2013 年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 42 分)
一、选择题(本大题共16个小题,1~6小题,每小题2分;7~16小题,每小题3分,共42分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.气温由-1 ℃上升2 ℃后是( )
A.-1 ℃ B.1 ℃ C.2 ℃ D.3 ℃
2.截至2013年3月底,某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为(
)
A.0.423×107 B.4.23×106 C.42.3×105 D.423×104
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3-x=x(x+1)(x-1)
5.若x=1,则|x-4|=( )
A.3 B.-3 C.5 D.-5
6.下列运算中,正确的是( )
1
A.√9=±3 B.√3 -8=2 C.(-2)0=0 D.2-1=
2
7.甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10 m,设甲队每
天修路x m.依题意,下面所列方程正确的是( )
120 100 120 100
A. = B. =
x x-10 x x+10
120 100 120 100
C. = D. =
x-10 x x+10 x
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向
航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )
A.40海里 B.60海里C.70海里 D.80海里
9.如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:
假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=( )
A.2 B.3 C.6 D.x+3
m
10.反比例函数y= 的图象如图所示,以下结论:
x
①常数m<-1;
②在每个象限内,y随x的增大而增大;
③若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;
④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
11.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如已知:线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:
对于两人的作业,下列说法正确的是( )
A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
13.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=( )A.90° B.100° C.130° D.180°
14.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠C=30°,CD=2√3,则S =( )
阴影
2 2
A.π B.2π C. √3 D. π
3 3
15.如图,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图.则下列
说法正确的是( )
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
16.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12,动点P从点A出发,
沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒,y=S ,则
△EPF
y与t的函数图象大致是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共 78 分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案写在题中横线上)
17.如图,A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点,将木块随机投掷在水平桌面上,则A与桌面
接触的概率是 .18.若x+y=1,且x≠0,则( 2xy+ y2 )÷x+ y的值为 .
x+
x x
19.如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若
MF∥AD,FN∥DC,则∠B= °.
20.如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C ,它与x轴交于点O,A;将C 绕点A 旋转180°得
1 1 1 1
C ,交x轴于点A;将C 绕点A 旋转180°得C ,交x轴于点A;……如此进行下去,直至得C .
2 2 2 2 3 3 13
若P(37,m)在第13段抛物线C 上,则m= .
13
三、解答题(本大题共6个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.(本小题满分9分)
定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,
比如:2⊕5=2×(2-5)+1
=2×(-3)+1
=-6+1
=-5.
(1)求(-2)⊕3的值;
(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.
22.(本小题满分10分)
某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的
植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和
条形图(如图2),经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误.图1 图2
回答下列问题:
(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由;
(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;
(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?
②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.
23.(本小题满分10分)
如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动,且过
点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒.
(1)当t=3时,求l的解析式;
(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围;
(3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.24.(本小题满分11分)
如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧 ⏜ 分别交OA,OB于
MN
点M,N.
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP',求证:AP=BP';
(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧 ⏜ 上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.
MN
25.(本小题满分12分)
某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小
与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的
平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
次数n 2 1
速度x 40 60
指数Q 420 100
(1)用含x和n的式子表示Q;
(2)当x=70,Q=450时,求n的值;
(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;
(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420,若能,求
出m的值;若不能,请说明理由.
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是( b 4ac-b2 )
- ,
2a 4a26.(本小题满分14分)
一透明的敞口正方体容器ABCD-A'B'C'D'装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部
的倾斜角为α(∠CBE=α,如图1所示).
图1
探究 如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB'交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图
及尺寸如图2所示.解决问题:
图2
(1)CQ与BE的位置关系是 ,BQ的长是 dm;
(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V =底面积S ×高AB)
液 △BCQ
(3)求α的度数.( 3 3)
注:sin49°=cos41°= ,tan37°=
4 4
拓展 在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4
是其正面示意图.若液面与棱C'C或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x
的函数关系式,并写出相应的α的范围.
图3 图4延伸 在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略
不计),得到图5,隔板高NM=1 dm,BM=CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α=60°时,通过计算,
判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.
图5
备用图
答案全解全析：
1.B 气温由-1 ℃上升2 ℃后的温度为-1+2=1 ℃,故选B.
2.B 4 230 000是一个7位整数,
所以4 230 000用科学记数法可表示为4.23×1 000 000=4.23×106,故选B.
评析 科学记数法是将一个数写成 a×10n的形式,其中1≤|a|<10, n为整数.其方法是(1)
确定a,a是只有一位整数的数;(2)确定n,当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数
的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零
数前零的个数(含整数位数上的零).
3.C A选项图不是轴对称图形,是中心对称图形;B选项图是轴对称图形,不是中心对称图形;
C选项图既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项图是轴对称图形,不是中心对称图形.故
选C.
