2
2020年天津市初中毕业生学业考试试卷
(满分:120分 考试时间:100分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算30+(-20)的结果等于 ( )
A.10 B.-10 C.50 D.-50
2.2sin 45°的值等于 ( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
3.据2020年6月24日《天津日报》报道,6月23日下午,第四届世界智能大会在天津开幕.本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现,40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58 600 000人.将58 600 000用科学记
数法表示应为 ( )
A.0.586×108 B.5.86×107
C.58.6×106 D.586×105
4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( )
5.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是 ( )
6.估计√22的值在 ( )
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
{2x+ y=4,
7.方程组 的解是 ( )
x- y=-1
{x=1 {x=-3 {x=2 { x=3
A. B. C. D.
y=2 y=-2 y=0 y=-1
8.如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是 ( )
A.(6,3) B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)
x 1
9.计算 + 的结果是 ( )
(x+1)2 (x+1)2
1 1
A. B. C.1 D.x+1
x+1 (x+1)210
10.若点A(x,-5),B(x,2),C(x,5)都在反比例函数y= 的图象上,则x,x,x 的大小关系是 ( )
1 2 3 x 1 2 3
A.x<x<x B.x<x<x C.x<x<x D.x<x<x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 1 2
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AC=DE B.BC=EF C.∠AEF=∠D D.AB⊥DF
1
12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x= .有下列结论:
2
①abc>0;
②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;
1
③a<- .
2
其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷 非选择题(共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.计算x+7x-5x的结果等于 .
14.计算( +1)( -1)的结果等于 .
√7 √7
15.不透明袋子中装有8个球,其中有3个红球、5个黑球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 .
16.将直线y=-2x向上平移1个单位长度,平移后直线的解析式为 .
17.如图, ▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 .
5
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A,C均落在格点上,点B在网格线上,且AB= .
3
(Ⅰ)线段AC的长等于 ;
(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D,若P,Q分别为边AC,BC上的动点,当BP+PQ取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(本小题8分)
{3x≤2x+1,①
解不等式组
2x+5≥-1.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.(本小题8分)
农科院为了解某种小麦的长势,从中随机抽取了部分麦苗,对苗高(单位:cm)进行了测量.根据统计的结果,绘制出如下的统计图①和图②.
图①
图②
请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次抽取的麦苗的株数为 ,图①中m的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数.
21.(本小题10分)
在☉O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.
(Ⅰ)如图①,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小;
(Ⅱ)如图②,若CD⊥AB,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.22.(本小题10分)
如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221 m,∠ACB=45°,∠ABC=58°.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数).
参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60.
23.(本小题10分)
在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍0.7 km,图书馆离宿舍1 km.周末,小亮从宿舍出发,匀速走了7 min到食堂;在食堂停留16 min吃早餐后,匀速走了5 min到图书馆;在图书馆停留30 min借书后,匀速走了10
min返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离y km与离开宿舍的时间x min之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)填表:
离开宿舍的时间/min 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/km 0.2 0.7
(Ⅱ)填空:
①食堂到图书馆的距离为 km;
②小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min;
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min;
④当小亮离宿舍的距离为0.6 km时,他离开宿舍的时间为 min.
(Ⅲ)当0≤x≤28时,请直接写出y关于x的函数解析式.24.(本小题10分)
将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(2,0),点B在第一象限,∠OAB=90°,∠B=30°,点P在边OB上(点P不与点O,B重合).
(Ⅰ)如图①,当OP=1时,求点P的坐标;
(Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且OQ=OP,点O的对应点为O',设OP=t.
①如图②,若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形,O'P,O'Q分别与边AB相交于点C,D,试用含有t的式子表示O'D的长,并直接写出t的取值范围;
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S,当1≤t≤3时,求S的取值范围(直接写出结果即可).
25.(本小题10分)
已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m(a,b,m为常数,a≠0,m<0)与x轴的一个交点.
(Ⅰ)当a=1,m=-3时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0),与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l上的动点,F是y轴上的动点,EF=2√2.
①当点E落在抛物线上(不与点C重合),且AE=EF时,求点F的坐标;
√2
②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是 ?
2
2
2020年天津市初中毕业生学业考试试卷一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B B C D B A D A C D C
1.A 异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.30+(-20)=30-20=10.故选A.
√2
2.B 2sin 45°=2× =√2,故选B.
2
3.B 将一个数字表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法.58 600 000=5.86×107,故选B.
4.C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.由定义可知,“中”可以看作轴对称图形,故选C.
