8
2020年福建省初中学业水平考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1
1.- 的相反数是 ( )
5
1 1
A.5 B. C.- D.-5
5 5
2.如图所示的六角螺母,其俯视图是 ( )
3.如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF的面积是( )
1
A.1 B.
2
1 1
C. D.
3 4
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
5.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )
A.10 B.5
C.4 D.3
6.如图,数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m-n的结果可能是 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
7.下列运算正确的是 ( )
A.3a2-a2=3 B.(a+b)2=a2+b2
C.(-3ab2)2=-6a2b4 D.a·a-1=1(a≠0)8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰
好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
6 210 6 210
A.3(x-1)= B. =3
x x-1
6 210 6 210
C.3x-1= D. =3
x x
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为BD的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于 ( )
⏜
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.已知P(x,y),P(x,y)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是 ( )
1 1 1 2 2 2
A.若|x-1|>|x-1|,则y>y
1 2 1 2
B.若|x-1|>|x-1|,则y<y
1 2 1 2
C.若|x-1|=|x-1|,则y=y
1 2 1 2
D.若y=y,则x=x
1 2 1 2
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)
11.计算:|-8|= .
12.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课,则甲被选到的概率为 .
13.一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为 .(结果保留π)
14.2020年5月14日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录,最大下潜深度达10 907米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准,记为0米,高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某
地的高度记为+100米,根据题意,“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处,该处的高度可记为 米.
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于 度.
k
16.设A,B,C,D是反比例函数y= 图象上的任意四点,现有以下结论:
x
①四边形ABCD可以是平行四边形;
②四边形ABCD可以是菱形;
③四边形ABCD不可能是矩形;
④四边形ABCD不可能是正方形.
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三、解答题(本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
{2x≤6-x, ①
17.(本小题满分8分)解不等式组:
3x+1>2(x-1).②18.(本小题满分8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.
( 1 ) x2-1
19.(本小题满分8分)先化简,再求值: 1- ÷ ,其中x=√2+1.
x+2 x+2
20.(本小题满分8分)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨,且甲特产的销售量都不
超过20吨.
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨?
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
1
21.(本小题满分8分)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是 上不与B,D重合的点,sin A= .
BCD
2
⏜
(1)求∠BED的大小;
(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3√3,求证:DF与☉O相切.22.(本小题满分10分)为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署,某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶,截至2019年年底,按照农民人均年纯收入3 218元的脱贫标准,该地区只剩少量家庭
尚未脱贫.现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户,统计其2019年的家庭人均年纯收入,得到如下图所示的条形图.
(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1 000户,试估计其中家庭人均年纯收入低于2 000元(不含2 000元)的户数;
(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值;
(3)2020年年初,由于新冠疫情,农民收入受到严重影响,上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示.为确保当地农民在2020年全面脱贫,当地政府积极筹集资金,引进某科研机构的扶贫专项项目.据预测,随着该项目的
实施,当地农民自2020年6月开始,以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元.
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4 000元,试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫.23.(本小题满分10分)如图,C为线段AB外一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,N,求证:M,P,N三点在同一条直线上.
24.(本小题满分12分)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数;
(2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.
①判断DF和PF的数量关系,并证明;
EP PC
②求证: = .
PF CF
25.(本小题满分14分)已知直线l:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P(x,y),P(x,y),当x>x≥5时,总有y>y.
1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线l:y=mx+n(n≠10),求证:当m=-2时,l∥l;
2 2 1
(3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求△ABE与△CEF面积之和的最小值.
38
2020年福建省初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C B C D A A C
1 1
1.B 根据相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,知- 的相反数是 .故选B.
5 5
2.B 俯视图的观察方向是从上往下,看到的是一个正六边形,中间有一个圆形,故选B.
1 1 1
3.D 由中位线的定义及性质可得DF= BC,DF∥BC,所以DF=BE,∠EDF=∠DEB.又DE=DE,所以△DEF≌△EDB;同理,可证△DEF≌△CFE,△DEF≌△FAD.所以四个三角形互相全等.所以S = S = .故选D.
2
△DEF
4
△ABC
4
4.C A.等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;
B.平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形;
C.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
D.扇形是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.
5.B 根据等腰三角形“三线合一”可得AD是BC的中线,所以CD=BD=5.故选B.
