2013 年天津市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.计算(-3)+(-9)的结果等于( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
2.tan 60°的值等于( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
3.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是( )
4.中国园林网4月22日消息:为建设生态滨海,2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8
210 000 m2.将8 210 000用科学记数法表示应为( )
A.821×104 B.82.1×105
C.8.21×106 D.0.821×107
5.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单
词个数进行统计,两班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15.由此
可知( )
A.(1)班比(2)班的成绩稳定
B.(2)班比(1)班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪班的成绩更稳定
6.下图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形,它的三视图是( )7.如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得
△CFE,则四边形ADCF一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
8.正六边形的边心距与边长之比为( )
A.√3∶3 B.√3∶2
C.1∶2 D.√2∶2
2x 1
9.若x=-1,y=2,则 - 的值等于( )
x2-64 y2 x-8 y
1 1 1 1
A.- B. C. D.
17 17 16 15
10.如图,是一对变量满足的函数关系的图象.有下列3个不同的问题情境:
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分,在原地休息了4分,然后以500米/分的速度匀
速骑回出发地,设时间为x分,离出发地的距离为y千米;
②有一个容积为6升的开口空桶,小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水,注5分后停止,
等4分后,再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水,设时间为x分,桶内的水量为y升;
③矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P从点A出发,依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至
点A停止,设点P的运动路程为x,当点P与点A不重合时,y=S ;当点P与点A重合时,y=0.
△ABP
其中,符合图中所示函数关系的问题情境的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.计算a·a6的结果等于 .
12.一元二次方程x(x-6)=0的两个实数根中较大的根是 .
13.若一次函数y=kx+1(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围是
.
14.如图,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段
.
15.如图,PA、PB分别切☉O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为 (度).
16.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球然
后放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是 .
17.如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为 .
18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.
(Ⅰ)△ABC的面积等于 ;
(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直
尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明)
.
三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(本小题6分)
{ x-1<2,
解不等式组
2x+9>3.20.(本小题8分)
k
已知反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
x
(Ⅰ)求这个函数的解析式;
(Ⅱ)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(Ⅲ)当-3<x<-1时,求y的取值范围.
21.(本小题8分)
四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1 900名学生发起了“心系雅安”捐款活动.为了解
捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①、②,
请根据相关信息.解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值是 ;
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.
22.(本小题8分)
已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.(Ⅰ)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;
(Ⅱ)如图②,当直线l与☉O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.
23.(本小题8分)
天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图,他们在点A处
测得天塔最高点C的仰角为45°.再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB
=112 m.根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan 36°≈0.73,结果保留整数).
24.(本小题8分)
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购
物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的
部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元,其中x>100.
(Ⅰ)根据题意,填写下表(单位:元):
累计购物
130 290 … x
实际花费
在甲商场 127 …
在乙商场 126 …
(Ⅱ)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?(Ⅲ)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少?
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.
(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;
(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A'E'O',连结A'B、BE'.
①设AA'=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A'B2+BE'2,并求出使A'B2+BE'2取得最小值时
点E'的坐标;
②当A'B+BE'取得最小值时,求点E'的坐标(直接写出结果即可).
26.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l,顶点为点M,若自变量x和函数值y 的部分对
1 1
应值如下表所示:
x … -1 0 3 …
9
y 1 =ax2+bx+c … 0 4 0 …
(Ⅰ)求y 与x之间的函数关系式;
1(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l',A为直线l'上的动点,线段AM的垂直平分线交直
线l于点B,点B关于直线AM的对称点为P,记P(x,y ).
2
①求y 与x之间的函数关系式;
2
②当x取任意实数时,若对于同一个x,有y<y 恒成立,求t的取值范围.
1 2
答案全解全析：
1.B (-3)+(-9)=-(3+9)=-12,故选B.
2.C tan 60°=√3,故选C.
3.D A选项是轴对称图形;B、C选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D选项是中
心对称图形,故选D.
评析 本题考查中心对称图形的概念,解题关键是寻找对称中心,然后绕对称中心旋转
180°后与原图形重合的图形是中心对称图形.
4.C 科学记数法的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,故8 210 000=8.21×106.故选C.
5.B 数据的方差反映一组数据的稳定性.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动
越小.(2)班成绩的方差比(1)班成绩的方差小,故(2)班的成绩比(1)班的成绩稳定, 故选B.
