ③ 时 若1 E E ( 为 10 直 ,-1 4 角 3) 顶 .(4 点 分 ,设 ) 1 E ( m,- 1 m2+m+2 ) (m≠±2),
由-BE⊥mA2+Em得-k1 ·-k =m-12,+m+4 3
BE AE
即 4 · 4 =-1,无解,(5分)
∴存在点 m- E 2 满足题中条 m 件+ ,点 2 E的坐标为(10,-13)或(6,-1).(6分)
(3)∵y≤y,∴观察图象结合(1)可得x的取值范围为-2≤x≤2.(7分)
1 2
如
设
图
M
,
(
作
t,
出1直
t
线
2+
M
t )
N
,N
,连
( t
接
,-
A1M
t
,
2
A
+
F
t
,F
+
M
2 )
,A
,且
N,
-
A
2≤
B,
t
B
≤
N
2,
.
4 4
易求AF的解析式为y=-x-3,
过
由
M
y1=
作
y
x
,得
轴
Q
的
(
平
-
行1
1t
线
2-
M
t
Q
-3
交
,
A1F
t2
于
+t
Q
)
,
,
S= Q |QM M |·|y -y |= 4 t2+4t+6,(8 4 分)
1 2 A F 2
设A1B交MN于P,易1知P点坐标为(t,t+1),
S= |PN|·|x -x |=2- t2,(9分)
2 2 A B 2
S=S +S =4t+8.
1 2
∵-2≤t≤2,∴当t=2时,S取最大值,S =16.(10分)
max