6.C 由题图可知-2<n<-1,0<m<1,所以1<m-n<3.故选C.
7.D A.3a2-a2=2a2,故A错误;
B.(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;
C.(-3ab2)2=9a2b4,故C错误;
1
D.a·a-1=a· =1,故D正确.故选D.
a
6 210
8.A 根据题意可列出方程 =3(x-1).故选A.
x
9.A
连接OA,OB,OC,
∵AB=CD,A为 的中点,
BD
⏜
∴ = = .
AB CD AD
⏜ ⏜ ⏜
∵∠BDC=60°,∴∠BOC=2×60°=120°,
∴∠AOB=(360°-120°)÷3=80°.
∴∠ADB=40°.
10.C 由二次函数y=ax2-2ax可知函数图象过(0,0)点,对称轴为直线x=1,因为a的值不确定,所以需分类讨论.
当a>0时,如图所示:
若|x-1|>|x-1|,则x 到1的距离大于x 到1的距离.
1 2 1 2
由图知y>y,
1 2
若|x-1|<|x-1|,则x 到1的距离小于x 到1的距离.
1 2 1 2
由图知y<y.
1 2当a<0时,如图所示:
若|x-1|>|x-1|,则x 到1的距离大于x 到1的距离.
1 2 1 2
由图知y<y,
1 2
若|x-1|<|x-1|,则x 到1的距离小于x 到1的距离.
1 2 1 2
由图知y>y.
1 2
综上所述,A、B不正确.由图可知,D不正确.若|x-1|=|x-1|,则x,x 到1的距离相等,所以y=y,故选C.
1 2 1 2 1 2
二、填空题
11. 答案 8
解析 由绝对值的定义可知|-8|=8.
1
12. 答案
3
1
解析 由随机事件概率公式:P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能出现的结果数,可得答案为 .
3
13. 答案 4π
nπR2 90π·42
解析 由扇形的面积公式得S= = =4π.
360 360
14. 答案 -10 907
解析 由正、负数可以代表具有相反意义的量,可知高于海平面记为“+”,低于海平面记为“-”,故答案为-10 907.
15. 答案 30
(6-2)×180°
解析 六边形花环由六个全等的直角三角形构成,故为正六边形,所以每个内角为 =120°.
6
所以∠ABC=120°-90°=30°.
16. 答案 ①④
k
解析 由反比例函数y= (k≠0)的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,可知四边形ABCD的对角线可以互相平分,但不垂直.故正确的结论是①④.
x
三、解答题
17. 解析 本小题考查一元一次不等式组的解法,考查运算能力.
由①得2x+x≤6,3x≤6,x≤2.
由②得3x+1>2x-2,
3x-2x>-2-1,x>-3.
所以原不等式组的解集是-3<x≤2.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
18. 证明 本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=AD.
{
AB=AD,
在△ABE和△ADF中, ∠B=∠D,
BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
19. 解析 本小题考查分式的混合运算、因式分解、二次根式的运算等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化思想.
原式=(x+2 1 )· x+2
-
x+2 x+2 x2-1
x+2-1 x+2 x+1 x+2 1
= · = · = .
x+2 (x-1)(x+1) x+2 (x-1)(x+1) x-1
1 1 √2
当x=√2+1时,原式= = = .
√2+1-1 √2 2
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
20. 解析 本小题考查一元一次方程、一次函数的性质等基础知识,考查运算能力、应用意识,考查函数与方程思想.
(1)设这个月该公司销售甲特产x吨,则销售乙特产(100-x)吨.依题意,得10x+(100-x)=235,
解得x=15,则100-x=85.
经检验x=15符合题意.
所以,这个月该公司销售甲特产15吨,乙特产85吨.
(2)设一个月销售甲特产m吨,公司获得的总利润为w万元,
则销售乙特产(100-m)吨,且0≤m≤20.
w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m)=0.3m+20.
因为0.3>0,
所以w随着m的增大而增大.
又因为0≤m≤20,
所以当m=20时,公司获得的总利润最大,为26万元.
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
21. 解析 本小题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
(1)连接OB,∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.
1
∵sin A= ,∴∠A=30°,
2
∴∠AOB=60°,则∠BOD=120°.
1
∵点E在 上,∴∠BED= ∠BOD=60°.