6.A 从前面看到的图形有上下两层,上层是一个正方形,下层是左右并排的两个正方形,且
上层的一个正方形放在下层的两个正方形中间,故排除B;从左面看到的是上下两个一样的
正方形,且按要求左视图应该放在主视图的右边,故排除C;从上面看到的是一个正方形放在
两个正方形的正中间,上层一个正方体和下层两个正方体的两条交线按要求应该画出来,故
选A.7.A ∵△ADE绕E点旋转180°得到△CFE,∴AE=CE,DE=EF.∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵BC=AC,D是AB的中点,∴∠ADC=90°,∴平行四边形ADCF是矩形.
8.B 如图所示:∵ABCDEF是正六边形,∴△OAB为正三角形.
OH √3
过O作OH⊥AB,垂足为H,则 =sin 60°= ,即边心距与边长的比为√3∶2,故选B.
OA 2
2x 1 2x-(x+8 y) x-8 y
9.D 原 式 = - = = =
(x+8 y)(x-8 y) x-8 y (x+8 y)(x-8 y) (x+8 y)(x-8 y)
1 1 1
,当x=-1,y=2时,原式= = .故选D.
x+8 y -1+8×2 15
10.C 小明以400米/分的速度骑车5分钟,离开出发地的距离应该是2 000米而不是6米,
故①不符合;小亮以1.2升/分的速度匀速向空桶注水,5分钟后正好注入6升,休息4分钟,
这4分钟内桶里的水一直保持6升,再以2升/分的速度往外倒,正好3分钟倒完,故②符合;
矩形ABCD中,AB=4,BC=3,则AC=5,P点从A向C运动的过程中,△ABP的底AB=4不变,高从0
增加到3,故面积从0增加到6,P点从C向D运动的过程中,△ABP的底和高分别是 4和
3,△PAB的面积一直为6,P点从D到A的运动过程中,△ABP的底不变,高从3减小到0,面积
从6减小到0,故③也符合,故选C.
评析 “判断两个变量在运动变化过程中对应的函数图象是否正确”是本题考查的重点.解
答本题的关键是找到变量在变化过程中的某一关键点或者某一关键段,观察关键点或者关键
段对应的函数图象是否正确,把动态问题转化为静态问题来解决.
11.答案 a7
解析 a·a6=a1+6=a7.12.答案 6
解析 x(x-6)=0,则x=0或x-6=0,即x=0或x=6,故较大的根为6.
13.答案 k>0
解析 易知一次函数y=kx+1(k为常数,k≠0)的图象过点(0,1),要使图象经过第一、二、三
象限,只需k>0.
14.答案 答案不唯一.AC=BD(或BC=AD,AO=BO,CO=DO)
解 析 在 △ ADB 和 △ BCA 中 ,∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AB=AB, 故 △ ADB≌△BCA, 则
AC=BD,AD=BC,
∠ABD=∠BAC,∴OA=OB,又AC=BD,∴OC=OD.
15.答案 55
解析 如图,连结 OA、OB,因为 PA、PB 是圆的切线,所以∠OAP=∠OBP=90°,又因为
∠P=70°,所以∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°,又∠AOB=2∠C,所以∠C=55°.
3
16.答案
16
解析
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8根据列表可得,总共有16个结果,和是4的有3个,故两次摸出的小球的标号之和等于4的
3
概率为 .
16
17.答案 7
解析 ∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°.
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°,
∴∠EDC=∠BAD.
又∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE,
∴AB∶CD=BD∶CE.
∵AB=9,BD=3,
∴CD=6,
∴CE=2,∴AE=7.
18.答案 (Ⅰ)6
(Ⅱ)如图,取格点P,连结PC,则PC⊥BC.过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连结PQ与AC
相交于点D;过点D画CB的平行线,与AB相交于点E,连结DE,分别过点D、E画PC的平行线,
与CB相交于点G、F.则四边形DEFG即为所求.解析 如图所示,△ABC中,c>b>a,EFGD为△ABC内一条边在BC边上的正方形,设正方形的边
x h-x ah
长为 x,BC 边上的高 AH=h,△ABC 的面积为 S.∵△ADG∽△ABC,∴ = ,∴x= =
a h a+h
2S
2S .
a+
a
2S 2S
同理可得:当正方形的一边落在AC或AB边上时,有x= 2S或x= 2S.
b+ c+
b c
( 2S)-( 2S)=(a-b)+(2S 2S)=(a-b)-2S·a-b=(a-b)·ab-2S.
a+ b+ -
a b a b ab ab
∵ab>ah,即ab>2S,∴ab-2S>0.又∵b>a,∴a-b<0.