5.D 主视图是从物体的正面看到的视图.从正面看第一层有2个小正方形,第二、三层右侧均有1个小正方形,故选D.
6.B ∵16<22<25,∴√16<√22<√25,即4<√22<5,∴√22的值在4和5之间,故选B.
{2x+ y=4,①
7.A
x- y=-1,②
①+②得3x=3,
系数化为1,得x=1,
将x=1代入②,得y=2,
{x=1,
故方程组的解为 故选A.
y=2,
8.D ∵O(0,0),D(0,6),∴OD=6.∵四边形OBCD是正方形,∴BC=CD=OD=6,CD⊥OD,CB⊥OB,∴点C的坐标是(6,6),故选D.
x+1 1
9.A 原式= = .故选A.
(x+1)2 x+1
10 10 10 10
10.C ∵点A(x,-5),B(x,2),C(x,5)在反比例函数y= 的图象上,∴x= =-2,x= =5,x= =2,又∵-2<2<5,∴x<x<x,故选C.
1 2 3 x 1 -5 2 2 3 5 1 3 2
11.D 由旋转的性质得∠ACD=∠ACB=90°,∠A=∠D,AC=DC,BC=CE,故A,B,C中结论不正确.Rt△ABC中,∠A+∠B=90°,又∵∠A=∠D,∴∠B+∠D=90°,∴△BDF为直角三角形,∠BFD=90°,∴AB⊥DF,故选D.
1 b 1
12.C 抛物线的对称轴是直线x= ,即- = ,
2 2a 2
b
∴- =1,∴a+b=0,ab<0.
a
①∵ab<0,c>1,∴abc<0,①错误;
②抛物线经过点(2,0),将(2,0)代入得4a+2b+c=0,又∵a+b=0,∴2a+c=0,即c=-2a,方程ax2+bx+c=a可化为ax2+bx+c-a=0,Δ=b2-4a(c-a)=b2-4ac+4a2=a2+8a2+4a2=13a2,∵a≠0,∴Δ=13a2>0,
∴方程有两个不等的实数根,②正确;
1
③∵c>1,∴c=-2a>1,∴a<- ,③正确.
2
故正确结论的个数是2.故选C.
二、填空题
13. 答案 3x
解析 原式=(1+7-5)x=3x.
14. 答案 6
解析 原式=(√7)2-12=7-1=6.
3
15. 答案
8
3
解析 ∵袋子中共有8个球,其中红球有3个,∴从袋子中随机取出1个球,它是红球的概率是 .
8
16. 答案 y=-2x+1
解析 由“上加下减”的原则可知,将直线y=-2x向上平移1个单位长度所得直线的解析式为y=-2x+1.
3
17. 答案
2
解析 延长CG交AE于H,过C作CM⊥BE于M,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC=AD=3,AB=CD=2,∴∠1=∠2,
∵G为DE的中点,
∴DG=EG,
{∠1=∠2,
在△DCG和△EHG中,∵ DG=EG,
∠3=∠4,
∴△DCG≌△EHG(ASA),
∴CG=HG,HE=CD=2,
1
∴CG= CH,
2
∵△BEF为等边三角形,
∴BE=BF=BC+CF=3+2=5,∠FBE=60°,
∵HE=CF=2,∴BH=BC,∴△BCH为等边三角形,∴CH=BC=3.
1 1 3
∴CG= CH= ×3= .
2 2 2
18. 答案 (Ⅰ)√13;(Ⅱ)如图,取格点M,N,连接MN,连接BD并延长,与MN相交于点B';连接B'C,与半圆相交于点E,连接BE,与AC相交于点P,连接B'P并延长,与BC相交于点Q,则点P,Q即为所求.
解析 (Ⅰ)由勾股定理得,AC= = .
√22+32 √13
(Ⅱ)理由:连接AM、CN,利用网格补形的方法可求得S =5,
▱ACNM
设AC与MN的距离为h,
5 5√13
∴AC·h=√13·h=5,∴h= = .
√13 13
根据圆周角定理可得BD⊥AC,
1 1
∵S = AB×3= AC·BD,
△ABC
2 2
1 5 1 5√13
∴ × ×3= ×√13·BD,∴BD= .
2 3 2 13
显然点B与点B'关于直线AC对称,这也就是先取点M,N的原因.