4.D A项:a(x-y)=ax-ay右边不是整式积的形式,错误;
B项:x2+2x+1=x(x+2)+1只是把多项式前两项提取公因式,错误;
C项:(x+1)(x+3)=x2+4x+3是整式的乘法,错误;
D项:x3-x=x(x+1)(x-1)右边是整式积的形式,正确.故选D.5.A 当x=1时,|x-4|=|1-4|=|-3|=3,故选A.
6.D A项:√9=3,错误;
B项:√3 -8=-2,错误;
C项:(-2)0=1,错误;
1
D项:2-1= ,正确.故选D.
2
评析 本题主要考查了实数中零指数幂、负指数幂、算术平方根及立方根的运算,解决本题
的关键就是熟悉相关概念及简单的运算法则,难度较小.
7.A 因为甲队比乙队每天多修10 m,所以乙队每天修路(x-10)m.根据“甲队修路120 m与
120 100
乙队修路100 m所用天数相同”,可列方程 = ,故选A.
x x-10
8.D 由题意得 MN=40×2=80海里,∠M=70°,∠MPN=180°-40°-70°=70°,
∴∠M=∠MPN=70°,
∴MN=NP,∴N处与灯塔P的距离为80海里,故选D.
评析 本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识.利用平行线的有关知识得到角度
的关系,从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路.
2x+6
9.B 淇淇猜中的结果应为y= -x=3,故选B.
2
10.C ∵反比例函数图象位于第一、三象限,∴m>0,①错误;∵反比例函数图象位于第一、
三象限,∴在每个象限内,y随x的增大而减小,②错误;∵点A(-1,h),B(2,k)是此双曲线上
的点,∴h<k,③正确;∵点P(x,y)在图象上,则xy=m,把点P'(-x,-y)的坐标代入反比例函数
的解析式中等式成立,④正确.故选C.
11.B 过点M作MG⊥AB,垂足为G,
∵四边形ABCD为菱形,∴AC平分∠DAB,
∵ME⊥AD,MG⊥AB,∴MG=ME=3.∵NF⊥AB,MG⊥AB,∴NF∥MG,
AN NF AN 2
∴△ANF∽△AMG,∴ = ,即 = ,解得AN=4.故选B.
AM MG AN+2 3
12.A 由甲的做法可知AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.
∵∠ABC = 90°,∴四边形ABCD为矩形,甲的作图正确;由乙的做法可知AM=CM,
又∵∠ABC = 90°,∴MB=AM=CM.∵MD=MB,∴AM=MB =CM =MD,
∴四边形ABCD为矩形,乙的作图正确.故选A.
13.B 如图,一个正方形和两个等边三角形所夹图形为△ABC,由三角形外角和定理可知
∠DAB+∠EBC+∠FCA=360°,即∠1+90°+∠3+60°+∠2+60°=360°.
∵∠3 = 50°,∴∠1+∠2 =100°,故选B.
14.D 设AB与CD的交点为E,
1
∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE= CD.∵CD=2√3,∴CE=DE=√3.
2
DE
∵∠C =30°,∴∠AOD=60°,∴OD= =2,∴OE=AE=1,∴△AEC≌△OED,
sin60°
60·π·22 2
∴S =S = = π,故选D.
阴影 扇形AOD 360 3
15.C 由三角形三边关系可知AC+BC>AB,所以AD的中点M不可能在AB上,故选项A错误;若
点M在BC的中点处,且M是铁丝AD的中点,所以AC=AB,∠B=∠C,与题意矛盾,故选项B错误;
因为AC<AB,所以点M在BC上,且距点B较近,距点C较远,C正确,D错误.故选C.
16.A ∵AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE = EF = FB = 5,DE = 12,∴AD=BC=13.当点P在线
AP PG t PG 12t
段AD上运动时,过点P作PG⊥AB于点G,∵DE⊥AB,∴ = ,即 = ,解得PG=
AD DE 13 12 131 30t
,∴y= EF·PG= 为一次函数;当点P在线段DC上运动时,△EFP的面积保持不变;当P点
2 13
BP PH 31-t PH
在线段CB上运动时,过点P作PH⊥AB于点H,∵CF⊥AB,∴ = ,即 = ,解得
BC CF 13 12
12(31-t) 1 30(31-t)
PH= ,∴y= EF·PH= 为一次函数.故选A.
13 2 13
1
17.答案
2
解析 由题意可知正方体小木块有六个面,其中含有点A的面有三个.将木块随机投掷在水
3
平桌面上,则与桌面接触的面有六种情况,出现点A与桌面接触的有三种情况,故概率等于
6
1
= .
2
18.答案 1
解析 根据分式的运算法则得( 2xy+ y2 )÷x+ y=x2+2xy+ y2· x =(x+ y)2
x+
x x x x+ y x+ y
=x+y,若x+y=1,则原式=x+y=1.
19.答案 95
1 1
解析 ∵MF∥AD,∴∠A=∠BMF=100°,由翻折的性质得∠BMN= ∠BMF=50°.同理,∠BNM=
2 2
∠BNF=35°.由三角形内角和定理得∠B+∠BMN+∠BNM=180°,则∠B =180°-50°-
35°=95°.