2S 2S
( 2S) ( 2S) ab-2S 2S 2S
∴ a+ - b+ =(a-b)· <0,∴a+ <b+ ,∴ 2S > 2S.
a b ab a b a+ b+
a b
2S 2S
同理可得 2S> 2S,
b+ c+
b c
2S 2S 2S
∴ 2S > 2S> 2S,
a+ b+ c+
a b c
即当正方形一边落在三角形最短的边上, 另两个顶点落在其他两边上时,正方形为三角形中
所包含的面积最大的正方形,所以本题所作正方形一边应该落在最短边BC上.又根据画图过程可得:图中所作四边形DEFG为矩形,
∵△QDG∽△QPC,△ADE∽△ACB,△DPC∽△DQA,
DG DQ DE AD AD DQ
∴ = , = , = ,
PC PQ BC AC AC PQ
DG DE
∴ = .又∵PC=BC,∴DG=DE,∴四边形DEFG为正方形.
PC BC
∴所作四边形DEFG为△ABC内部面积最大的正方形.
评析 本题主要考查“在一个三角形内部如何作出面积最大的正方形”这一作图方法,解题
关键是综合运用正方形和相似三角形知识寻找满足正方形面积最大的位置(即正方形的一边
应该落在三角形的最短边上,另外两个顶点分别在另外两条边上).正确作出图形的关键是
“利用网格特点,找出使PC和BC垂直且相等的P点”.
{ x-1<2,①
19.解析
2x+9>3,②
解不等式①,得x<3.
解不等式②,得x>-3.
∴不等式组的解集为-3<x<3.
k
20.解析 (Ⅰ)∵反比例函数y= 的图象经过点A(2,3),
x
k
∴3= ,解得k=6.
2
6
∴这个函数的解析式为y= .
x
6
(Ⅱ)分别把点B,C的坐标代入y= ,
x
可知点B的坐标不满足函数解析式,点C的坐标满足函数解析式,
∴点B不在这个函数的图象上,点C在这个函数的图象上.
(Ⅲ)∵当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,
又由k>0知,当x<0时,y随x的增大而减小,∴当-3<x<-1时,-6<y<-2.
评析 本题的第(Ⅰ)(Ⅱ)问主要考查用待定系数法求函数的解析式和函数图象的意义;第
(Ⅲ)问考查反比例函数的性质,熟练掌握“当k>0时,在每个象限内y随x的增大而减小”
这一性质是解答本题的关键.
21.解析 (Ⅰ)50;32.
5×4+10×16+15×12+20×10+30×8
(Ⅱ)∵x= =16(元),
50
∴这组样本数据的平均数为16元.
∵在这组样本数据中,10出现了16次,出现次数最多,∴这组样本数据的众数为10元.
15+15
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,有 =15元,
2
∴这组样本数据的中位数为15元.
(Ⅲ)∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,
∴由样本数据估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%=
608(名),
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.
评析 本题重点考查学生对平均数、众数、中位数概念的理解,用样本估计总体以及学生的
识图能力,易错处多因概念理解不透彻,易把16看成众数,把5元、10元、15元、20元、30
元直接加起来除以4、16、12、10、8的和得到的结果作为平均数.
22.解析 (Ⅰ)如图,连结OC.
∵直线l与☉O相切于点C,
∴OC⊥l,∴∠OCD=90°.∵AD⊥l,∴∠ADC=90°.
∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC,
在☉O中,∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
(Ⅱ)如图,连结BF.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=90°-∠B.
∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.
在☉O中,四边形ABFE是圆内接四边形,
∴∠AEF+∠B=180°,
∴∠B=180°-108°=72°,
∴∠BAF=90°-72°=18°.
评析 本题重点考查了“圆内接四边形对角互补”“直径所对的圆周角是直角”这两个重
要的知识点,对“见切线连圆心和切点”“利用直径构造直角”这些常见辅助线作法的熟练
掌握是正确解答本题的关键.
23.解析 如图,根据题意,有∠CAD=45°,∠CBD=54°,AB=112 m.∵在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD.
又AD=AB+BD,
∴BD=AD-AB=(CD-112)m.
BD
∵在Rt△BCD中,tan∠BCD= ,∠BCD=90°-∠CBD=36°,
CD
BD
∴tan 36°= ,∴BD=CD·tan 36°.
CD
∴CD·tan 36°=CD-112,
112 112
∴CD= ≈ ≈415 m.