∵点B,B'关于直线AC对称,∴BP=B'P,B'C=BC,
∴∠B'BP=∠BB'P,∠B'BC=∠BB'C,
∴∠B'BC-∠B'BP=∠BB'C-∠BB'P,
即∠PBQ=∠PB'E,
∵∠BPQ=∠B'PE,BP=B'P,
∴△BPQ≌△B'PE,∴∠BQP=∠PEB',
∵∠PEB'=90°,∴∠BQP=90°,即B'Q⊥BC,
此时BP+PQ取得最小值.
三、解答题
19. 解析 (Ⅰ)不等式①中左右两边同时减去2x,得x≤1.
(Ⅱ)不等式②中左右两边都减去5,得2x≥-6,不等式左右两边同时除以2,得x≥-3.
(Ⅲ)
(Ⅳ)不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分,故不等式组的解集为-3≤x≤1.
4 6
20. 解析 (Ⅰ)抽取的麦苗株数= =25,m%= ×100%=24%,∴m=24.故答案为25;24.
16% 25
(Ⅱ)观察条形统计图,得
13×2+14×3+15×4+16×10+17×6
x= =15.6,
2+3+4+10+6
∴这组数据的平均数是15.6.
∵在这组数据中,16出现了10次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数为16.
将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间位置的数是16,∴这组数据的中位数为16.
21. 解析 (Ⅰ)∵∠APC是△PBC的一个外角,∠ABC=63°,∠APC=100°,
∴∠C=∠APC-∠PBC=37°.
∵在☉O中,∠BAD=∠C,
∴∠BAD=37°.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵在☉O中,∠ADC=∠ABC=63°,∠CDB=∠ADB-∠ADC,
∴∠CDB=27°.
(Ⅱ)如图,连接OD,
∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°,∴∠PCB=90°-∠PBC=27°.
∵在☉O中,∠BOD=2∠BCD,∴∠BOD=54°.
∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,即∠ODE=90°.
∴∠E=90°-∠EOD.∴∠E=36°.
22. 解析 如图,过点A作AH⊥CB,垂足为H.
根据题意,∠ACB=45°,∠ABC=58°,BC=221.
AH
∵在Rt△CAH中,tan∠ACH= ,
CH
AH
∴CH= =AH.
tan45°
AH AH
∵在Rt△BAH中,tan∠ABH= ,sin∠ABH= ,
BH AB
AH AH
∴BH= ,AB= .
tan58° sin58°
又CB=CH+BH,
AH 221×tan58°
∴221=AH+ ,可得AH= .
tan58° 1+tan58°
221×tan58° 221×1.60
∴AB= ≈ =160.
(1+tan58°)·sin58° (1+1.60)×0.85
答:AB的长约为160 m.
23. 解析 (Ⅰ)由题意,食堂距宿舍0.7 km,用时7 min,所以0~7 min时速度为0.1 km/min,所以第5 min时,离宿舍的距离为5×0.1=0.5 km;由图象可知,23 min时离宿舍的距离为0.7 km,30 min时离宿舍的距离为1 km.故答案为0.5;0.7;1.
(Ⅱ)①由题意知,食堂距宿舍0.7 km,图书馆距宿舍1 km,因为宿舍、食堂、图书馆依次在一条直线上,所以食堂距图书馆1-0.7=0.3 km.故答案为0.3.
0.3
②由图象可知,从食堂到图书馆用时28-23=5 min,所以小亮从食堂到图书馆的速度为 =0.06 km/min.故答案为0.06.
5
1
③由图象知,小亮从图书馆返回宿舍用时68-58=10 min,所以小亮从图书馆返回宿舍的速度为 =0.1 km/min.故答案为0.1.
10
0.6 0.6
④由图象分析,小亮距宿舍0.6 km时是在去食堂的路上或从图书馆回宿舍的路上,当在去食堂的路上时, =6 min,当在从图书馆回宿舍的路上时,68- =62 min,故当6 min或62 min 时,小亮距宿舍0.6 km.故答案为6或62.
0.1 0.1
(Ⅲ)由图象知,当0≤x≤7时,小亮速度为0.1 km/min,故离宿舍的距离为y=0.1x;当7<x≤23时,小亮在食堂停留,故y=0.7;当23<x≤28时,小亮以0.06 km/min的速度从食堂前往图书馆,故y=0.7+0.06(x-23)=0.06x-0.68.综上所述,y=
{
0.1x(0≤x≤7),
0.7(7<x≤23),
0.06x-0.68(23<x≤28).
24. 解析 (Ⅰ)解法一:如图,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°.∵∠OAB=90°,∠B=30°,∴∠BOA=90°-∠B=60°.
∴∠OPH=90°-∠POH=30°.
