二○一三年福州市初中毕业会考、高级中等学校
招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)
1.2的倒数是( )
1 1
A. B.2 C.- D.-2
2 2
2.如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
3.2012年12月13日,嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空.7 000 000用科学记数
法表示为( )
A.7×105 B.7×106 C.70×106 D.7×107
4.下列立体图形中,俯视图是正方形的是( )
5.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A.x2+3=0 B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x-1)=0
6.不等式1+x<0的解集在数轴上表示正确的是( )
7.下列运算正确的是( )
A.a·a2=a3 B.(a2)3=a5 C.(a) 2=a2 D.a3÷a3=a
b b
8.如图,已知△ABC,以点B为圆心,AC长为半径画弧;以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交
于点D,且点A、点D在BC异侧,连结AD,量一量线段AD的长,约为( )A.2.5 cm B.3.0 cm C.3.5 cm D.4.0 cm
9.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球,如果取到
白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是( )
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
10.A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,y),下列
结论正确的是( )
A.a>0 B.a<0 C.b=0 D.ab<0
第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分)
2 1
11.计算: - = .
a a
12.矩形的外角和等于 度.
13.某校女子排球队队员的年龄分布如下表:
年龄 13 14 15
人数 4 7 4
则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁.
14.已知实数a、b满足:a+b=2,a-b=5.则(a+b)3·(a-b)3的值是 .
15.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已知每
个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是 .
三、解答题(满分90分.作图或添辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)
16.(每小题7分,共14分)
(1)计算:(-1)0+|-4|-√12;
(2)化简:(a+3)2+a(4-a).
17.(每小题8分,共16分)
(1)如图,AB平分∠CAD,AC=AD.
求证BC=BD.(2)列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.
这个班有多少学生?
18.(10分)为了解某校学生的身高情况,随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的
样本中,男生、女生人数相同,利用所得数据绘制如下统计图表:
身高情况分组表(单位:cm)
组别 身高
A x<155
B 155≤x<160
C 160≤x<165
D 165≤x<170
E x≥170
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)样本中,男生身高的众数在 组,中位数在 组;
(2)样本中,女生身高在E组的人数有 人;
(3)已知该校共有男生400人、女生380人,请估计身高在160≤x<170之间的学生约有多少人.19.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),等边三角形AOC经过平移或
轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;
△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角可以是 度;
(2)连结AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
20.(12分)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且
ME=1,AM=2,AE=√3.
(1)求证BC是☉O的切线;
(2)求 ⏜ 的长.
BN
1
21.(12分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC边上一点,△PAD的面积为 ,设
2
AB=x,AD=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若∠APD=45°,当y=1时,求PB·PC的值;
(3)若∠APD=90°,求y的最小值.
22.(14分)我们知道,经过原点的抛物线解析式可以是y=ax2+bx(a≠0).(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a= ;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是 ;
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A,A ,…,A 在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(n为正整
1 2 n
数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B ,B ,…,B ,以线段AB 为边向右作正方
1 2 n n n
形AB C D.若这组抛物线中有一条经过点D,求所有满足条件的正方形边长.
n n n n n
答案全解全析：
1 1
1.A ∵a的倒数是 (a≠0),∴2的倒数是 ,故选A.
a 2
2.C ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠2=90°-40°=50°.故选C.
3.B 7 000 000=7×106.故选B.
4.D 正方体的俯视图是正方形,故选D.
5.C ∵(x+1)2=0,∴两根为x=x=-1.故选C.
1 2
6.A 1+x<0的解集是x<-1,在数轴上表示正确的只有A项.故选A.
7.A ∵a·a2=a1+2=a3,故选A.
8.B 正确尺规作图,度量可得AD约为3.0 cm,故选B.
9.D ∵取到白球可能性较大,∴白球的数目一定大于4,故选D.
10.B ∵由图象可知x+a<x,∴a<0.故选B.
评析 本题考查一次函数的增减性和解简单的不等式,属中等难度题.建立不等式x+a<x是
解题的关键.
1
11.答案
a
2 1 1
解析 - = .
a a a12.答案 360
解析 ∵n边形的外角和均为360°,∴矩形的外角和是360°.
13.答案 14
解析 平均年龄是(4×13+7×14+4×15)÷(4+7+4)=14(岁).
14.答案 1 000
解析 原式=[(a+b)(a-b)]3=(2×5)3=1 000.
15.答案 2√3
解析 如图所示,连结CD,则CD过顶点E.
△DFE是等腰三角形,且∠F=∠BDF=120°,
∴∠FDE=30°,
∴∠BCD=90°,∵DE=√3,
∴CD=2√3.