20.答案 2
解析 将抛物线旋转可发现C 、C 、C…的形状相同,开口方向相同.A 坐标为(3,0),A 坐标
1 3 5 1 2
为(6,0),A 坐标为(9,0)……以此类推,A 坐标为(39,0).由于抛物线C 与C 的形状相同,开
3 13 13 1口方向相同,所以点P(37,m)是由抛物线C 上的点(1,m)经过多次旋转得到的.把(1,m)代入
1
y=-x(x-3),解得m=2.
21.解析 (1)(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1
=-2×(-5)+1
=10+1=11.
(2)∵3⊕x<13,∴3(3-x)+1<13.∴9-3x+1<13,-3x<3,∴x>-1.
数轴表示如图所示.
22.解析 (1)D有错.
理由:10%×20=2≠3.
(2)众数为5棵.
中位数为5棵.
(3)①第二步.
4×4+5×8+6×6+7×2
②x= =5.3.
20
估计这260名学生共植树5.3×260=1 378(棵).
23.解析 (1)直线y=-x+b交y轴于点P(0,b),
由题意,得b>0,t≥0,b=1+t,当t=3时,b=4.
∴y=-x+4.
(2)当直线y=-x+b过点M(3,2)时,2=-3+b,解得b=5,5=1+t,∴t=4.
当直线y=-x+b过点N(4,4)时,4=-4+b,
解得b=8,8=1+t,∴t=7.∴4<t<7.
(3)t=1时,对称点落在y轴上;
t=2时,对称点落在x轴上.评析 此题并没有考查常见的动点问题,而是将动点问题和一次函数结合在一起,应用动点
的移动带来一次函数截距的变化.把一次函数图象的形成和几何的动点运动过程相结合,化
静为动是解决本题的关键所在.
24.解析 (1)证明:∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,∠BOP'=∠POP'+∠BOP=80°+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP'.
又∵OA=OB,OP=OP',∴△AOP≌△BOP',∴AP=BP'.
(2)连结OT,过T作TH⊥OA于点H,
∵AT与 ⏜ 相切,∴∠ATO=90°.
MN
∴AT= = =8.
√OA2-OT2 √102-62
1 1 1 1 24 24
∵ ×OA×TH= ×AT×OT,即 ×10×TH= ×8×6,∴TH= ,即点T到OA的距离为 .
2 2 2 2 5 5
(3)10°,170°.
[注:当OQ⊥OA时,△AOQ面积最大,且左右两半弧上各存在一点]
25.解析 (1)设W=kx2+knx,∴Q=kx2+knx+100,
1 2 1 2
{420=402k +2×40k +100,
由表中数据,得 1 2
100=602k +1×60k +100,
1 2
{ 1
解得 k =- ,
1 10
k =6.
21
∴Q=- x2+6nx+100.
10
1
(2)由题意,得450=- ×702+6×70n+100,
10
∴n=2.
1
(3)当n=3时,Q=- x2+18x+100.
10
18
1
由a=- <0可知,要使Q最大,则x=- ( 1 )=90.
10 2× -
10
(4)由题意,得
1
420=- [40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,
10
1
解得m%= ,或m%=0(舍去).∴m=50.
2
26.解析 探究 (1)CQ∥BE;3.
1
(2)V = ×3×4×4=24(dm3).
液
2
3
(3)在Rt△BCQ中,tan∠BCQ= ,∴α=∠BCQ=37°.
4
拓展 当容器向左旋转时,如图1,0°≤α≤37°.
图1
1
∵液体体积不变,∴ (x+y)×4×4=24.∴y=-x+3.
2
12
当容器向右旋转时,如图2,同理得y= .
4-x图2
1
当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B'重合时,如图3,由BB'=4,且 ×PB×BB'×4=24,得
2
PB=3.
图3
3
∴由tan∠PB'B= ,得∠PB'B=37°,∴α=∠B'PB=53°,此时37°≤α≤53°.
4
[注:本问的范围中,“≤”为“<”不影响得分]
延伸 当α=60°时,如图4所示,设FN∥EB,GB'∥EB.
过点G作GH⊥BB'于点H.
在Rt△B'GH中,GH=MB=2,∠GB'B=30°,∴HB'=2√3.∴MG=BH=4-2√3<MN.
图4
此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB'G为底面的直
棱柱.
1 √3 1 11√3
∵S +S = × ×1+ (4-2√3+4)×2=8- ,
△NFM 梯形MBB'G
2 3 2 6∴V =24-4( 11√3)=22 -8>4(dm3).
溢出 8- √3
6 3
∴溢出液体可以达到4 dm3.
评析 本题属于几何知识综合题目,主要考查了几何体的三视图、体积计算公式、直角梯形
的性质、锐角三角函数及函数的确定等知识.本题的难点在于当α=60°时,容器内液体形
成两层液面容易被学生忽略.