在Rt△OHP中,OP=1,
1 1 √3
∴OH= OP= ,HP=√OP2-OH2= .
2 2 2
∴点P的坐标为(1 √3).
,
2 2
解法二:过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°.
∵∠OAB=90°,∠B=30°,∴∠BOA=90°-∠B=60°.
在Rt△OPH中,OP=1,
√3
∴HP=sin∠BOA·OP=sin 60°·OP= ,
2
1
OH=cos∠BOA·OP=cos 60°·OP= .
2
∴点P的坐标为(1 √3).
,
2 2
(Ⅱ)①由折叠知,△O'PQ≌△OPQ,∴O'P=OP,O'Q=OQ.
又OQ=OP=t,∴O'P=OP=OQ=O'Q=t.
∴四边形OQO'P为菱形.
∴QO'∥OB.∴∠ADQ=∠B=30°.
∵点A(2,0),∴OA=2.∴QA=OA-OQ=2-t.
在Rt△QAD中,QD=2QA=4-2t.
∵O'D=O'Q-QD,
4
∴O'D=3t-4,其中t的取值范围是 <t<2.
3
√3 4√3
② ≤S≤ .
8 7
4 t 4
详解:i.O'在△OAB的内部(含△OAB的边)时,1≤t≤ . 当O'在AB边上时,在Rt△AQO'中,O'Q=2AQ,∴t+ =2,故t=
3 2 3
1 √3 √3
S=S =S = ·t· t= t2.
△O'PQ △OPQ 2 2 4
4 √3 4√3
∴当1≤ t≤ 时, ≤S≤ .
3 4 9
4
ii.O'在△OAB的外部,Q在OA上时, <t≤2.
3由(Ⅱ)①知,O'D=3t-4,∴CO'=3t-2,CD= (3t ).
√3 -2
2 2
此时S=S △OPQ -S △CDO' =√3t2-1·CO'·CD=√3t2-1× √3 ·(3t -2 ) 2 =-7√3t2+3 √3 t-2 √3 =-7√3( t- 12) 2 +4√3.
4 2 4 2 2 8 8 7 7
4 4√3 4√3
∴当 <t≤2时, <S≤ .
3 9 7
iii.O'在△OAB的外部,Q在OA的延长线上时,2<t≤3.
1 t
此时,OP=t,BP=4-t,∴在Rt△PBC中,PC= BP=2- ,
2 2
∴在Rt△PCD中,CD= PC= ( t ).
√3 √3 2-
2
S=S △CPD =1·CP·CD=1·( 2- t )· √3 ( 2- t )=√3( 2- t ) 2 .∴当2<t≤3时,√3≤S<√3.
2 2 2 2 2 2 8 2
√3 4√3
综上,S的取值范围为 ≤S≤ .
8 7
25. 解析 (Ⅰ)当a=1,m=-3时,抛物线的解析式为y=x2+bx-3.∵抛物线经过点A(1,0),
∴0=1+b-3,
解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4).
(Ⅱ)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0),m<0,
∴0=a+b+m,0=am2+bm+m,即am+b+1=0.
∴a=1,b=-m-1.
∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m.
根据题意,得点C(0,m),点E(m+1,m),
过点A作AH⊥l于点H.
由点A(1,0),得点H(1,m).
在Rt△EAH中,EH=1-(m+1)=-m,HA=0-m=-m,
∴AE= =- m.
√EH2+H A2 √2
∵AE=EF=2√2,
∴-√2m=2√2,解得m=-2.
此时,点E(-1,-2),点C(0,-2),EC=1.
∵点F在y轴上,
∴在Rt△EFC中,CF= = .
√EF2-EC2 √7
∴点F的坐标为(0,-2-√7)或(0,-2+√7).
1
②由N是EF的中点,得CN= EF=√2.
2根据题意,点N在以点C为圆心、√2为半径的圆上.
由点M(m,0),点C(0,m),得MO=-m,CO=-m.
∴在Rt△MCO中,MC= =- m.
√MO2+CO2 √2
当MC≥√2,即m≤-1时,满足条件的点N落在线段MC上,
√2 3
MN的最小值为MC-NC=-√2m-√2= ,解得m=- ;
2 2
当MC<√2,即-1<m<0时,满足条件的点N落在线段CM的延长线上,
√2 1
MN的最小值为NC-MC=√2-(-√2m)= ,解得m=- .
2 2
3 1 √2
∴当m的值为- 或- 时,MN的最小值是 .
2 2 2