1
连结OM、ON可得等边三角形,∴AB=2,∴S = ×2×2√3=2√3.
△ABC
2
评析 此题考查正六边形转化成三角形解决问题的能力.三角形ABC的面积计算方法多样,
以上只是其中一种方法.
16.解析 (1)原式=1+4-2√3
=5-2√3.
(2)原式=a2+6a+9+4a-a2
=10a+9.
评析 此题考查实数的运算和整式的混合运算,涉及的知识有:完全平方公式,去括号法则以
及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解决本题的关键.
17.解析 (1)证明:∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB,
{
AC=AD,
在△ABC和△ABD中, ∠CAB=∠DAB,
AB=AB,
∴△ABC≌△ABD(SAS),∴BC=BD.
(2)设这个班有x名学生,依题意得
3x+20=4x-25,解得x=45.
答:这个班有45名学生.
18.解析 (1)B;C.
(2)2.
10+8
(3)400× +380×(25%+15%)=332(人).
40
答:估计该校身高在160≤x<170之间的学生约有332人.
评析 本题考查读频数分布直方图的能力和从统计图中获取信息的能力;利用统计图获取信
息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能做出正确的判断.
19.解析 (1)2;y轴;120.
(2)依题意,连结AD交OC于点E,
如图,由旋转得OA=OD,∠AOD=120°.∵△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=60°,
∴∠COD=∠AOC,又OA=OD,∴OC⊥AD,
∴∠AEO=90°.
20.解析 (1)证明:∵ME=1,AE=√3,AM=2,
∴ME2+AE2=AM2,∴∠AEM=90°.
∵MN∥BC,∴∠ABC=∠AEM=90°,
即OB⊥BC,∴BC是☉O的切线.
(2)连结ON,
ME 1
在Rt△AME中,sin A= = ,
AM 2
∴∠A=30°.
∵AB⊥MN,∴ ⏜ = ⏜ ,EN=EM=1,
BN BM
∴∠BON=2∠A=60°.
EN
在Rt△ONE中,sin∠EON= ,
ON
EN 2√3
∴ON= = .
sin∠EON 3
⏜ 60π 2√3 2√3
∴ 的长= × = π.
BN
180 3 9
21.解析 (1)如图1,过点A作AE⊥BC于点E,
图1
在Rt△ABE中,∠B=45°,AB=x,
√2
∴AE=AB·sin B= x,
2
1 1
∵S = AD·AE= ,
△APD
2 21 √2 1
∴ ·y· x= ,
2 2 2
√2
∴y= .
x
(2)∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,
又∠APD=∠B=45°,∴∠BAP=∠CPD.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠B=∠C,AB=DC,
∴△ABP∽△PCD,
AB PB
∴ = ,
PC DC
∴PB·PC=AB·DC,
∴PB·PC=AB2,
当y=1时,x=√2,即AB=√2,
∴PB·PC=(√2)2=2.
(3)如图2,取AD的中点F,连结PF,
过点P作PH⊥AD于点H,
图2
∴PF≥PH,
当PF=PH时,PF有最小值.
又∵∠APD=90°,
1 1
∴PF= AD= y,
2 2
1
∴当PF取最小值,即y取最小值时,PH= y.
21 1
∵S = ·AD·PH= ,
△APD
2 2
1 1 1
∴ ·y· y= ,y2=2,
2 2 2
∵y>0,∴y=√2,即y的最小值为√2.
评析 此题涉及的知识有:等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的
中线的性质以及三角形的面积求法,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解第(2)问的关键.
1
22.解析 (1)-1;a=- (或am+1=0).
m
(2)∵a≠0,
∴y=ax2+bx=a( b ) 2- b2 ,
x+
2a 4a
∴顶点坐标为( b b2 ),
- ,-
2a 4a
∵顶点在直线y=kx上,
∴k( b )=- b2 ,
-
2a 4a
∵b≠0,∴b=2k.
(3)∵顶点A 在直线y=x上,
n
∴可设A 的坐标为(n,n),点D 所在的抛物线顶点坐标为(t,t),
n n
1
由(1)(2)可得,点D 所在的抛物线解析式为y=- x2+2x,
n
t
∵四边形ABCD 是正方形,
n n n n
∴点D 的坐标为(2n,n),
n
1
∴- (2n)2+2×2n=n,
t
∴4n=3t,∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,
∴n=3,6或9,
∴满足条件的正方形边长为3,6或9.
评析 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函
数的顶点坐标公式以及正方形的性质.解答第(3)问时,要注意n的取值范围.