BCD
2
⏜
(2)证明:连接OF,由(1)得OB⊥AB,∠BOD=120°,
BF
∵OB=3,BF=3√3,∴tan∠BOF= =√3,
OB
∴∠BOF=60°,∴∠DOF=60°.
{
OB=OD,
在△BOF与△DOF中, ∠BOF=∠DOF,
OF=OF,
∴△BOF≌△DOF.∴∠ODF=∠OBF=90°.
又点D在☉O上,故DF与☉O相切.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
22. 解析 本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识,考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识,考查统计与概率思想.
6
(1)依题意,可估计该地区尚未脱贫的1 000户家庭中,家庭人均年纯收入低于2 000元的户数为1 000× =120.
50
1
(2)依题意,可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为 ×(1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5)=2.4(千元).
50
(3)依题意,2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下:
月份 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入(元) 500 300 150 200 300 450
月份 7 8 9 10 11 12
人均月纯收入(元) 620 790 960 1 130 1 300 1 470
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于500+300+150+200+300+450+620+790+960+1 130+1 300+1 470=8 170元>4 000元.
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
23. 解析 本小题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.
(1)如图,四边形ABCD就是所求作的四边形.(2)证明:∵AB∥CD,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,
AB AP
∴△ABP∽△CDP,∴ = .
CD CP
∵M,N分别为AB,CD的中点,
AM AP
∴AB=2AM,CD=2CN,∴ = .
CN CP
连接MP,NP,又∵∠BAP=∠DCP,∴△APM∽△CPN,
∴∠APM=∠CPN,
∵点P在AC上,∴∠APM+∠CPM=180°,
∴∠CPN+∠CPM=180°,
∴M,P,N三点在同一条直线上.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
24. 解析 本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想.
(1)由旋转的性质可知,AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,
在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,
∴∠ADE=∠B=45°,∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.
(2)①DF=PF.
证明:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°,
在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°,
∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,
∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,
即∠FPD=∠FDP,∴DF=PF.
②证明:过点P作PH∥ED交DF于点H,
EP DH
∴∠HPF=∠DEP, = ,
PF HF
∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,
∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,
∴∠DEP=∠DAC,又∵∠CDF=∠DAC,
∴∠DEP=∠CDF,∴∠HPF=∠CDF,
又∵FD=FP,∠F=∠F,∴△HPF≌△CDF,
∴HF=CF,∴DH=PC,
EP DH EP PC
又∵ = ,∴ = .
PF HF PF CF
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
25. 解析 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想.
(1)对于l:y=-2x+10,
1
当x=0时,y=10,所以A(0,10);
当y=0时,-2x+10=0,x=5,所以B(5,0).
又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0),
若抛物线过C(9,0),则当5<x<7时,y随x的增大而减小,不符合题意,舍去.
若抛物线过C(1,0),则当x>3时,必有y随x的增大而增大,符合题意.
故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a≠0),
依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点,{25a+5b+10=0, { a=2,
所以 解得
a+b+10=0, b=-12.
所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10.
(2)证明:当m=-2时,直线l:y=-2x+n(n≠10)与直线l:y=-2x+10不重合,
2 1
假设l 和l 不平行,则l 和l 必相交,设交点为P(x,y),
1 2 1 2 0 0
由{y
0
=-2x
0
+10,
得-2x 0 +10=-2x 0 +n,
y =-2x +n
0 0
解得n=10,与已知n≠10矛盾,所以l 与l 不相交,
1 2
所以l∥l.
2 1
(3)如图,因为直线l:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2,
3
又因为直线l:y=-2x+10,
1
所以l∥l,即CF∥AB,
3 1
所以∠FCE=∠ABE,∠CFE=∠BAE,
所以△FCE∽△ABE,所以 S
△FCE
=(CE) 2,
S BE
△ABE
设BE=t(0<t<4),则CE=4-t,
1 1
S = BE·OA= ×t×10=5t,
△ABE
2 2
所以S =(CE) 2 ×S =(4-t)2 ×5t=5(4-t)2,
△FCE △ABE
BE t2 t
所以S +S =5t+5(4-t)2 =10t+80-40=10( 2√2) 2 +40 -40.所以当t=2 时,S +S 取最小值,且最小值为40 -40.
△ABE △FCE √t- √2 √2 △ABE △FCE √2
t t √t
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