1-tan36° 1-0.73
答:天塔的高度CD约为415 m.
24.解析 (Ⅰ)在甲商场:271,0.9x+10;
在乙商场:278,0.95x+2.5.
(Ⅱ)根据题意,有0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150,
∴当x=150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同.
(Ⅲ)由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150,
由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150,
∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少;
当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.
评析 本题是函数与不等式综合应用的方案设计问题,解答此类问题的关键是按照各自的优
惠方案正确写出在甲、乙两个商场购物时,实际所需费用和物品标价的关系式,然后利用方
程和不等式解决问题.25.解析 (Ⅰ)∵点A(-2,0),点B(0,4),
∴OA=2,OB=4.
∵∠OAE=∠OBA,∠EOA=∠AOB=90°,
OA OE 2 OE
∴△OAE∽△OBA,∴ = ,即 = ,∴OE=1.
OB OA 4 2
∴点E的坐标为(0,1).
(Ⅱ)①如图,连结EE',∵AA'=m,∴A'O=2-m,
在Rt△A'BO中,∵A'B2=A'O2+BO2,
∴A'B2=(2-m)2+42=m2-4m+20.
∵△A'E'O'是将△AEO沿x轴向右平移得到的,
∴EE'∥AA',且EE'=AA',
∴∠BEE'=90°,EE'=m.
又BE=OB-OE=3,
于是,在Rt△BE'E中,BE'2=E'E2+BE2=m2+9,
∴A'B2+BE'2=2m2-4m+29(0<m<2),
即A'B2+BE'2=2(m-1)2+27(0<m<2),
当m=1时,A'B2+BE'2取得最小值,
∴点E'的坐标为(1,1).
②点E'的坐标为(6 ).
,1
7
26.解析 (Ⅰ)由已知,抛物线y
1
=ax2+bx+c经过点(
0,
9),得c=9,∴y
1
=ax2+bx+9.
4 4 49
∵点(-1,0)、(3,0)在抛物线y=ax2+bx+ 上,
1
4
9 3
{ a-b+ =0, {a=- ,
∴ 4 解得 4
9 3
9a+3b+ =0, b= .
4 2
3 3 9
∴y 与x之间的函数关系式为y=- x2+ x+ .
1 1
4 2 4
3 3 9 3
(Ⅱ)由y=- x2+ x+ 配方得y=- (x-1)2+3,∴直线l为x=1,顶点M(1,3).
1 1
4 2 4 4
①根据题意,得t≠3.
如图,记直线l与直线l'交于点C,则点C(1,t).
当点A与点C不重合时,
由已知,得AM与BP互相垂直平分,
∴四边形ABMP为菱形,∴PA∥l,
又点P(x,y),则点A(x,t),(x≠1)
2
∴PM=PA=|y-t|.
2
过点P作PQ⊥l于点Q,则点Q(1,y),
2
∴QM=|y-3|,PQ=AC=|x-1|.
2
在Rt△PQM中,由PM2=QM2+PQ2,得(y-t)2=(y-3)2+(x-1)2,
2 2
1 t+3 1 1 10-t2
整理,得y= (x-1)2+ ,即y= x2- x+ .
2 6-2t 2 2 6-2t 3-t 6-2t当点A与点C重合时,点B与点P重合,可知点P( t+3),其坐标也满足上式.
1,
2
1 1 10-t2
∴y 与x之间的函数关系式为y= x2- x+ (t≠3);
2 2 6-2t 3-t 6-2t
②根据题意,借助函数图象.
当抛物线y 开口方向向上时,6-2t>0,即t<3,
2
抛物线y
1
的顶点M(1,3),抛物线y
2
的顶点(
1,
t+3),由3>t+3,可知不符合题意.
2 2
当抛物线y 开口方向向下时,6-2t<0,即t>3,
2
y-y=-3(x-1)2+3-[ 1 t+3]= 3t-11 (x-1)2+3-t.
1 2 (x-1)2+
4 6-2t 2 4(3-t) 2
若3t-11≠0,要使y<y 恒成立,
1 2
只要抛物线y= 3t-11 (x-1)2+3-t开口方向向下,且顶点( 3-t)在x轴下方,
1,
4(3-t) 2 2
11
因为3-t<0,所以只要3t-11>0,解得t> ,符合题意;
3
1 11
若3t-11=0,y-y=- <0,即t= 也符合题意.
1 2
3 3
11
综上,可以使y<y 恒成立的t的取值范围是t≥ .
1 2
3
